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积分公式推导证明

## 关于 $\int_{-\infty}^{+\infty} R(x) d x$ 型积分的公式推导
 ![图片](/uploads/2025-01/41b377.jpg)
推导（1）如图，取积分路径为 $C=C_0+C_\rho$ ，其中 $C_\rho$ 的半径为 $\rho>\max _k\left|z_k\right|$ 。
（2）根据留数定理有

$$
\begin{aligned}
\oint_C R(z) d z & =\int_{C_0} R(z) d z+\oint_{C_\rho} R(z) d z \\
& =\int_{-\rho}^\rho R(x) d x+{\oint_{C_\rho} R(z) d z} \\
& =2 \pi i \sum_k \operatorname{Res}\left[R(z), z_k\right] .
\end{aligned}
$$

推导 (3)

$$
\begin{aligned}
|R(z)| & \stackrel{\text { 不妨设 }}{=} \frac{\left|z^n+a_1 z^{n-1}+a_2 z^{n-2}+\cdots+a_n\right|}{\left|z^m+b_1 z^{n-1}+b_2 z^{n-2}+\cdots+b_m\right|} \\
& =\frac{1}{|z|^2} \cdot \frac{\left|1+a_1 z^{-1}+\cdots+a_n z^{-n}\right|}{\left|1+b_1 z^{-1}+\cdots+b_m z^{-m}\right|} \\
& \leq \frac{1}{|z|^2} \cdot \frac{\left|1+\left|a_1 z^{-1}+\cdots+a_n z^{-n}\right|\right|}{\left|1-\left|b_1 z^{-1}+\cdots+b_m z^{-m}\right|\right|} \\
& <\frac{1}{|z|^2} \cdot \frac{1+0.5}{1-0.5}=\frac{3}{|z|^2} . \quad \text { (当 }|z| \text { 足够大) }
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-01/032e3d.jpg)
 
 $$
 \begin{aligned}
&\text { 推导 }\\
&\text { (4) } \begin{aligned}
\mid \oint_{C_\rho} & R(z) d z\left|\leq \oint_{C_\rho}\right| R(z)|\cdot| d z \mid \\
& \leq \oint_{C_\rho} \frac{3}{|z|^2} \cdot|d z| \\
& \leq \frac{3}{\rho^2} \cdot \pi \rho=\frac{3 \pi}{\rho} \rightarrow 0,(\rho \rightarrow+\infty)
\end{aligned}\\
&\begin{gathered}
\text { (5) 由 } \int_{-\rho}^\rho R(x) d x+\int_{C_\rho} R(z) d z=2 \pi i \sum_k \operatorname{Res}\left[R(z), z_k\right] \text {, } \\
\Rightarrow \int_{-\infty}^{+\infty} R(x) d x=2 \pi i \sum_k \operatorname{Res}\left[R(z), z_k\right] .
\end{gathered}
\end{aligned}
$$

附：关于 $\int_{-\infty}^{+\infty} R(x) e ^{i a x} d x(a>0)$ 型积分的公式推导
 
推导（1）如图，取积分路径为 $C=C_0+C_\rho$ ，
（思路）
其中 $C_\rho$ 的半径为 $\rho>\max _k\left|z_k\right|$ 。
（2）根据留数定理有

$$
\begin{aligned}
\oint_C R(z) e^{i a z} d z & =\int_{C_0} R(z) e^{i a z} d z+\oint_{C_\rho} R(z) e^{i a z} d z \\
& =\int_{-\rho}^\rho R(x) e^{i a x} d x+\underline{\int_{C_\rho} R(z) e^{i a z} d z} \\
& =2 \pi i \sum_k \operatorname{Res}\left[R(z) e^{i a z}, z_k\right] .
\end{aligned}
$$

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