最后更新: 2026-02-09 14:56 查看: 187 次纠错评论(0) 课件开VIP

光滑曲线的方向与积分参数化

## 光滑弧线
本节我们给出 $x y$ 平面上曲线的直观概念的数学解释．

> 我们想象画家在图纸上画一条曲线 $\gamma$ 的过程．在任意特定时刻 $t$ ，有一个点，譬如说点 $z=x+ i y$ 被画出来，在时间段 $a \leqslant t \leqslant b$ 上画出的所有点的轨迹构成了这条曲线．显然，画家的这种行为可以看作是生成了一个以 $t$ 为白变量的函数 $z$ ，曲线 $\gamma$ 为当 $t$ 在 $a$ 和 $b$ 之间变动时 $z(t)$ 的值．这时称 $z(t)$ 为 $\gamma$ 的参数函数．图 4－1 列举了我们需要考虑的几种曲线的类型。

如果一条曲线**没有自交点和尖角**，则它的数学描述就相当简单，所以我们先来限定研究图中前两种曲线——＂光滑＂曲线．其他两条称为一般＂曲线＂，一般曲线可以分成几条光滑曲线段．因此在绘制一条光滑曲线 $\gamma$ 时应遵循下列程序。

首先，在绘制过程中我们不允许笔尖离开纸面，用数学的语言表达，即要求 $z(t)$ 是连续的．其次，我们强调曲线由平稳光滑的一笔画成，具体地说，笔尖必须以适当的（•有限）速率进行移动，即笔尖移动必须是连续变化的．笔尖画过点 $(x(t), y(t))$ 的速度为向量 $( d x / d t, d y /$ $d t)=x^{\prime}(t)+ i y^{\prime}(t)$ ，称此向量为 $z^{\prime}(t)$ ．因此我们强调 $z^{\prime}(t)$ 存在  且在 $[a, b]$ 连续．此外，为避免出现尖角（绘图过程中的突然中断所产生的），还要求 $z^{\prime}(t) \neq 0$ ．

最后，我们假设每个点只绘制一次，换句话说，$z(t)$ 必须是一一的．但是允许起点与终点可能重合，如图 4－1 所示的第二条曲线．
 ![图片](/uploads/2025-01/8ceb99.jpg)

**定义1** 设复平面上的点集 $\gamma$ 是某连续复值函数 $z=z(t)(a \leqslant t \leqslant b)$ 的值域，其中 $z(t)$ 满足以下条件：
（i）$z=z(t)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导函数 ．
（ii）$z=z^{\prime}(t)$ 在 $[a, b]$ 上恒不为零．
（iii）$z(t)$ 在 $[a, b]$ 上是一对一的．
则称点集 $\gamma$ 为一条**光滑弧线**。

若 $z(t)$ 除满足上述条件（i）（ii）外还满足
（iii＇）$z(t)$ 在半开半闭区间 $[a, b)$ 上是一对一的，且 $z(b)=z(a), z^{\prime}(b)=z^{\prime}(a)$ ，则称点集 $\gamma$ 为一条**光滑闭曲线**（smooth closed curve）．

为证明复平面上的点集 $\gamma$ 是光滑曲线，我们必须构造一个值域为 $\gamma$ 的＂可允许＂参数函数 $z(t)$ ，其中可允许的含义是指它满足定义 1 的条件．事实上，如果一条曲线是光滑的，它会有无限多个可允许参数函数．例如，画家可任选曲线的两端点之一作为起点；若曲线是闭的，他可选择曲线上任意一点作为起点；他还可在某一部分画得快一些而在另一部分画得慢一些。一条给定的光滑曲线 $\gamma$ 有很多不同的可允许参数函数，但是为了说明给定的曲线是光滑的，我们仅仅需要一个可允许参数函数即可。

本文中大部分内容仅涉及线段或圆弧的参数函数．下面给出几个基本的例子．

`例`对于下列每一条光滑曲线写出它的一个可允许参数函数．
（a）从 $z=1$ 到 $z=8$ 的水平线段．
（b）从 $z=2-2 i$ 到 $z=2+2 i$ 的垂线段．
（c）连接 $-2-3 i$ 与 $5+6 i$ 的直线段．
（d）圆心为 $1- i$ ，半径为 2 的圆．
（e）函数 $y=x^3(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 的图．

解（a）此线段的点集为 $z=x, 1 \leqslant x \leqslant 8$ ．用参数 $t$ 代替 $x$ ，即

$$
z(t)=t(1 \leqslant t \leqslant 8)
$$

事实上，不必坚持以字母＂$t$＂作为参数，函数

$$
z(x)=x(1 \leqslant x \leqslant 8)
$$

也符合题意．
（b）此垂线段的点集为：$z=2+ i y,-2 \leqslant y \leqslant 2$ ．所以可取参数函数

$$
z(y)=2+i y(-2 \leqslant y \leqslant 2)
$$

（c）对于任何两个不同的点 $z_1, z_2$ ，连接 $z_1, z_2$ 的线段上的任一点可表示为 $z_1+t\left(z_2-z_1\right)$ 的形式，其中 $0 \leqslant t \leqslant 1$（参见练习 1.3 的习题 18 ）．因此，给定线段的参数函数为

$$
z(t)=-2-3 i+t(7+9 i)(0 \leqslant t \leqslant 1) .
$$

（d） 1.4 节中已经证明，以原点为圆心的单位圆上的任何点可表示为 $e ^{ i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta(0 \leqslant \theta<$ $2 \pi)$ 的形式，因此对于这条光滑闭曲线建立的可允许参数函数是以 $\theta$ 为参变量的函数：$z_0(\theta)=$ $e ^{ i \theta}, 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi$（注意到两端点正好重合）．为了得到圆周 $( d )$ 的一个参数函数，我们只需平移上述参数函数的圆心并把它的半径加倍，即

$$
z(\theta)=1-i+2 e^{i \theta} \quad(0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi)
$$

注意，对 $\theta$ 的范围做适当限制，可得到半圆或任意圆弧的一个参数函数．
（e）求任何函数 $y=f(x)$ 的图像的参数函数也很容易，只需设 $x$ 为参数，令 $z(x)=x+$ $i f(x)$ ，并注明其参数范围．若 $f(x)$ 连续可微，则 $z(x)$ 是一个可允许参数函数．对于曲线（e），我们有

$$
z(x)=x+i x^3(0 \leqslant x \leqslant 1)
$$

易证上述每条曲线都满足条件（i），（ii），（iii），因此它们都是可允许参数函数．
 ![图片](/uploads/2025-01/d22f59.jpg)
 
## 光滑曲线的方向
由此可见光滑弧线 $\gamma$ 上的点确实存在两种＂自然＂顺序，它们由 $\gamma$ 的哪一个端点作为起点来决定。我们把被确定了点的顺序的光滑弧线称为有向光滑弧线。点的顺序用箭头表示，如图4－3所示．

画家在绘制 $\gamma$ 时所产生的曲线上的点的顺序由刻画笔的轨迹的参数函数 $z=z(t)$ 反映出来．特别地，只要 $t_1<t_2$ ，点 $z\left(t_1\right)$ 便在点 $z\left(t_2\right)$ 之前。由于仅有两种可能的（自然）顺序，所以任意可允许参数函数曲线按照它的特定顺序必为二者之一。一般地，若 $z=z(t)(a \leqslant t \leqslant b)$ 是符合其中一种顺序的可允许参数函数，则 $z=z(-t)(-b \leqslant t \leqslant-a)$ 总是对应与之相反的顺序．

![图片](/uploads/2025-01/f80da6.jpg){width=550px}
 
 
 
 ## 光滑闭曲线的方向

如果要画一条光滑闭曲线，则情况要稍微复杂一些．先选取一个起点，然后选择这条曲线的一个方向。这些确定之后，$\gamma$ 上的点的顺序就确定了．然而，存在一个特例，由于起点也是终点，所以它既在其他任意点之前又在它们之后．不考虑这个特殊点，当（i）起始点已确定及（ii）从这点开始的＂方向＂已选定，则称这条光滑闭曲线的点被确定了顺序．一条被确定了点的顺序的光滑闭曲线称为有向光滑闭曲线。

与光滑弧线情况一样，笔的轨迹的参数化反映了在画一条光滑闭曲线时产生的曲线上的点的顺序．如果它的参数函数由 $z=z(t)$ ，$a \leqslant t \leqslant b$ 给出，那么（i）起点一定为 $z(a)$且（ii）只要 $a<t_1<t_2<b$ ，点 $z\left(t_1\right)$ 便在点 $z\left(t_2\right)$ 之前．任何其他有同样起点的可允许参数函数必然对应这个顺序或与之相反．
  
有向光滑曲线指有向光滑弧线或者有向光滑闭曲线．

### 曲线的内部和外部
一条若尔当曲线可把平面分成曲线内部和外部这一直观的结论（参见图 4－11）．
 ![图片](/uploads/2025-01/be37ae.jpg)

想象一个人沿着曲线逆时针运行，此时产生正方向 
 ![图片](/uploads/2025-01/c88ce6.jpg)

对平面区域 $D$ 的边界曲线 $L$ ，我们规定 $L$ 的正向如下：当观察者沿 $L$ 的这个方向行走时，$D$ 内在他近处的那一部分总在他的左**边**．

例如，$D$ 是边界曲线 $L$ 及 $l$ 所围成的复连通区域 ，作为 $D$ 的正向边界，$L$ 的正向是逆时针方向，而 $l$ 的正向是顺时针方向．

![图片](/uploads/2025-01/f16ef6.jpg)

`例` 将图4－9 中的曲线参数化，参数 $t$ 的取值范围为 $[0,1]$ 。
![图片](/uploads/2025-01/3706c8.jpg)

解 我们已经知道了如何将线段参数化，下面是 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ 的可允许参数函数，且分别和它们的方向一致：

$$
\begin{aligned}
& \gamma_1: z_1(t)= t \\
& \gamma_2: z_2(t)=1+t(i-1) \\
& \gamma_3: z_3(t)=i-t i
\end{aligned}
$$

现在做一些调整，使 $\gamma_1$ 的参数 $t$ 在 0 与 $1 / 3$ 之间变动，$\gamma_2$ 的参数的变化范围为 $1 / 3 \leqslant t \leqslant 2 / 3$ ， $\gamma_3$ 的参数的变化范围为 $2 / 3 \leqslant t \leqslant 1$ ．以上仅是对变量 $t$ 的变化范围做了简单的调整．

对于 $\gamma_1$ ，观察到函数 $z_1(t)=t(0 \leqslant t \leqslant 1)$ 的值域与函数 $z_I(t)=3 t(0 \leqslant t \leqslant 1 / 3)$ 的值域相同， $z_1(t)$ 也是一个可允许参数函数且没改变 $\gamma_1$ 上点的顺序。曲线 $\gamma_2$ 的值域为 $z_2(t)=1+t( i -1)$ ， $0 \leqslant t \leqslant 1$ ，它与 $z_{11}(t)=1+3(t-1 / 3)( i -1)(1 / 3 \leqslant t \leqslant 2 / 3)$ 的值域相同，$z_{ II }(t)$ 同样是可允许参数函数且其上点的顺序没变．用类似方法处理 $z_3(t)$ ，从而得到
 ![图片](/uploads/2025-01/fa04ed.jpg)

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