最后更新: 2025-05-28 21:22 查看: 307 次反馈同步训练

复数的三角表示乘除法

## 复数三角乘法
令$z_1=r_1\left(\cos \theta_1+i \sin \theta_1\right), \quad z_2=r_2\left(\cos \theta_2+i \sin \theta_2\right),$

把$z_1,z_2$两式相乘，有

$$
z_1 z_2=r_1 r_2\left[\left(\cos \theta_1 \cos \theta_2-\sin \theta_1 \sin \theta_2\right)+i\left(\sin \theta_1 \cos \theta_2+\cos \theta_1 \sin \theta_2\right)\right],
$$

所以

$$
\boxed{
z_1 z_2=r_1 r_2\left[\cos \left(\theta_1+\theta_2\right)+i \sin \left(\theta_1+\theta_2\right)\right.
}
$$

上式说明，两个复数相乘：
乘积的模等于模的乘积：

乘积的辐角等于辐角的和：

$$
\arg z_1 z_2=\arg z_1+\arg z_2\left(=\theta_1+\theta_2\right) .
$$

## 复数三角除法
向量的除法是乘法的逆运算，我们有如下方程：

$$
\boxed{
\begin{gathered}
\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left[\cos \left(\theta_1-\theta_2\right)+i \sin \left(\theta_1-\theta_2\right)\right]\\
\end{gathered}
}

即 
$$
\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|}
$$

和
$\arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\arg z_1-\arg z_2$

几何意义是，向量 $\frac{z_1}{z_2}$ 的长度等于向量 $z_1$ 的长度与向量 $z_2$ 的长度之商，向量 $\frac{z_1}{z_2}$ 的辐角等于向量 $z_1$ 的辐角与向量 $z_2$ 的辐角之差．

`例` 解方程 $(1

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：复数的指数表示乘除法

下一篇：复数乘法的几何意义

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)