最后更新: 2025-05-28 21:23 查看: 938 次反馈同步训练

棣莫弗(De Moivre)公式

## 复数的乘幂

**定义** 设 $z$ 是给定的复数, $n$ 为正整数, $n$ 个 $z$ 相乘的积称为
复数 $z$ 的乘幂, 记为 $z^n$, 即 $z^n=\underbrace{z \cdot z \cdots z}_{n \uparrow}$.

利用复数的指数表示式可以很快得到乘幂法则。

设 $z=r \mathrm{e}^{i \theta}$, 则 $z^n=\left(r \mathrm{e}^{i \theta}\right)^n=r^n \mathrm{e}^{i n \theta}$.

## 棣莫弗(De Moivre)公式

> 本文介绍《复变函数》棣莫弗公式，要查看高中版，请点击[棣莫弗公式(高中版)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=104)

由 $z^n=\left(r \mathrm{e}^{i \theta}\right)^n=r^n \mathrm{e}^{i n \theta}$ 以及复数的三角表示式可得

$$
z^n=[r(\cos \theta+i \sin \theta)]^n=r^n(\cos n \theta+i \sin n \theta) .
$$

在上式中令 $r=1$, 则得到棣莫弗(De Moivre)公式:

$$
\boxed{
(\cos \theta+i \sin \theta)^n=\cos n \theta+i \sin n \theta }
$$

## 例题
`例`求 $\cos 3 \theta$ 及 $\sin 3 \theta$ 用 $\cos \theta$ 与 $\sin \theta$ 表示的式子．
解 由棣莫弗公式

$$
\begin{aligned}
\cos 3 \theta+i \sin 3 \theta & =(\cos \theta+i \sin \theta)^3 \\
& =\cos ^3 \theta+3 i \cos ^2 \theta \cdot \sin \theta-3 \cos \theta \cdot \sin ^2 \theta-i \sin ^3 \theta,
\end{aligned}
$$

因此

$$
\cos 3 \theta=\cos ^3 \theta-3 \cos \theta \cdot \sin ^2 \theta=4 \cos ^3 \theta-3 \cos \theta,
$$

及

$$
\sin 3 \theta=3 \cos ^2 \theta \sin \theta-\sin ^3 \theta=3 \sin \theta-4 \sin ^3 \theta .
$$

因此，使用棣莫弗公式，我们就快速得到了三角函数里的三倍角公式。

`例` 计算 $(1-i)^{10}$

解: 先将 $1-i$ 化为三角形式:

$$
1-i=\sqrt{2}\left[\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)+i \sin \lef

其他版本
【高中数学】复数的指数表示

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：复数乘法的几何意义

下一篇：复数的方根

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)