最后更新: 2025-01-15 16:43 ● 参与者查看: 216 次纠错分享参与项目词条搜索

复积分模计算上界

## 复积分模计算上界

当 $C$ 表示围道 $z=z(t)(a \leqslant t \leqslant b)$ 时，从定义不难得到

$$
\left|\int_c f(z) d z\right|=\left|\int_a^b f[z(t)] z^{\prime}(t) d t\right| \leqslant \int_a^b\left|f[z(t)] \| z^{\prime}(t)\right| d t .
$$

因此对任意常数 $M$ 如果满足对 $C$ 上的点 $z$ 都有 $|f(z)| \leqslant M$ ，就有

$$
\left|\int_c f(z) d z\right| \leqslant M \int_a^b\left|z^{\prime}(t)\right| d t .
$$

由于这里右边的积分表示围道的长度 $L$ ，可见 $f(z)$ 在 $C$ 上的积分值的模不超过 $M L$ ：

$$
\left|\int_C f(z) d z\right| \leqslant M L
$$

这里当 $f$ 在 $C$ 上满足 $|f(z)|<M$ 时上式也取严格不等号．

`例`估计 $\int_C \frac{ e ^z}{z} d z$ 的模的一个上界，其中 $C$ 如图所示。
 ![图片](/uploads/2025-01/501cf5.jpg)
 解：
 $$
\begin{aligned}
\left|\int_C \frac{ e ^z}{z} d z\right| & \leq \int_C\left|\frac{e^z}{z}\right||d z| \\
& =\int_C \frac{\left|e^z\right|}{|z|} d s=\int_C\left|e^x\right| d s \\
& =\int_C e ^x d s \leq e \pi
\end{aligned}
$$

`例`估计 $\int_C \frac{ 1 }{z-i} d z$ 的模的一个上界，其中 $C$ 如图所示。
 ![图片](/uploads/2025-01/d05933.jpg)
 解 曲线 $C: z=3 t+i 4 t, t: 0 \rightarrow 1$ ，

$$
\begin{aligned}
|z-i| & =|3 t+i(4 t-1)| \\
& =\sqrt{(3 t)^2+(4 t-1)^2} \\
& =\sqrt{25 t^2-8 t+1} \\
& =\sqrt{25\left(t-\frac{4}{25}\right)^2+\frac{9}{25}} \geq \frac{3}{5} . \\
\left|\int_C \frac{1}{z-i} d z\right| & \leq \int_C \frac{1}{|z-i|} d s \leq \frac{5}{3} \cdot 5=\frac{25}{3} .
\end{aligned}
$$

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