最后更新: 2025-01-16 09:36 查看: 136 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

光滑曲线的方向与积分参数化

## 光滑弧线
本节我们给出 $x y$ 平面上曲线的直观概念的数学解释．

为此，我们想象画家在图纸上画一条曲线 $\gamma$ 的过程．在任意特定时刻 $t$ ，有一个点，譬如说点 $z=x+ i y$ 被画出来，在时间段 $a \leqslant t \leqslant b$ 上画出的所有点的轨迹构成了这条曲线．显然，画家的这种行为可以看作是生成了一个以 $t$ 为白变量的函数 $z$ ，曲线 $\gamma$ 为当 $t$ 在 $a$ 和 $b$ 之间变动时 $z(t)$ 的值．这时称 $z(t)$ 为 $\gamma$ 的参数函数．图 4－1 列举了我们需要考虑的几种曲线的类型。

如果一条曲线没有自交点和尖角，则它的数学描述就相当简单，所以我们先来限定研究图中前两种曲线——＂光滑＂曲线．其他两条称为一般＂曲线＂，一般曲线可以分成几条光滑曲线段．因此在绘制一条光滑曲线 $\gamma$ 时应遵循下列程序。

首先，在绘制过程中我们不允许笔尖离开纸面，用数学的语言表达，即要求 $z(t)$ 是连续的．其次，我们强调曲线由平稳光滑的一笔画成，具体地说，笔尖必须以适当的（•有限）速率进行移动，即笔尖移动必须是连续变化的．笔尖画过点 $(x(t), y(t))$ 的速度为向量 $( d x / d t, d y /$ $d t)=x^{\prime}(t)+ i y^{\prime}(t)$ ，称此向量为 $z^{\prime}(t)$ ．因此我们强调 $z^{\prime}(t)$ 存在  且在 $[a, b]$ 连续．此外，为避免出现尖角（绘图过程中的突然中断所产生的），还要求 $z^{\prime}(t) \neq 0$ ．

最后，我们假设每个点只绘制一次，换句话说，$z(t)$ 必须是一一的．但是允许起点与终点可能重合，如图 4－1 所示的第二条曲线．
 ![图片](/uploads/2025-01/8ceb99.jpg)

**定义1** 设复平面上的点集 $\gamma$ 是某连续复值函数 $z=z(t)(a \leqslant t \leqslant b)$ 的值域，其中 $z(t)$ 满足以下条件：
（i）$z=z(t)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导函数 ．
（ii）$z=z^{\prime}(t)$ 在 $[a, b]$ 上恒不为零．
（iii）$z(t)$ 在 $[a, b]$ 上是一对一的．
则称点集 $\gamma$ 为一条**光滑弧线**。

若 $z(t)$ 除满足上述条件（i）（ii）外还满足
（iii＇）$z(t)$ 在半开半闭区间 $[a, b)$ 上是一对一的，且 $z(b)=z(a), z^{\prime}(b)=z^{\prime}(a)$ ，则称点集 $\gamma$ 为一条**光滑闭曲线**（smooth closed curve）．

为证明复平面上的点集 $\gamma$ 是光滑曲线，我们必须构造一个值域为 $\gamma$ 的＂可允许＂参数函数 $z(t)$ ，其中可允许的含义是指它满足定义 1 的条件．事实上，如果一条曲线是光滑的，它会有无限多个可允许参数函数．例如，画家可任选曲线的两端点之一作为起点；若曲线是闭的，他可选择曲线上任意一点作为起点；他还可在某一部分画得快一些而在另一部分画得慢一些。一条给定的光滑曲线 $\gamma$ 有很多不同的可允许参数函数，但是为了说明给定的曲线是光滑的，我们仅仅需要一个可允许参数函数即可。

本文中大部分内容仅涉及线段或圆

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