最后更新: 2025-01-18 11:28 ● 参与者查看: 11 次纠错分享参与项目词条搜索

形如Rex积分

## 形如 $\int_{-\infty}^{+\infty} R(x) e ^{i a x} d x(a>0)$ 的积分
要求（1）$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ ，其中，$P(x), Q(x)$ 为多项式；
（2）分母 $Q(x)$ 的次数比分子 $P(x)$ 的次数至少高一次；
（3）分母 $Q(x)$ 无实零点。
方法 $\int_{-\infty}^{+\infty} R(x) e ^{i a x} d x=2 \pi i \sum_k \operatorname{Res}\left[R(z) e ^{i a z}, z_k\right]$ ．
其中，$z_k$ 是 $R ( z )$ 在上半平面内的孤立奇点。

方法 $\int_{-\infty}^{+\infty} R(x) e ^{i a x} d x=2 \pi i \sum_k \operatorname{Res}\left[R(z) e ^{i a z}, z_k\right] \xlongequal{\text { 记为 }} A+i B$ ．

特别 $\int_{-\infty}^{+\infty} R(x) \cos a x d x=A ; \quad \int_{-\infty}^{+\infty} R(x) \sin a x d x=B$ ．

`例`$I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \cos x}{x^2-2 x+10} d x$ ．
解（1）令 $f(z)=\frac{z e ^{i z}}{z^2-2 z+10}=\frac{z e ^{i z}}{(z-1-3 i)(z-1+3 i)}$ ，
在上半平面内， $1+3 i$ 为一阶极点。

$$
\operatorname{Res}[f(z), 1+3 i]=\left.\frac{z e^{i z}}{2 z-2}\right|_{z=1+3 i}=\frac{1+3 i}{6 i} e^{-3+i}
$$

（2）

$$
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x e^{i x}}{x^2-2 x+10} d x & =2 \pi i \cdot \frac{1+3 i}{6 i} e^{-3+i} \\
& =\frac{\pi}{3} e^{-3}(1+3 i)(\cos 1+i \sin 1)
\end{aligned}
$$

$I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \cos x}{x^2-2 x+10} d x$.
  $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x e ^{i x}}{x^2-2 x+10} d x=\frac{\pi}{3} e ^{-3}(1+3 i)(\cos 1+i \sin 1)$.
(3) $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \cos x}{x^2-2 x+10} d x=\frac{\pi}{3} e ^{-3}(\cos 1-3 \sin 1)$;

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x \sin x}{x^2-2 x+10} d x=\frac{\pi}{3} e^{-3}(3 \cos 1+\sin 1)
$$

`例`$I=\int_0^{+\infty} \frac{\cos a x-\cos b x}{x^2+1} d x, \quad(a>0, b>0)$ ．
解（1）令 $f(z)=\frac{ e ^{i a z}}{z^2+1}$ ，在上半平面内，$i$ 为一阶极点，

$$
\operatorname{Res}[f(z), i]=\left.\frac{e^{i a z}}{2 z}\right|_{z=i}=\frac{e^{-a}}{2 i}
$$

（2）

$$
\begin{aligned}
& \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{i a x}}{x^2+1} d x=2 \pi i \cdot \frac{e^{-a}}{2 i}=\pi e^{-a} \\
& \int_0^{+\infty} \frac{\cos a x}{x^2+1} d x=\frac{\pi e^{-a}}{2} ; \text { 同理 } \int_0^{+\infty} \frac{\cos b x}{x^2+1} d x=\frac{\pi e^{-b}}{2}
\end{aligned}
$$

（3）$I=\frac{\pi}{2}\left( e ^{-a}- e ^{-b}\right)$ ．

附：关于第二，三型积分中 $R(z)$ 有实孤立奇点的情况结论 若 $R (z)$ 在上半平面有孤立奇点 $z_1, z_2, \cdots z_m$ ，在实轴上有孤立奇点 $x_1, x_2, \cdots x_n$ ，则

$$
\begin{array}{r}
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=2 \pi i \sum_{k=1}^m \operatorname{Res}\left[f(z), z_k\right]+ \\
\pi i \sum_{k=1}^m \operatorname{Res}\left[f(z), x_k\right] .
\end{array}
$$

其中，$f(x)$ 为第二，三型积分中的被积函数。

`例` $I=\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$ ．
解（1）令 $f(z)=\frac{ e ^{i z}}{z}$ ，在实轴上，$z=0$ 为一阶极点， $\operatorname{Res}[f(z), 0]=\left. e ^{i z}\right|_{z=0}=1$.
（2）

$$
\begin{aligned}
& \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{i x}}{x} d x=\pi i \cdot \operatorname{Res}[f(z), 0]=\pi i \\
& I=\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x=\frac{1}{2} \operatorname{Im}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{i x}}{x} d x\right]=\frac{\pi}{2}
\end{aligned}
$$

## 附录
$$
\begin{aligned}
&\text { 附：求函数 } f(z)=\frac{1+z^4}{2 i z^2(1-p z)(z-p)} \text { 在 } z=0 \text { 点的留数。 }\\
&\begin{aligned}
& f(z)=-\frac{1}{2 i p} \cdot\left(\frac{1}{z^2}+z^2\right) \cdot \frac{1}{1-p z} \cdot \frac{1}{1-z / p} \\
&=-\frac{1}{2 i p} \cdot\left(\frac{1}{z^2}+z^2\right) \cdot\left(1+p z+p z^2 \cdots\right) \cdot\left(1+\frac{z}{p}+\frac{z^2}{p^2}+\cdots\right) \\
&=\cdots \cdots-\frac{1}{2 i p}\left(p+\frac{1}{p}\right) \frac{1}{z}+\cdots \cdots \\
& \operatorname{Res}[f(z), 0]=-\frac{1+p^2}{2 i p^2} .
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

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