最后更新: 2025-01-16 10:12 ● 参与者查看: 11 次纠错分享参与项目词条搜索

原函数与牛顿-莱布尼兹公式

## 原函数
设在单连域 $D$ 内，函数 $F(z)$ 恒满足条件 $F^{\prime}(z)=f(z)$ ，则 $F(z)$ 称为 $f(z)$ 在 $D$ 内的一个原函数。
函数 $f(z)$ 的任何两个原函数相差一个常数。设 $G(z)$ 和 $H(z)$ 是 $f(z)$ 的两个原函数，则

$$
[G(z)-H(z)]^{\prime}=G^{\prime}(z)-H^{\prime}(z)=f(z)-f(z)=0,
$$

$\Rightarrow G (z)- H (z)=c$ ，其中，$c$ 为任意常数。
函数 $f(z)$ 的原函数 $F(z)+c$ 称为 $f(z)$ 的不定积分，
记作 $\int f(z) d z=F(z)+c$ ．

### 由变上限积分构成的原函数
若 $f(z)$ 在单连域 $D$ 内处处解析，

$$
\text { 令 } F(z)=\int_{z_0}^z f(\zeta) d \zeta, z, z_0 \in D \text {, }
$$

则 $F(z)$ 在 $D$ 内解析，且 $F^{\prime}(z)=f(z)$ ．

![图片](/uploads/2025-01/fa2590.jpg)
 
 证明思路：
 $$
  \begin{aligned}
& \frac{\Delta F}{\Delta z}=\frac{F(z+\Delta z)-F(z)}{\Delta z}=\frac{1}{\Delta z} \int_z^{z+\Delta z} f(\zeta) d \zeta \\
& f(z)=\frac{1}{\Delta z} \int_z^{z+\Delta z} f(z) d \zeta \\
&\left|\frac{\Delta F}{\Delta z}-f(z)\right| \leq \frac{1}{|\Delta z|} \int_z^{z+\Delta z}|f(\zeta)-f(z)| d s
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
&\left|\frac{\Delta F}{\Delta z}-f(z)\right| \leq \frac{1}{|\Delta z|} \int_z^{z+\Delta z}|f(\zeta)-f(z)| d s, \\
& \leq \frac{1}{|\Delta z|} \cdot \varepsilon \cdot|\Delta z|=\varepsilon, \quad \text { (当 }|\Delta z| \text { 充分小时) } \\
& \Rightarrow \lim _{\Delta z \rightarrow 0}\left|\frac{\Delta F}{\Delta z}-f(z)\right|=0, \text { 即 } F^{\prime}(z)=f(z) .
\end{aligned}
$$

## 牛顿-莱布尼兹公式
若 $f(z)$ 在单连域 $D$ 内处处解析，$G(z)$ 为 $f(z)$ 的原函数，则 $\int_{z_0}^{z_1} f(z) d z=G\left(z_1\right)-G\left(z_0\right)$ ，其中 $z, z_0 \in D$ ．由于 $F(z)=\int_{z_0}^z f(\zeta) d \zeta$ 也是 $f(z)$ 的一个原函数，有 $F(z)=G(z)+c, \quad \Rightarrow F\left(z_0\right)=G\left(z_0\right)+c$ ， $F\left(z_1\right)=G\left(z_1\right)+c$,

$$
\Rightarrow F\left(z_1\right)-F\left(z_0\right)=\int_{z_0}^{z_1} f(z) d z-0=G\left(z_1\right)-G\left(z_0\right) .
$$

`例` 求 $\int_0^{1+i} z^2 d z$ ．
解 $\int_0^{1+i} z^2 d z=\left.\frac{1}{3} z^3\right|_0 ^{1+i}=\frac{1}{3}(1+i)^3$ ．

`例` 求 $\int_a^b \cos z d z$ ．
解 $\int_a^b \cos z d z=\left.\sin z\right|_a ^b=\sin b-\sin a$ ．

`例`求 $\int_0^i z \cos z d \text { ．}$
解

$$
\begin{aligned}
\int_0^i z \cos z d z & =\int_0^i z d \sin z=\left.z \sin z\right|_0 ^i-\int_0^i \sin z d z \\
& =\left.(z \sin z+\cos z)\right|_0 ^i=i \sin i+\cos i-1
\end{aligned}
$$

`例` $ \int_{-i}^i \ln (1+z) d z $
解：
$$
\begin{aligned}
\int_{-i}^i \ln (1+z) d z & =\left.z \ln (1+z)\right|_{-i} ^i-\int_{-i}^i \frac{z}{1+z} d z \\
& =\left.z \ln (1+z)\right|_{-i} ^i-\int_{-i}^i \frac{z+1-1}{1+z} d z \\
& =\left.[z \ln (1+z)-z+\ln (1+z)]\right|_{-i} ^i \\
& =(-2+\ln 2) i+\frac{\pi}{2} i .
\end{aligned}
$$

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