最后更新: 2025-01-16 14:54 ● 参与者查看: 184 次纠错分享参与项目词条搜索

柯西-古萨定理

## 柯西-古萨定理

> 理解 柯西积分的本质请参考 [麦克斯韦方程组](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1879)

设函数 $f(z)$ 在单连通域 $D$ 内解析， $\Gamma$ 为 $D$ 内的任意一条简单闭曲线，则有 $\int_{\Gamma} f(z) d z=0$ 
 ![图片](/uploads/2025-01/5c948b.jpg)
 
 证明：
 $$
 \begin{aligned}
& \int_{\Gamma} f(z) d z=\int_{\Gamma}(u d x-v d y)+i \int_{\Gamma}(v d x+u d y) \\
& \xlongequal{\text { Green公式 }}-\iint_G\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right) d x d y+i \iint_G\left(\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}\right) d x d y \\
& \xlongequal{C-R \text { 方程 }} 0 .
\end{aligned}
$$

(1) 定理中的曲线 G  可以不是简单闭曲线。
(2) 定理中的条件还可以进一步减弱。

### 推论
设单连域 $D$ 的边界为 $C$ ，函数 $f(z)$在 $D$ 内解析，在 $\overline{ D }= D + C$ 上连续，则有 $\int_C f(z) d z=0$ ．
 ![图片](/uploads/2025-01/2daf1a.jpg)

## 闭路变形原理
 将柯西积分定理推广到二连域

设二连域 $D$ 的边界为 $C=C_1+C_2^{-}$（如图），函数 $f(z)$ 在 $D$ 内解析，在 $C$ 上连续，则 $\oint_C f(z) d z=0$ 或 $\int_{C_1} f(z) d z=\int_{C_2} f(z) d z$ ．
 ![图片](/uploads/2025-01/0886bb.jpg)
 
证明：
$$
\begin{aligned}
&\text { 如图，作线段 } \overline{a b} \text { ，则二连域 } D \text { 变为单连域，从而有 }\\
&\begin{aligned}
& \int_{C_1} f(z) d z+\int_{\overrightarrow{b a}} f(z) d z+\int_{C_2^{-}} f(z) d z+\int_{\overrightarrow{a b}} f(z) d z=0, \\
\text { 由 } & \int_{\overrightarrow{b a}} f(z) d z+\int_{\overrightarrow{a b}} f(z) d z=0, \Rightarrow \int_{C_1} f(z) d z+\int_{C_2^{-}} f(z) d z=0, \\
\Rightarrow & \int_C f(z) d z=0 \text { 或 } \int_{C_1} f(z) d z=\int_{C_2} f(z) d z .
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

##  闭路变形原理
如图，设 $f(z)$ 在 $D$ 内解析，在边界 $C=C_1+C_2^{-}$上连续， $\Gamma$ 为 $D$ 内的一条＂闭曲线＂，则 $\int_{C_1} f(z) d z=\int_{C_2} f(z) d z=\int_{\Gamma} f(z) d z$ ．
 ![图片](/uploads/2025-01/6bb470.jpg)
 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。

## 例题

`例`计算 $I=\int_{\Gamma} \frac{ d z}{\left(z-z_0\right)^n}$ ，其中，$\Gamma$ 为包含 $z_0$ 的一条闭曲线。
 
  ![图片](/uploads/2025-01/4609f9.jpg)
  
  解 如图以 $z_0$ 为圆心 $r$ 为半径作圆，
  
  则函数 $f(z)=\frac{1}{\left(z-z_0\right)^n}$ 在 $\overline{ D }= D + \Gamma + C ^{-}$上解析，

因此有 $I=\int_{\Gamma} \frac{ d z}{\left(z-z_0\right)^n}$
$$
=\int_C \frac{d z}{\left(z-z_0\right)^n}=\left\{\begin{array}{c}
2 \pi i, \text { 当 } n=1 \text { 时, } \\
0, \text { 当 } n \neq 1 \text { 时。 }
\end{array}\right.
$$

## 复合闭路定理
 将柯西积分定理推广到多连域
 
 定理 设多连域 $D$ 的边界为 $C=C_0+C_1^{-}+C_2^{-}+\cdots+C_n^{-}$（如图），
 
  ![图片](/uploads/2025-01/04737e.jpg)
  
函数 $f(z)$ 在 $D$ 内解析，在 $C$ 上连续，则

$$
\oint_C f(z) d z=0
$$

或 $\int_{C_0} f(z) d z=\int_{C_1} f(z) d z+\int_{C_2} f(z) d z+\cdots+\oint_{C_n} f(z) d z$ ．

`例` 算 $I=\int_C \frac{2 z-1}{z^2-z} d z$ ，其中 $C$ 为：
（1）$|z-3|=\frac{1}{2}$ ；
（2）$\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1}=1$ ．
 
 ![图片](/uploads/2025-01/014eb0.jpg)
 
 解 令 $f(z)=\frac{2 z-1}{z^2-z}$ ，则 $f(z)=\frac{1}{z}+\frac{1}{z-1}$ ，奇点为 $z=0,1$ ．
（1）当 $C$ 为 $|z-3|=\frac{1}{2}$ 时，$I=\int_C \frac{2 z-1}{z^2-z} d z=0$ ．

解 令 $f(z)=\frac{2 z-1}{z^2-z}$ ，则 $f(z)=\frac{1}{z}+\frac{1}{z-1}$ ，奇点为 $z=0,1$

![图片](/uploads/2025-01/3cc957.jpg)
 ．
（2）当 $C$ 为 $\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{1}=1$ 时，令 $C_1:|z|=\frac{1}{3}, C_2:|z-1|=\frac{1}{3}$ ，
则 $I=\int_{C_1} \frac{1}{z} d z+\int_{C_1} \frac{1}{z-1} d z+\int_{C_2} \frac{1}{z} d z+\int_{C_2} \frac{1}{z-1} d z$
$=2 \pi i+0+0+2 \pi i=4 \pi i$.

## 路径无关性
设函数 $f(z)$ 在单连通域 $D$ 内解析， $C_1, C_2$ 为 $D$ 内的任意两条从 $z_0$ 到 $z_1$的简单曲线，则有

$$
\int_{C_1} f(z) d z=\int_{C_2} f(z) d z .
$$
 ![图片](/uploads/2025-01/f326cf.jpg)
 
 $$
\int_{C_1} f(z) d z=\int_{C_2} f(z) d z
$$

证明 由 $\int_{C_1} f(z) d z+\int_{C_2^{-}} f(z) d z=0$ ，

$$
\Rightarrow \int_{C_1} f(z) d z=-\int_{C_2^{-}} f(z) d z=\int_{C_2} f(z) d z .
$$

可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，因此， $\int_{C_1} f(z) d z=\int_{C_2} f(z) d z \xlongequal{\text { 可记为 }} \int_{z_0}^{z_1} f(z) d z$ ．
 
 
 `例`计算 $I =\int_C \sin z d z$ ，其中 $C$ 为如图所示的一个半圆。
  ![图片](/uploads/2025-01/9abed5.jpg)
  
  解 设 $\Gamma$ 如图所示，由于 $\sin z$ 在复平面上
  处处解析，因此有

$$
\begin{aligned}
I & =\int_C \sin z d z=\int_{\Gamma} \sin z d z \\
& =\int_0^2 \sin x d x=-\left.\cos x\right|_0 ^2=1-\cos 2 
\end{aligned}
$$

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