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复变函数与积分变换
第一篇 复数的概念与表示
复数的三角表示乘除法
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2025-01-11 16:43
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复数的三角表示乘除法
## 复数三角乘法 令$z_1=r_1\left(\cos \theta_1+i \sin \theta_1\right), \quad z_2=r_2\left(\cos \theta_2+i \sin \theta_2\right),$ 把$z_1,z_2$两式相乘，有 $$ z_1 z_2=r_1 r_2\left[\left(\cos \theta_1 \cos \theta_2-\sin \theta_1 \sin \theta_2\right)+i\left(\sin \theta_1 \cos \theta_2+\cos \theta_1 \sin \theta_2\right)\right], $$ 所以 $$ \boxed{ z_1 z_2=r_1 r_2\left[\cos \left(\theta_1+\theta_2\right)+i \sin \left(\theta_1+\theta_2\right)\right. } $$ 上式说明，两个复数相乘： 乘积的模等于模的乘积： $$ \left|z_1 z_2\right|=\left|z_1\right|\left|z_2\right|=r_1 r_2 ; $$ 乘积的辐角等于辐角的和： $$ \arg z_1 z_2=\arg z_1+\arg z_2\left(=\theta_1+\theta_2\right) . $$ ## 复数三角除法 向量的除法是乘法的逆运算，我们有如下方程： $$ \boxed{ \begin{gathered} \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left[\cos \left(\theta_1-\theta_2\right)+i \sin \left(\theta_1-\theta_2\right)\right]\\ \end{gathered} } $$ 即 $$ \left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{\left|z_1\right|}{\left|z_2\right|} $$ 和 $\arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\arg z_1-\arg z_2$ 几何意义是，向量 $\frac{z_1}{z_2}$ 的长度等于向量 $z_1$ 的长度与向量 $z_2$ 的长度之商，向量 $\frac{z_1}{z_2}$ 的辐角等于向量 $z_1$ 的辐角与向量 $z_2$ 的辐角之差．
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