最后更新: 2026-01-31 10:56 查看: 365 次纠错评论(0) 课件开VIP

一个重要的复函数：反演映射 w=1/z(下)

##  对称性的保持
考虑图 3－11a，其上有关于直线 $L$ 对称的 $a, b$ 两点，若对直线 $M$ 做反射，将 $a$映为 $\widetilde{a}, b$ 映为 $\widetilde{b}, L$ 映为 $\widetilde{L}$ ，则很清楚，象点 $\widetilde{a}, \widetilde{b}$ 关于象直线 $\widetilde{L}$ 仍为对称的。简而言之，对直线的反射能保持对直线的对称性．

![图片](/uploads/2026-01/c6a85f.jpg)
 
 我们现在要证明，对圆周的反射也保持关于圆周的对称性：
若 $a, b$ 关于一圆周 $K$ 对称，则它们在对任意圆周 $J$ 的反演之象 $\widetilde{a}, \widetilde{b}$关于 $K$ 的反演象 $\widetilde{K}$ 仍对称。

为了慬得这一点，首先要注意，因为反演是反共形的，（3．10）就只是以下更一般的结果之特例：

反演映任一对互相正交的圆周为另一对正交圆周．
当然，如果有一个圆周经过反演中心，则其象是一直线．然而，如果我们把直线看成具有无穷大半径的圆周，则以上结果不需加任何说明仍然为真。

保持对称性这个结果现在就很容易懂了。见图3－11b，因为 $a, b$ 是关于 $K$ 的对称点，所以过 $a, b$ 有两个虚线画的圆周都正交于 $K$ ，它们在对 $J$ 的反演下的象也就 同样正交于 $\widetilde{K}$ ，所以虚线圆周的象（仍用虚线圆周表示）必交于两个点，而这两点关于 $\widetilde{K}$ 也对称。

## 对球面的反演
对于三维空间中一个球面 $S$（半径为 $R$ 、中心为 $q$ ）的反演 $\mathcal{I}_S$ 显然可以定义如下：设 $p$ 为空间一点，离 $q$ 之距离为 $\rho$ ，则 $\mathcal{I}_S(p)$ 是这样一个点：从 $q$ 点到它的方向与到 $p$ 的方向相同，而离 $q$ 之距离为 $\left(R^2 / \rho\right)$ 。我们想要解释的是，这不是为推广而推广。我们很快就会看到，这个三维的反演怎样为 $\mathbb{C}$ 中的二维反演给出了新的视角。

不需多费力就可以把以上对于圆周的反演的绝大多数结果推广到对球面的反演．例如，重新考虑图 3－3．如果我们把这个（空间）图形绕经过 $q$ 点与 $a$ 点的直线旋转，就会得到图 3－12，其中反演圆周 $K$ 扫出了一个反演球面 $S$ ，而直线 $L$ 经过旋转扫出平面 $\Pi$ ．于是我们得到以下的结果：

**在对以 $q$ 为中心的球面的反演下，一个不包含 $q$ 点的平面 $\Pi$ 被映成一个包含 $q$ 点的球面 $\widetilde{\Pi}$ ，其在 $q$ 点的切平面平行于 $\Pi$ ．反之，一个包 $q$ 含点的球面 $\widetilde{\Pi}$ 则被映为一平面 $\Pi$ ，而与此球面在 $q$ 点的切平面平行...(3.11)**

![图片](/uploads/2026-01/6f521e.jpg)
 
 由同样的论证可知，若将图 3－4 绕经过 $q$ 和 $a$ 的直线旋转，我们会发现
**在对球面的反演下，一个不把反演中心包含于其内域的球面将被映为另一个也不包含反演中心于其内域的球面**．

这个结果立即告诉我们空间中的圆周在对球面的反演下发生什么事，因为这样的圆周可以看作两个球面的交线．这样，我们就很容易地导出以下的结果 ：

**在对球面的反演下，一个不过反演中心 $q$ 的圆周 $C$ 的象是另一个也不经过 $q$ 的圆周．若 $C$ 经过 $q$ ，则其象是一条与 $C$ 在 $q$ 处的切线平行的直线 ...(3.12)**．

对圆周的反演与对直线的反射的密切关系也得到保持：对平面的反射是对球面的反演的极限情况。由于这个原因，对球面的反演也称为＂对球面的反射＂．特别重要的是以下事实，即这种三维反射仍保持对称性：

**令 $K$ 为一平面或球面，$a, b$ 是关于 $K$ 的对称点。在对任一平面或球面的三维反射下，$a$ 与 $b$ 的象仍关于 $K$ 的象对称。**

我们现在来描述一下导出这个结果的步骤，这些步骤很类似于导出二维对称性得以保持这一结果的步骤。

**如果将图 3－6a 绕连接 $K$ 与 $C$ 的中心的直线旋转，即知
在对球面 $K$ 的反演下，每个正交于 $K$ 的球面均被映为其自身**．

当我们说到两个球面＂正交＂时，即指它们在两球面交线的那个圆上各点处的切平面都正交。然而，为了更容易地得出上面的结果，我们把这个三维的结果用二维的语言重述如下：

**令 $S_1, S_2$ 为相交球面，$C_1, C_2$ 为它们在一经过两个球心的平面 $\Pi$ 上截出的大圆．则 $S_1$ 与 $S_2$ 正交当且仅当 $C_1$ 与 $C_2$ 正交**．

见图 3－13．这个图能帮助你看到，如果限制在 $\Pi$ 上，则对 $S_1$ 的三维反演变成了对于 $C_1$ 的二维反演．这样看待球面反演的方法使我们能很快地推广早前的结果．

![图片](/uploads/2026-01/e70653.jpg)
 
 例如，回到图 3－6b，我们发现——请确定你也看到了这一点——若 $p$ 在 $\Pi$ 上，则 $\widetilde{p}=\mathcal{I}_{S_1}(p)$ 是像 $C_2$ 这样的满足以下 3 个条件的任意两个圆的第二个交点：（i）也在 $\Pi$ 上，（ii）正交于 $C_1$ ，（iii）经过 $p$ ．

接着，假设把图 3－13 中的 $S_1, S_2$ 都对第三个球面 $K$ 做反演。取 $\Pi$ 为经过 $S_1, S_2$ 和 $K$ 的球心的唯一平面，而 $C$ 为 $K$ 交 $\Pi$ 而得的大圆。因为 $\mathcal{I}_C$ 将 $C_1$ 和 $C_2$映为正交于它们的圆，可知（3．14）其实是以下结果的特例 ：

**正交球面反演为正交球面．**

我们在这里把平面看成球面的极限情况．
把这些事实合并起来，我们就能看出（3．13）为真。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：一个重要的复函数：反演映射 w=1/z(中)

下一篇：解析函数-保角性★★★★★

本文对您是否有用？有用 (1) 无用 (0)