最后更新: 2025-05-28 21:37 查看: 425 次反馈同步训练

复数的方根

## 复数的方根

**定义** 设 $z$ 是给定的复数, $n$ 是正整数, 求所有满足 $w^n=z$ 的复数 $w$, 称为把复数 $z$ 开 $n$ 次方, 或者称为求复数 $z$ 的 ${n}$ 次方根, 记作 $w=\sqrt[n]{z}$ 或 $w=z^{1 / n}$.

> 复数 $z$ 的 $n$ 次方根一般是多值的。

利用复数的指数表示式可以很快得到开方法则。

### 推导 
设

$$
z=r \mathrm{e}^{i \theta}, w=\rho \mathrm{e}^{i 
\varphi}
$$

由 $w^n=z$ 有 $\rho^n \mathrm{e}^{i n \varphi}=r \mathrm{e}^{i \theta}$,
即 $\rho^n(\cos n \varphi+i \sin n \varphi)=r(\cos \theta+i \sin \theta)$,
得 $\rho^n=r, \Rightarrow \rho=\sqrt[n]{r}$; — 正实数的算术根。

$$
n \varphi=\theta+2 k \pi, \Rightarrow \varphi_k=\frac{\theta}{n}+k \frac{2 \pi}{n},(k=0,1, \cdots, n-1) .
$$

由此的：设 $z=r \mathrm{e}^{i \theta}$, 则 $\boldsymbol{w}_k=\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r} \mathrm{e}^{i\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2 k \pi}{n}\right)},(k=0,1, \cdots, n-1)$.

## 复数的方根的几何意义

$$
{w}_k=\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r} \mathrm{e}^{i\left(\frac{\theta}{n}+\frac{2 k \pi}{n}\right)},(k=0,1, \cdots, n-1) .
$$
成为复数$z$的方根。

在复平面上, 这 ${n}$ 个方根均匀地分布在一个以原点为中心、以 $\sqrt[n]{{r}}$ 为半径的圆周上。其中一个根的辐角是 $(\theta / n)$.
![图片](/uploads/2023-11/image_20231118432007f.png)

## 方根的计算
直接利用公式求根;先找到一个特定的根，再确定出其余的根。

`例`求 $\sqrt[3]{-8}$.
解法1： $\sqrt[3]{-8}=2 \mathrm{e}^{i\left(\frac{\pi}{3}+\frac{2 k \pi}{3}\right)},(k=0,1,2)$.

所以方根为为: $-2,2 \mathrm{e}^{\frac{\pi}{3} i}, 2 \mathrm{e}^{-\frac{\pi}{3} i}$.

解法2：  因 $-8=8(\cos \pi+i \sin \pi)$ ，故

$$
(\sqrt[3]{-8})_k=\sqrt[3]{8}\left(\cos \frac{\pi+2 k \pi}{3}+i \sin \frac{\pi+2 k \pi}{3}\right) \quad(k=0,1,2)
$$

当 $k=0$ 时，$(\sqrt[3]{-8})_0=\sqrt[3]{8}\left(\cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i \right)=1+\sqrt{3} i$ ；
当 $k=1$ 时，$(\sqrt[3]{-8})_1=2(\cos \pi+i \sin \pi)=-2$ ；

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