最后更新: 2025-01-18 11:15 查看: 328 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义

## 关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义      
回顾 令 $z=\frac{1}{\xi}$ ，即 $\xi=\frac{1}{z}$ ，
则 $z =\infty$ 对应于 $\xi= 0$ ，

$$
|z|>R \text { 对应于 }|\xi|<r \text {, }
$$
![图片](/uploads/2025-01/b0382c.jpg)

相应地，$f(z)=f\left(\frac{1}{\xi}\right)$

$$
\xlongequal{\text { 记为 }} \varphi(\xi) \text {, }
$$

因此，函数 $f(z)$ 在无穷远点 $z=\infty$ 的性态可由函数 $\varphi(\xi)$ 在原点 $\xi=0$ 的性态来刻画。

###  函数$f(z)$在无穷远点的邻域内的洛朗展式?

由 $\varphi(\xi)$ 在原点 $\xi=0$ 的邻域 $0<|\xi|<r$ 内的洛朗展式：

$$
\varphi(\xi)=\cdots+a_{-N} \xi^{-N}+\cdots a_{-1} \xi^{-1}+a_0+a_1 \xi+\cdots
$$

得 $f(z)$ 在无穷远点 $z=\infty$ 的邻域 $R<|z|<+\infty$ 内的洛朗展式：

$$
f(z)=\cdots+b_N z^N+\cdots b_1 z+b_0+b_{-1} z^{-1}+\cdots
$$

其中，$b_{-n}=a_n=\frac{1}{2 \pi i} \int_c \frac{\varphi(\xi)}{\xi^{n+1}} d \xi$

$$
\begin{aligned}
=- & \frac{1}{2 \pi i} \int_{C^{-}} \frac{f(z)}{z^{-n+1}} d z \\
& (n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-01/33c9ea.jpg)
 
 
### 无穷远点的奇点类型的划分
（1）可去奇点：不含正幂项；
（2）$N$ 阶极点：含有限多的正幂项，且最高幂次为 $N$ ，此时，$f(z)=z^N \psi(z)$ ；
（3）本性奇点：含有无穷多的正幂项。

### 无穷远点的奇点类型的判别
（1）可去奇点： $\lim _{z \rightarrow+\infty} f(z)=c$（常数）；
（2）$N$ 阶极点： $\lim _{z \rightarrow+\infty} f(z)=\infty$ ；
此时，$f(z)=z^N \psi(z)$ ；
（3）本性奇点： $\lim _{z \rightarrow+\infty} f(z)$ 不存在且不为 $\infty$ ．

##  函数f(z)在无穷远点的留数

**定义** 称 $-b_{-1}$ 为函数 $f(z)$ 在无穷远点的留数。由 $b_{-n}=-\frac{1}{2 \pi i} \int_{C^{-}} \frac{f(z)}{z^{-n+1}} d z$ ，有 $-b_{-1}=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{C^{-}} f(z) d z$ ．

### 留数(Residu)的产生
1814年 柯西第一个注意到了留数的概念。
1826年 柯西在他的研究报告中首次使用了 “residu”
(即留数、残数、剩余) 这个术语。
柯西在 “求沿着两条有相同起点与终点且包围着函数极点的路径积分之差” 时得到了这个概念。这也是使用该名称的缘故。
  1829年 柯西创建了留数理论。

## 关于极点的留数计算法则的说明    
 ![图片](/uploads/2025-01/6978fd.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2025-01/562b20.jpg)

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