最后更新: 2025-01-18 11:21 ● 参与者查看: 11 次纠错分享参与项目词条搜索

形如Rcos Rsin 积分

## 形如 $\int_0^{2 \pi} R(\cos \theta, \sin \theta) d \theta$ 的积分

要求 $R(u, v)$ 是 $u, v$ 的有理函数，即 $R(u, v)$ 是以 $u, v$ 为变量
的二元多项式函数或者分式函数。
方法（1）令 $z= e ^{i \theta}=\cos \theta+i \sin \theta$ ，
则 $d z=i e ^{i \theta} d \theta=i z d \theta, \quad \Rightarrow d \theta=\frac{ d z}{i z}$ ，

$$
\begin{aligned}
& \cos \theta=\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2}=\frac{z+z^{-1}}{2}=\frac{z^2+1}{2 z}, \\
& \sin \theta=\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2 i}=\frac{z-z^{-1}}{2 i}=\frac{z^2-1}{2 i z},
\end{aligned}
$$

方法（2）

$$
\begin{aligned}
\int_0^{2 \pi} R(\cos \theta, \sin \theta) d \theta & =\oint_{|z|=1} R\left(\frac{z^2+1}{2 z}, \frac{z^2-1}{2 i z}\right) \frac{1}{i z} d z \\
& =\oint_{|z|=1} f(z) d z \\
& =2 \pi i \sum_k \operatorname{Res}\left[f(z), z_k\right]
\end{aligned}
$$

其中，$z_k$ 是 $f(z)$ 在 $|z|<1$ 内的孤立奇点。

`例` 计算 $I=\int_0^{2 \pi} \frac{\cos 2 \theta}{1-2 p \cos \theta+p^2} d \theta(0<p<1)$ 的值。
解 由 $1-2 p \cos \theta+p^2=(1-p)^2+2 p(1-\cos \theta)$ 及 $0<p<1$ ，可知被积函数的分母不为零，因而积分是有意义的。
（1）令 $z= e ^{i \theta}$ ，
则 $d \theta=\frac{ d z}{i z}, \cos \theta=\frac{z+z^{-1}}{2}$ ，

$$
\cos 2 \theta=\frac{e^{i 2 \theta}+e^{-i 2 \theta}}{2}=\frac{z^2+z^{-2}}{2}
$$

（2）

$$
\begin{aligned}
I & =\int_{|z|=1} \frac{z^2+z^{-2}}{2} \cdot \frac{1}{1-2 p \cdot \frac{z+z^{-1}}{2}+p^2} \cdot \frac{d z}{i z} \\
& =\int_{|z|=1} \frac{1+z^4}{2 i z^2(1-p z)(z-p)} d z=\oint_{|z|=1} f(z) d z
\end{aligned}
$$

在 $| z |<1$ 内，函数 $f ( z )$ 有两个孤立奇点：
二阶极点 $z_1=0,-$ 阶极点 $z_2=p$ ．
（注意：一阶极点 $z_3=1 / p$ 不在 $|z|<1$ 内 ）

解
 (3)
$$
  \begin{aligned}
& \operatorname{Res}[f(z), 0]=\lim _{z \rightarrow 0} \frac{d}{d z}\left[z^2 \cdot \frac{1+z^4}{2 i z^2(1-p z)(z-p)}\right] \\
& \quad=\lim _{z \rightarrow 0} \frac{\left(z-p z^2-p+p^2 z\right) 4 z^3-\left(1+z^4\right)\left(1-2 p z+p^2\right)}{2 i\left(z-p z^2-p+p^2 z\right)^2} \\
& =-\frac{1+p^2}{2 i p^2},
\end{aligned}
$$

事实上，可直接用洛朗展开的方法来求该点的留数。

$$
\begin{aligned}
\operatorname{Res}[f(z), p] & =\lim _{z \rightarrow p}\left[(z-p) \cdot \frac{1+z^4}{2 i z^2(1-p z)(z-p)}\right] \\
& =\frac{1+p^4}{2 i p^2\left(1-p^2\right)}, \\
I & =2 \pi i(\operatorname{Res}[f(z), p]+\operatorname{Res}[f(z), p]) \\
= & 2 \pi i\left[-\frac{1+p^2}{2 i p^2}+\frac{1+p^4}{2 i p^2\left(1-p^2\right)}\right]=\frac{2 \pi p^2}{1-p^2} .
\end{aligned} .
$$

`例`计算 $I=\int_0^\pi \frac{\cos \theta}{5+4 \cos \theta} d \theta$ 的值。
解 由于 $\frac{\cos \theta}{5+4 \cos \theta}$ 为偶函数，记 $I_1=2 I=\int_{-\pi}^\pi \frac{\cos \theta}{5+4 \cos \theta} d \theta$ ．
（1）令 $z= e ^{i \theta}$ ，则 $d \theta=\frac{ d z}{i z}, \cos \theta=\frac{z+z^{-1}}{2}$ ，

$$
\begin{aligned}
I_1 & =\int_{|z|=1} \frac{z+z^{-1}}{2} \cdot \frac{1}{5+4 \cdot \frac{z+z^{-1}}{2}} \cdot \frac{d z}{i z} \\
& =\oint_{|z|=1} \frac{1+z^2}{4 i z(z+1 / 2)(z+2)} d z=\int_{|z|=1} f(z) d z
\end{aligned}
$$

（2）
$$
\begin{aligned}
&\text { 在 }|z|<1 \text { 内，} f(z) \text { 有两个一阶极点：} z_1=0, z_2=-\frac{1}{2} \text { ．}\\
&\begin{aligned}
& \operatorname{Res}[f(z), 0]=\lim _{z \rightarrow 0} z f(z)=\left.\frac{1+z^2}{4 i(z+1 / 2)(z+2)}\right|_{z=0}=\frac{1}{4 i} ; \\
& \operatorname{Res}\left[f(z),-\frac{1}{2}\right]=\lim _{z \rightarrow-\frac{1}{2}} z f(z)=\left.\frac{1+z^2}{4 i z(z+2)}\right|_{z=-\frac{1}{2}}=-\frac{5}{12 i} . \\
& I=\frac{1}{2} I_1=\frac{1}{2} \cdot 2 \pi i\left[\frac{1}{4 i}-\frac{5}{12 i}\right]=-\frac{\pi}{6} .
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

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