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复变函数与积分变换
第三篇 复变函数的积分
复变函数的积分
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2025-01-16 08:25
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复变函数的积分
## 复积分的定义 如图设 $C$ 为简单光滑的有向曲线,其方向是从 $a$ 到 $b$ ,函数 $f(z)$ 在 $C$ 上有定义, ![图片](/uploads/2025-01/2ab39d.jpg) (1)将曲线 $C$ **任意划分**: $z_0=a, z_1, z_2, \cdots, z_n=b$ 令 $\Delta z_k=z_k-z_{k-1}, \quad \lambda=\max _{1 \leq k \leq n}\left|\Delta z_k\right| $ (2)在每个弧段 $\widehat{z_{k-1}} z_k$ 上**任取一点** $\zeta_k \in \widetilde{z_{k-1}} z_k$ ,若 $\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{k=1}^n f\left(\zeta_k\right) \Delta z_k$ 存在(不依赖 $C$ 的划分和 $\zeta_k$ 的选取),则称之为 $f(z)$ 沿曲线 $C$ 的积分,记为 $\int_C f(z) d z$ .即 $$ \boxed{ J=\int_C f(z) d z } $$ $C$ 称为积分路径, $\int_C f(z) d z$ 表示 $f(z)$ 沿 $C$ 的正方向的积分, $\int_{C_{-}} f(z) d z$ 表示 $f(z)$沿 $C$ 的负方向的积分. ## 复积分计算你公式 根据定义: $$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n f\left(\zeta_k\right) \Delta z_k= & \sum_{k=1}^n\left[u\left(\xi_k, \eta_k\right)+i v\left(\xi_k, \eta_k\right)\right]\left(\Delta x_k+i \Delta y_k\right) \\ = & \sum_{k=1}^n\left[u\left(\xi_k, \eta_k\right) \Delta x_k-v\left(\xi_k, \eta_k\right) \Delta y_k\right] \\ & +i \sum_{k=1}^n\left[v\left(\xi_k, \eta_k\right) \Delta x_k+u\left(\xi_k, \eta_k\right) \Delta y_k\right] \end{aligned}\\ $$ 将上式两端取极限 即令 $\lambda=\max _{1 \leq k \leq n}\left|\Delta z_k\right| \rightarrow 0$ 得 $$ \boxed{ \int_C f(z) d z=\int_C u d x-v d y+i \int_C v d x+u d y . } $$ 此就是复积分计算公式。 (2)设曲线 $C: z=z(t)=x(t)+i y(t), t: a \rightarrow b$ ,则 $$ \begin{aligned} \int_C f(z) d z= & \int_a^b\left[u(x(t), y(t)) x^{\prime}(t)-v(x(t), y(t)) y^{\prime}(t)\right] d t \\ & +i \int_a^b\left[v(x(t), y(t)) x^{\prime}(t)+u(x(t), y(t)) y^{\prime}(t)\right] d t \\ = & \int_a^b[u(x(t), y(t))+i v(x(t), y(t))]\left[x^{\prime}(t)+i y^{\prime}(t)\right] d t \\ = & \int_a^b f[z(t)] z^{\prime}(t) d t . \end{aligned} $$ 即 $$ \boxed{ \int_C f(z) d z=\int_a^b f[z(t)] z^{\prime}(t) d t } $$ 这就是以参数方式计算复积分公式。 ## 复积分的性质 (1) $\int_C[\alpha f(z)+\beta g(z)] d z=\alpha \int_C f(z) d z+\beta \int_C g(z) d z$ . (2) $\int_C f(z) d z=-\int_{C^{-}} f(z) d z$ . (3) $\int_C f(z) d z=\int_{C_1} f(z) d z+\int_{C_2} f(z) d z$ , 其中,$C=C_1+C_2$ . (4)$\left|\int_C f(z) d z\right| \leq \int_C|f(z)|| d z|=\int_C|f(z)| d s \leq M L$ , 其中,$M=\max _{z \in C}|f(z)|$ , L 为曲线 $C$ 的弧长。 ## 复积分计算举例 复积分的计算主要包括三种方法: 方法一 化为第二类曲线积分 $$ \begin{aligned} \int_C f(z) d z & =\int_C(u+i v)(d x+i d y) \\ & =\int_C u d x-v d y+i \int_C v d x+u d y . \end{aligned} $$ 进一步可化为定积分或者二重积分,这里通常会用到格林(Green)公式[格林公式教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=430) 设 $D$ 为单连域,边界 $C$ 分段光滑,函数 $P(x, y), Q(x, y)$在 $\bar{D}=D+C$ 上的偏导数连续,则 $$ \int_C P d x+Q d y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y . $$ 方法二 直接化为定积分 设曲线 $C: z=z(t)=x(t)+i y(t), t: a \rightarrow b$ ,则 $$ \int_C f(z) d z=\int_a^b f[z(t)] z^{\prime}(t) d t, $$ 其中,$z^{\prime}(t)=x^{\prime}(t)+i y^{\prime}(t)$ . 方法三:留数定理(后述) `例`计算 $I=\int_C z d z$ ,其中 $C$ 为(如图): (1)$C=C_1+C_2$ ; (2)$C=C_3$ ; (3)$C=C_4$ . ![图片](/uploads/2025-01/748789.jpg) 解:(1)把曲线化为参数方程进行积分。化为参数方程参见[光滑曲线](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1881) 曲线 $C_1$ 的方程为 $z=x, x: 0 \rightarrow 1$ ,曲线 $C_2$ 的方程为 $z=1+i y, y: 0 \rightarrow 1$ , $$ \begin{aligned} I & =\int_{C_1} z d z+\int_{C_2} z d z \\ & =\int_0^1 x d x+\int_0^1(1+i y) d(1+i y) \\ & =\int_0^1 x d x+\int_0^1 i(1+i y) d y \\ & =\left.\frac{1}{2} x^2\right|_0 ^1+\left.\left(i y-\frac{1}{2} y^2\right)\right|_0 ^1=i \end{aligned} $$ (2)曲线$C_3 $的方程为$ z=t+i t, t: 0 \rightarrow 1$ $$ \begin{aligned} I & =\int_{C_3} z d z \\ & =\int_0^1(t+i t) d(t+i t) \\ & =(1+i)(1+i) \int_0^1 t d t \\ & =\left.2 i \cdot \frac{1}{2} t^2\right|_0 ^1=i . \end{aligned} $$ (3) $$ \begin{aligned} &\text {曲线 } C_4 \text { 的方程为 } z=t^2+i t, t: 0 \rightarrow 1 \text { ,}\\ &\begin{aligned} I & =\int_{C_4} z d z \\ & =\int_0^1\left(t^2+i t\right) d\left(t^2+i t\right) \\ & =\left.\frac{1}{2}\left(t^2+i t\right)^2\right|_0 ^1 \\ & =\frac{1}{2}(1+i)^2=i . \end{aligned} \end{aligned} $$ `例`计算 $I=\int_C \bar{z} d z$ ,其中 $C$ 为:(1)$C=C_1+C_2$ ;(2)$C=C_3$ . ![图片](/uploads/2025-01/a91d72.jpg) 解(1)曲线 $C_1$ 的方程为 $z=x, x: 0 \rightarrow 1$ , 曲线 $C_2$ 的方程为 $z=1+i y, y: 0 \rightarrow 1$ , $$ \begin{aligned} I & =\int_{C_1} \bar{z} d z+\int_{C_2} \bar{z} d z, \\ & =\int_0^1 x d x+\int_0^1(1-i y) d(1+i y) \\ & =\int_0^1 x d x+\int_0^1 i(1-i y) d y \\ & =\left.\frac{1}{2} x^2\right|_0 ^1+\left.\left(i y+\frac{1}{2} y^2\right)\right|_0 ^1=1+i . \end{aligned} $$ 解(2) $$ \begin{aligned} &\text {曲线 } C_3 \text { 的方程为 } z=t+i t, t: 0 \rightarrow 1 \text { ,}\\ &\begin{aligned} I & =\int_{C_3} \bar{z} d z \\ & =\int_0^1(t-i t) d(t+i t) \\ & =(1-i)(1+i) \int_0^1 t d t \\ & =\left.2 \cdot \frac{1}{2} t^2\right|_0 ^1=1 \end{aligned} \end{aligned} $$ `例`计算 $I=\int_C \frac{d z}{\left(z-z_0\right)^n}$ ,其中,$C$ 为 $\left|z-z_0\right|=r, n$ 为整数。 ![图片](/uploads/2025-01/3a95d0.jpg) 解 曲线 $C$ 的参数方程为 $z=z_0+r e ^{i \theta}, \theta: 0 \rightarrow 2 \pi$ , $$ \begin{aligned} I & =\int_0^{2 \pi} \frac{r e^{i \theta} i}{\left(r e^{i \theta}\right)^n} d \theta \\ & =\frac{i}{r^{n-1}} \int_0^{2 \pi} e^{i(1-n) \theta} d \theta \end{aligned} $$ 当 $n=1$ 时,$I=2 \pi i$ ; 当 $n \neq 1$ 时,$I=\left.\frac{i}{i(1-n) r^{n-1}} e ^{i(1-n) \theta}\right|_0 ^{2 \pi}=0$ . `例`计算积分 $\int_{C_r}\left(z-z_0\right)^n d z$ ,其中 $n$ 是整数,$C_r$ 是以逆时针方向绕圆周 $\left|z-z_0\right|=r$ 旋转一周的曲线 ${ }^{\ominus}$ ,如图 4-17所示。 ![图片](/uploads/2025-01/bfb7af.jpg) 解 取 $C$ ,的一个合适的参数函数:$z(t)=z_0+r e ^{i t}$ , $0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ .令 $f(z)=\left(z-z_0\right)^n$ .我们有 $$ f(z(t))=\left(z_0+r e^{i t}-z_0\right)^n=r^n e^{i n t} $$ 和 $$ z^{\prime}(t)=ire{ }^{i t} . $$ 因此,由公式, $$ \boxed{ \int_C f(z) d z=\int_a^b f[z(t)] z^{\prime}(t) d t } $$ 得 $$ \int_{C_r}\left(z-z_0\right)^n d z=\int_0^{2 \pi}\left(r^n e^{i n t}\right)\left(i r e^{i t}\right) d t=i r^{n+1} \int_0^{2 \pi} e^{i(n+1) t} d t $$ 对上式最后一个积分分两种情况讨论.当 $n \neq-1$ 时,有 $$ i r^{n+1} \int_0^{2 \pi} e^{i(n+1) t} d t=\left.ir r^{n+1} \frac{e^{i(n+1) t}}{i(n+1)}\right|_0 ^{2 \pi}=i r^{n+1}\left[\frac{1}{i(n+1)}-\frac{1}{i(n+1)}\right]=0 $$ 而当 $n=-1$ 时, $$ ir{ }^{n+1} \int_0^{2 \pi} e^{i(n+1) t} d t=i \int_0^{2 \pi} d t=2 \pi i $$ 这样(无论 $r$ 取何值) $$ \int_{C_r}\left(z-z_0\right)^n d z= \begin{cases}0 & n \neq-1 \\ 2 \pi i, & n=-1 .\end{cases} $$ > 关于这个结论需要记住,更详细解释清参考[麦克斯韦方程组](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1879) `例`计算 $\int_{\Gamma} \frac{1}{z-z_0} d z $ 其中 $\Gamma$ 是以逆时针方向绕圆周|$z-z_0 \mid=r$ 两周的周线,起点是 $z_0+r$ . 解 令 $C_r$ 表示以逆时针方向绕圆周一周的周线,则 $\Gamma=\left(C_r, C_r\right)$ .因此,由上例得到 $$ \int_{\Gamma} \frac{d z}{z-z_0}=\int_{c_r} \frac{d z}{z-z_0}+\int_{C_r} \frac{d z}{z-z_0}=2 \pi i+2 \pi i=4 \pi i $$
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