最后更新: 2026-02-20 11:12 查看: 459 次纠错评论(0) 课件开VIP

函数在无穷远点的性态

## 函数在无穷远点的性态

在复变函数中，研究函数在无穷远点的性态，实际上是通过变换（如 $ w = \frac{1}{z} $）将无穷远点映射到有限点，从而用已知的有限点理论进行分析。

以下从**极限、解析性、奇点类型**以及**留数**几个方面来讨论函数在无穷远点的性态。

### 1. 基本定义与变换

设函数 $ f(z) $ 在无穷远点 $ \infty $ 的某个去心邻域 $ R < |z| < +\infty $ 内解析（单值）。

为了研究它在 $ \infty $ 点的行为，我们做变换：
$$
z = \frac{1}{\zeta}, \quad \text{或} \quad \zeta = \frac{1}{z}
$$
这个变换将 $ z = \infty $ 映射为 $ \zeta = 0 $。

定义一个新的函数：
$$
\varphi(\zeta) = f\left( \frac{1}{\zeta} \right)
$$
那么 $ f(z) $ 在 $ z = \infty $ 的性态，就转化为 $ \varphi(\zeta) $ 在 $ \zeta = 0 $ 的性态。

### 2. 无穷远点的极限

如果 $\lim_{z \to \infty} f(z)$ 存在（有限），则称 $ f(z) $ 在无穷远点趋于该极限。

-   如果极限存在且为有限复数 $ A $，则 $\lim_{\zeta \to 0} \varphi(\zeta) = A$ 存在，说明 $\zeta = 0$ 是 $\varphi(\zeta)$ 的可去奇点（如果 $\varphi$ 在该点无定义）。
-   如果极限不存在，则需要进一步判断是极点还是本性奇点。

---

### 3. 无穷远点的奇点类型

通过观察 $\varphi(\zeta)$ 在 $\zeta = 0$ 点的性质，我们定义 $ z = \infty $ 为 $ f(z) $ 的：

#### A. 可去奇点
-   **定义**：如果 $\varphi(\zeta)$ 在 $\zeta = 0$ 处解析（或为可去奇点），则称 $ z = \infty $ 是 $ f(z) $ 的可去奇点。
-   **等价条件**：$\lim_{z \to \infty} f(z)$ 存在且为有限值（即 $ f(z) $ 在无穷远处有界）。
-   **例子**：$ f(z) = \frac{1}{z} $。令 $\varphi(\zeta) = \zeta$，在 $\zeta=0$ 解析，且 $\lim_{z \to \infty} \frac{1}{z} = 0$。

#### B. (m阶) 极点
-   **定义**：如果 $\varphi(\zeta)$ 以 $\zeta = 0$ 为 **m阶极点**，则称 $ z = \infty $ 是 $ f(z) $ 的 **m阶极点**。
-   **等价条件**：$\lim_{z \to \infty} f(z) = \infty$。
-   **例子**：$ f(z) = z^2 $。令 $\varphi(\zeta) = \frac{1}{\zeta^2}$，在 $\zeta=0$ 处为二阶极点。所以 $ z = \infty $ 是 $ f(z) = z^2 $ 的二阶极点。
    -   *注意*：这与多项式相反，次数越高，在无穷远点的极点阶数越高。

#### C. 本性奇点
-   **定义**：如果 $\varphi(\zeta)$ 以 $\zeta = 0$ 为本性奇点，则称 $ z = \infty $ 是 $ f(z) $ 的本性奇点。
-   **等价条件**：$\lim_{z \to \infty} f(z)$ 不存在，且不为 $\infty$（即振荡或无定值）。
-   **例子**：$ f(z) = e^z $。令 $\varphi(\zeta) = e^{1/\zeta}$，在 $\zeta=0$ 处为本性奇点。所以 $ z = \infty $ 是 $ e^z $ 的本性奇点（因为沿正实轴趋于无穷，沿负实轴趋于0，极限不一致）。

---

### 4. 洛朗展开与无穷远点

将函数在无穷远点展开，实际上是在 **圆环域 $ R < |z| < +\infty $** 内展开成洛朗级数。

做变换 $\zeta = 1/z$，将 $ f(z) $ 在 $ R < |z| < \infty $ 的展开，转化为 $\varphi(\zeta)$ 在 $ 0 < |\zeta| < 1/R $ 的洛朗展开：

$$
\varphi(\zeta) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} b_n \zeta^n
$$
还原回 $ z $：
$$
f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} b_n z^{-n}
$$
为了习惯，通常记 $ a_n = b_{-n} $，则：
$$
f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n z^n, \quad (R < |z| < \infty)
$$

**关键点（与有限点展开的对比）：**

-   **正幂部分** ($ n \ge 0 $)：$ \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n $ 称为 $ f(z) $ 在无穷远点的 **解析部分**（或主要部分？这里要注意定义容易混淆，最好记结论）。
-   **负幂部分** ($ n \le -1 $)：$ \sum_{n=-\infty}^{-1} a_n z^n $ 称为 $ f(z) $ 在无穷远点的 **主要部分**。

根据洛朗展开判断无穷远点奇点类型：

1.  **可去奇点**：展开式中没有 **正幂项**（即所有 $ n > 0 $ 的 $ a_n = 0 $）。
2.  **m阶极点**：展开式中只有有限个正幂项，且最高次幂为 $ m $（即 $ a_m \neq 0 $，且当 $ n > m $ 时，$ a_n = 0 $）。
3.  **本性奇点**：展开式中有无穷多个正幂项。

---

### 5. 无穷远点的留数

函数在无穷远点的留数定义为：
$$
\text{Res}[f(z), \infty] = \frac{1}{2\pi i} \oint_{C^-} f(z) dz
$$
其中 $ C $ 是一个足够大的圆（$ |z| = R > r $），方向是 **负方向**（顺时针，因为该方向使得包含无穷远点的区域始终在左侧；或者说，这是为了让无穷远点成为内点）。等价地，可以按顺时针积分。

**计算公式：**

1.  **通过洛朗系数：**
    如果 $ f(z) $ 在 $ R < |z| < \infty $ 的洛朗展开为 $ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n z^n $，
    那么：
    $$
    \text{Res}[f(z), \infty] = -a_{-1}
    $$
   
  
 > **解释：$ a_{-1} $ 是 $ z^{-1} $ 的系数。对 $ |z|=R $ 逆时针积分得 $ 2\pi i a_{-1} $。因为无穷远点的积分方向是顺时针，所以差一个负号**。

2.  **通过变换公式：**
    $$
    \text{Res}[f(z), \infty] = -\text{Res}\left[ \frac{1}{z^2} f\left( \frac{1}{z} \right), 0 \right]
    $$
    这个公式在计算中非常实用。

**重要性质（留数和定理）：**
如果 $ f(z) $ 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），那么 **所有奇点的留数之和为零**。
$$
\sum_{k=1}^{n} \text{Res}[f(z), z_k] + \text{Res}[f(z), \infty] = 0
$$
这经常用来简化留数计算：当计算有限点留数太复杂时，可以计算无穷远点的留数，然后取相反数。
 
  总结

-   **研究手段**：通过变换 $ z = 1/\zeta $ 将无穷远点映射为原点。
-   **奇点判断**：看 $ f(1/\zeta) $ 在 $ \zeta=0 $ 的性态。
-   **洛朗展开**：在 $ |z|>R $ 内，**正幂项** 反映无穷远点的奇异性。
-   **留数**：$ \text{Res}[f(z), \infty] = -a_{-1} $，且所有留数（含无穷远点）之和为 0。

## 基础例题

`例` 函数 $\frac{z}{1+z^2}$ 是否以 $z=\infty$ 为孤立奇点？若是，属于哪一类？
解 函数 $\frac{z}{1+z^2}$ 在全平面除去 $z= i$ 及 $z=- i$ 的区域内为解析，故它在无穷远点的邻域 $1<|z|<+\infty$ 为解析．$z=\infty$ 是它的孤立奇点．又因为

$$
\lim _{z \rightarrow \infty} \frac{z}{1+z^2}=0
$$

所以 $z=\infty$ 是它的可去奇点．
 `例` 函数 $f(z)=1+2 z+3 z^2+4 z^3$ 是否以 $z=\infty$ 为孤立奇点？若是，属于哪一类？

解 函数 $1+2 z+3 z^2+4 z^3$ 在全平面解析．这个式子本身就是这个函数在无穷远点的邻域 $|z|<+\infty$ 的洛朗展开，所以 $z=\infty$ 是函数 $1+2 z+3 z^2+4 z^3$ 的孤立奇点且为三阶极点．

`例`函数 $f(z)= e ^z$ 是否以 $z=\infty$ 为孤立奇点？若是，属于哪一类？
解 函数 $e ^z$ 在全平面解析，故 $z=\infty$ 是它的孤立奇点．又当 $z \rightarrow \infty$ 时， $e ^z$没有任何极限，故 $z=\infty$ 是 $e ^z$ 的本性奇点．

我们也可以从 $e ^z$ 的泰勒展开来看，由于

$$
e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\cdots+\frac{z^n}{n!}+\cdots \quad(|z|<+\infty)
$$

这个展开式恰巧就是 $e ^z$ 在无穷远点邻域的洛朗展开．因它含有无限多个正次幂项，故 $z=\infty$ 是 $e ^z$ 的本性奇点。

`例` 函数 $f(z)=\frac{1}{\sin z}$ 是否以 $z=\infty$ 为孤立奇点？
解 函数 $\frac{1}{\sin z}$ 在全平面除 $\sin z$ 的零点以外为解析．但 $\sin z$ 的零点是 $z_k=$ $k \pi(k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)$ ，它们都是 $\frac{1}{\sin z}$ 的极点，且在扩充复平面上，序列 $\left\{z_k\right\}$ 以 $z=\infty$ 为聚点，因此，$z=\infty$ 不是函数 $\frac{1}{\sin z}$ 的孤立奇点．

## 关于无穷远点的奇点类型判别以及留数的定义      
回顾 令 $z=\frac{1}{\xi}$ ，即 $\xi=\frac{1}{z}$ ，
则 $z =\infty$ 对应于 $\xi= 0$ ，

$$
|z|>R \text { 对应于 }|\xi|<r \text {, }
$$
![图片](/uploads/2025-01/b0382c.jpg)

相应地，$f(z)=f\left(\frac{1}{\xi}\right)$

$$
\xlongequal{\text { 记为 }} \varphi(\xi) \text {, }
$$

因此，函数 $f(z)$ 在无穷远点 $z=\infty$ 的性态可由函数 $\varphi(\xi)$ 在原点 $\xi=0$ 的性态来刻画。

###  函数$f(z)$在无穷远点的邻域内的洛朗展式?

由 $\varphi(\xi)$ 在原点 $\xi=0$ 的邻域 $0<|\xi|<r$ 内的洛朗展式：

$$
\varphi(\xi)=\cdots+a_{-N} \xi^{-N}+\cdots a_{-1} \xi^{-1}+a_0+a_1 \xi+\cdots
$$

得 $f(z)$ 在无穷远点 $z=\infty$ 的邻域 $R<|z|<+\infty$ 内的洛朗展式：

$$
f(z)=\cdots+b_N z^N+\cdots b_1 z+b_0+b_{-1} z^{-1}+\cdots
$$

其中，$b_{-n}=a_n=\frac{1}{2 \pi i} \int_c \frac{\varphi(\xi)}{\xi^{n+1}} d \xi$

$$
\begin{aligned}
=- & \frac{1}{2 \pi i} \int_{C^{-}} \frac{f(z)}{z^{-n+1}} d z \\
& (n=0, \pm 1, \pm 2, \cdots)
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-01/33c9ea.jpg)
 
 
### 无穷远点的奇点类型的划分
（1）可去奇点：不含正幂项；
（2）$N$ 阶极点：含有限多的正幂项，且最高幂次为 $N$ ，此时，$f(z)=z^N \psi(z)$ ；
（3）本性奇点：含有无穷多的正幂项。

### 无穷远点的奇点类型的判别
（1）可去奇点： $\lim _{z \rightarrow+\infty} f(z)=c$（常数）；
（2）$N$ 阶极点： $\lim _{z \rightarrow+\infty} f(z)=\infty$ ；
此时，$f(z)=z^N \psi(z)$ ；
（3）本性奇点： $\lim _{z \rightarrow+\infty} f(z)$ 不存在且不为 $\infty$ ．

##  函数f(z)在无穷远点的留数

**定义** 称 $-b_{-1}$ 为函数 $f(z)$ 在无穷远点的留数。由 $b_{-n}=-\frac{1}{2 \pi i} \int_{C^{-}} \frac{f(z)}{z^{-n+1}} d z$ ，有 $-b_{-1}=\frac{1}{2 \pi i} \oint_{C^{-}} f(z) d z$ ．

### 留数(Residu)的产生
1814年 柯西第一个注意到了留数的概念。
1826年 柯西在他的研究报告中首次使用了 “residu”
(即留数、残数、剩余) 这个术语。
柯西在 “求沿着两条有相同起点与终点且包围着函数极点的路径积分之差” 时得到了这个概念。这也是使用该名称的缘故。
  1829年 柯西创建了留数理论。

## 关于极点的留数计算法则的说明    
 ![图片](/uploads/2025-01/6978fd.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2025-01/562b20.jpg)

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