最后更新: 2025-01-16 08:25 ● 参与者查看: 218 次纠错分享参与项目词条搜索

复变函数的积分

## 复积分的定义
如图设 $C$ 为简单光滑的有向曲线，其方向是从 $a$ 到 $b$ ，函数 $f(z)$ 在 $C$ 上有定义，

![图片](/uploads/2025-01/2ab39d.jpg)
 
（1）将曲线 $C$ **任意划分**：
$z_0=a, z_1, z_2, \cdots, z_n=b$

令 $\Delta z_k=z_k-z_{k-1}, \quad \lambda=\max _{1 \leq k \leq n}\left|\Delta z_k\right| $

（2）在每个弧段 $\widehat{z_{k-1}} z_k$ 上**任取一点** $\zeta_k \in \widetilde{z_{k-1}} z_k$ ，若 $\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{k=1}^n f\left(\zeta_k\right) \Delta z_k$ 存在（不依赖 $C$ 的划分和 $\zeta_k$ 的选取），则称之为 $f(z)$ 沿曲线 $C$ 的积分，记为 $\int_C f(z) d z$ ．即

$$
\boxed{
J=\int_C f(z) d z
}
$$

$C$ 称为积分路径， $\int_C f(z) d z$ 表示 $f(z)$ 沿 $C$ 的正方向的积分， $\int_{C_{-}} f(z) d z$ 表示 $f(z)$沿 $C$ 的负方向的积分．

## 复积分计算你公式
根据定义:
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^n f\left(\zeta_k\right) \Delta z_k= & \sum_{k=1}^n\left[u\left(\xi_k, \eta_k\right)+i v\left(\xi_k, \eta_k\right)\right]\left(\Delta x_k+i \Delta y_k\right) \\
= & \sum_{k=1}^n\left[u\left(\xi_k, \eta_k\right) \Delta x_k-v\left(\xi_k, \eta_k\right) \Delta y_k\right] \\
& +i \sum_{k=1}^n\left[v\left(\xi_k, \eta_k\right) \Delta x_k+u\left(\xi_k, \eta_k\right) \Delta y_k\right]
\end{aligned}\\
$$

将上式两端取极限 即令 $\lambda=\max _{1 \leq k \leq n}\left|\Delta z_k\right| \rightarrow 0$ 得

$$
\boxed{
\int_C f(z) d z=\int_C u d x-v d y+i \int_C v d x+u d y .
}
$$

此就是复积分计算公式。

（2）设曲线 $C: z=z(t)=x(t)+i y(t), t: a \rightarrow b$ ，则

$$
\begin{aligned}
\int_C f(z) d z= & \int_a^b\left[u(x(t), y(t)) x^{\prime}(t)-v(x(t), y(t)) y^{\prime}(t)\right] d t \\
& +i \int_a^b\left[v(x(t), y(t)) x^{\prime}(t)+u(x(t), y(t)) y^{\prime}(t)\right] d t \\
= & \int_a^b[u(x(t), y(t))+i v(x(t), y(t))]\left[x^{\prime}(t)+i y^{\prime}(t)\right] d t \\
= & \int_a^b f[z(t)] z^{\prime}(t) d t .
\end{aligned}
$$

即 
$$
\boxed{
\int_C f(z) d z=\int_a^b f[z(t)] z^{\prime}(t) d t
}
$$

这就是以参数方式计算复积分公式。

## 复积分的性质 
（1） $\int_C[\alpha f(z)+\beta g(z)] d z=\alpha \int_C f(z) d z+\beta \int_C g(z) d z$ ．
（2） $\int_C f(z) d z=-\int_{C^{-}} f(z) d z$ ．
（3） $\int_C f(z) d z=\int_{C_1} f(z) d z+\int_{C_2} f(z) d z$ ，
其中，$C=C_1+C_2$ ．
（4）$\left|\int_C f(z) d z\right| \leq \int_C|f(z)|| d z|=\int_C|f(z)| d s \leq M L$ ，
其中，$M=\max _{z \in C}|f(z)|$ ，
L 为曲线 $C$ 的弧长。

## 复积分计算举例
复积分的计算主要包括三种方法：
方法一 化为第二类曲线积分

$$
\begin{aligned}
\int_C f(z) d z & =\int_C(u+i v)(d x+i d y) \\
& =\int_C u d x-v d y+i \int_C v d x+u d y .
\end{aligned}
$$

进一步可化为定积分或者二重积分,这里通常会用到格林（Green）公式[格林公式教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=430)
设 $D$ 为单连域，边界 $C$ 分段光滑，函数 $P(x, y), Q(x, y)$在 $\bar{D}=D+C$ 上的偏导数连续，则

$$
\int_C P d x+Q d y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y .
$$

方法二 直接化为定积分
设曲线 $C: z=z(t)=x(t)+i y(t), t: a \rightarrow b$ ，则

$$
\int_C f(z) d z=\int_a^b f[z(t)] z^{\prime}(t) d t,
$$

其中，$z^{\prime}(t)=x^{\prime}(t)+i y^{\prime}(t)$ ．

方法三：留数定理(后述)

`例`计算 $I=\int_C z d z$ ，其中 $C$ 为（如图）：
（1）$C=C_1+C_2$ ；
（2）$C=C_3$ ；
（3）$C=C_4$ ．

![图片](/uploads/2025-01/748789.jpg)

解：（1）把曲线化为参数方程进行积分。化为参数方程参见[光滑曲线](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1881)
曲线 $C_1$ 的方程为 $z=x, x: 0 \rightarrow 1$ ，曲线 $C_2$ 的方程为 $z=1+i y, y: 0 \rightarrow 1$ ，

$$
\begin{aligned}
I & =\int_{C_1} z d z+\int_{C_2} z d z \\
& =\int_0^1 x d x+\int_0^1(1+i y) d(1+i y) \\
& =\int_0^1 x d x+\int_0^1 i(1+i y) d y \\
& =\left.\frac{1}{2} x^2\right|_0 ^1+\left.\left(i y-\frac{1}{2} y^2\right)\right|_0 ^1=i
\end{aligned}
$$

（2）曲线$C_3 $的方程为$ z=t+i t, t: 0 \rightarrow 1$

$$ 
\begin{aligned}
I & =\int_{C_3} z d z \\
& =\int_0^1(t+i t) d(t+i t) \\
& =(1+i)(1+i) \int_0^1 t d t \\
& =\left.2 i \cdot \frac{1}{2} t^2\right|_0 ^1=i .
\end{aligned}
 $$
 
 
 （3）
$$
\begin{aligned}
&\text {曲线 } C_4 \text { 的方程为 } z=t^2+i t, t: 0 \rightarrow 1 \text { ，}\\
&\begin{aligned}
I & =\int_{C_4} z d z \\
& =\int_0^1\left(t^2+i t\right) d\left(t^2+i t\right) \\
& =\left.\frac{1}{2}\left(t^2+i t\right)^2\right|_0 ^1 \\
& =\frac{1}{2}(1+i)^2=i .
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

`例`计算 $I=\int_C \bar{z} d z$ ，其中 $C$ 为：（1）$C=C_1+C_2$ ；（2）$C=C_3$ ．
 ![图片](/uploads/2025-01/a91d72.jpg)
 
解（1）曲线 $C_1$ 的方程为 $z=x, x: 0 \rightarrow 1$ ，
曲线 $C_2$ 的方程为 $z=1+i y, y: 0 \rightarrow 1$ ，

$$
\begin{aligned}
I & =\int_{C_1} \bar{z} d z+\int_{C_2} \bar{z} d z, \\
& =\int_0^1 x d x+\int_0^1(1-i y) d(1+i y) \\
& =\int_0^1 x d x+\int_0^1 i(1-i y) d y \\
& =\left.\frac{1}{2} x^2\right|_0 ^1+\left.\left(i y+\frac{1}{2} y^2\right)\right|_0 ^1=1+i .
\end{aligned}
$$

解（2）
 $$
\begin{aligned}
&\text {曲线 } C_3 \text { 的方程为 } z=t+i t, t: 0 \rightarrow 1 \text { ，}\\
&\begin{aligned}
I & =\int_{C_3} \bar{z} d z \\
& =\int_0^1(t-i t) d(t+i t) \\
& =(1-i)(1+i) \int_0^1 t d t \\
& =\left.2 \cdot \frac{1}{2} t^2\right|_0 ^1=1
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

`例`计算 $I=\int_C \frac{d z}{\left(z-z_0\right)^n}$ ，其中，$C$ 为 $\left|z-z_0\right|=r, n$ 为整数。
![图片](/uploads/2025-01/3a95d0.jpg)

解 曲线 $C$ 的参数方程为 $z=z_0+r e ^{i \theta}, \theta: 0 \rightarrow 2 \pi$ ，

$$
\begin{aligned}
I & =\int_0^{2 \pi} \frac{r e^{i \theta} i}{\left(r e^{i \theta}\right)^n} d \theta \\
& =\frac{i}{r^{n-1}} \int_0^{2 \pi} e^{i(1-n) \theta} d \theta
\end{aligned}
$$

当 $n=1$ 时，$I=2 \pi i$ ；
当 $n \neq 1$ 时，$I=\left.\frac{i}{i(1-n) r^{n-1}} e ^{i(1-n) \theta}\right|_0 ^{2 \pi}=0$ ．

`例`计算积分 $\int_{C_r}\left(z-z_0\right)^n d z$ ，其中 $n$ 是整数，$C_r$ 是以逆时针方向绕圆周 $\left|z-z_0\right|=r$ 旋转一周的曲线 ${ }^{\ominus}$ ，如图 4－17所示。
 ![图片](/uploads/2025-01/bfb7af.jpg)
 
 解 取 $C$ ，的一个合适的参数函数：$z(t)=z_0+r e ^{i t}$ ， $0 \leqslant t \leqslant 2 \pi$ ．令 $f(z)=\left(z-z_0\right)^n$ ．我们有

$$
f(z(t))=\left(z_0+r e^{i t}-z_0\right)^n=r^n e^{i n t}
$$

和

$$
z^{\prime}(t)=ire{ }^{i t} .
$$

因此，由公式，
$$
\boxed{
\int_C f(z) d z=\int_a^b f[z(t)] z^{\prime}(t) d t
}
$$

得
$$
\int_{C_r}\left(z-z_0\right)^n d z=\int_0^{2 \pi}\left(r^n e^{i n t}\right)\left(i r e^{i t}\right) d t=i r^{n+1} \int_0^{2 \pi} e^{i(n+1) t} d t
$$

对上式最后一个积分分两种情况讨论．当 $n \neq-1$ 时，有

$$
i r^{n+1} \int_0^{2 \pi} e^{i(n+1) t} d t=\left.ir r^{n+1} \frac{e^{i(n+1) t}}{i(n+1)}\right|_0 ^{2 \pi}=i  r^{n+1}\left[\frac{1}{i(n+1)}-\frac{1}{i(n+1)}\right]=0
$$

而当 $n=-1$ 时，

$$
ir{ }^{n+1} \int_0^{2 \pi} e^{i(n+1) t} d t=i \int_0^{2 \pi} d t=2 \pi i
$$

这样（无论 $r$ 取何值）

$$
\int_{C_r}\left(z-z_0\right)^n d z= \begin{cases}0 & n \neq-1 \\ 2 \pi i, & n=-1 .\end{cases}
$$

> 关于这个结论需要记住，更详细解释清参考[麦克斯韦方程组](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1879)

`例`计算 $\int_{\Gamma} \frac{1}{z-z_0} d z $ 其中 $\Gamma$ 是以逆时针方向绕圆周｜$z-z_0 \mid=r$ 两周的周线，起点是 $z_0+r$ ．
解 令 $C_r$ 表示以逆时针方向绕圆周一周的周线，则 $\Gamma=\left(C_r, C_r\right)$ ．因此，由上例得到

$$
\int_{\Gamma} \frac{d z}{z-z_0}=\int_{c_r} \frac{d z}{z-z_0}+\int_{C_r} \frac{d z}{z-z_0}=2 \pi i+2 \pi i=4 \pi i
$$

上一篇：光滑曲线的方向与积分参数化

下一篇：复积分模计算上界

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)