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复变函数与积分变换
第五篇 留数及其应用
形如Rx积分
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2025-01-18 11:22
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形如Rx积分
## 形如 $\int_{-\infty}^{+\infty} R(x) d x$ 的积分 要求（1）$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$ ，其中，$P(x), Q(x)$ 为多项式； （2）分母 $Q(x)$ 的次数比分子 $P(x)$ 的次数至少高二次； （3）分母 $Q(x)$ 无实零点。 方法 $\int_{-\infty}^{+\infty} R(x) d x=2 \pi i \sum_k \operatorname{Res}\left[R(z), z_k\right]$ ． 其中，$z_k$ 是 $R(z)$ 在上半平面内的孤立奇点。 `例`$I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2-x+2}{x^4+10 x^2+9} d x$ ． 解（1）令 $R(z)=\frac{z^2-z+2}{z^4+10 z^2+9}=\frac{z^2-z+2}{\left(z^2+1\right)\left(z^2+9\right)}$ 在上半平面内，$i$ 与 $3 i$ 为 $R(z)$ 一阶极点。 （2） $\operatorname{Res}[R(z), i]=\left.\frac{z^2-z+2}{(z+i)\left(z^2+9\right)}\right|_{z=i}=-\frac{1+i}{16}$, $\operatorname{Res}[R(z), 3 i]=\left.\frac{z^2-z+2}{\left(z^2+1\right)(z+3 i)}\right|_{z=3 i}=\frac{3-7 i}{48}$. （3）$I=2 \pi i\left(-\frac{1+i}{16}+\frac{3-7 i}{48}\right)=\frac{5 \pi}{12}$ ．
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