最后更新: 2025-01-18 11:08 查看: 440 次纠错评论(0) 课件开VIP

函数在无穷远点的留数

## 函数在无穷远点的留数     
一般说来，闭路积分只与该闭路所包围的区域内的奇点有关，但为什么又要引入无穷远点的留数呢？
![图片](/uploads/2025-01/fdae6f.jpg)
设想如图，设 $C$ 是一条简单闭曲线，
则 $\oint_C f(z) d z=-\oint_{C^{-}} f(z) d z$ 。
将曲线 $C$ 围成的区域记为 $D$ ，而曲线 $C ^{-}$围成的区域记为 $\widetilde{ D }$ 。
如果区域 $D$ 内的奇点很多，但区域 $\widetilde{ D }$ 内的奇点很少，甚至只有无穷远点 $\infty$ 为奇点，则计算等式右边的积分显然比计算等式左边的积分要＂省心＂的多。

### 函数在无穷远点的性态
定义 如果函数 $f(z)$ 在无穷远点 $\infty$ 的去心邻域 $R<|f(z)|<+\infty$内解析，则称点 $\infty$ 为 $f(z)$ 的孤立奇点。

令 $z=\frac{1}{\xi}$ ，则点 $z=\infty$ 对应于点 $\xi=0$ ，
相应地，$f(z)=f\left(\frac{1}{\xi}\right) \stackrel{\text { 记为 }}{=} \varphi(\xi)$ ，
因此，函数 $f(z)$ 在无穷远点 $z=\infty$ 的性态可由函数 $\varphi(\xi)$ 在原点 $\xi=0$ 的性态来刻画。

`例` 设 $f(z)=\frac{1}{\sin z}$, 问 $z=\infty$ 是否为 $f(z)$ 的孤立奇点?
解 令 $z=\frac{1}{\xi}$, 则 $f(z)=f\left(\frac{1}{\xi}\right)=\frac{1}{\sin \frac{1}{\xi}} \stackrel{\text { 记为 }}{=} \varphi(\xi)$,可知 $\xi=0, \xi_k=\frac{1}{k \pi}, k=0, \pm 1, \pm 2, \cdots$ 均为 $\varphi(\xi)$ 的奇点,由于 $\xi=0$ 不是 $\varphi(\xi)$ 的孤立奇点,因此 $z=\infty$ 不是 $f(z)$ 的孤立奇点。

`例`设 $f(z)=\frac{z}{1+z^2}$, 试判断奇点 $z=\infty$ 的类型。
解 令 $z=\frac{1}{\xi}$, 则 $f(z)=f\left(\frac{1}{\xi}\right)=\frac{1}{\xi} \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{\xi^2}}$

$$
=\frac{\xi^2}{\xi\left(1+\xi^2\right)} \stackrel{\text { 记为 }}{=} \varphi(\xi),
$$

由于 $\xi=0$ 是 $\varphi(\xi)$ 的可去奇点,
因此 $z=\infty$ 是 $f(z)$ 的可去奇点。

`例`设 $f(z)= e ^z$ ，试判断奇点 $z=\infty$ 的类型。
解 令 $z=\frac{1}{\xi}$ ，则 $f(z)=f\left(\frac{1}{\xi}\right)= e ^{\frac{1}{\xi}} \xlongequal{\text { 记为 }} \varphi(\xi)$ ，由于 $\xi=0$ 是 $\varphi(\xi)$ 的本性奇点，因此 $z=\infty$ 是 $f(z)$ 的本性奇点。

##  函数在无穷远点的留数

定义 设函数 $f(z)$ 在圆环域 $R <| z |<+\infty$ 内解析， 则 $f(z)$ 在 $\infty$ 点的留数为：
$\operatorname{Res}[f(z), \infty]=\frac{1}{2 \pi i} \int_{C^{-}} f(z) d z$ ，其中，$C$ 为 $|z|=\rho>R$ ．

对比 函数 $f(z)$ 在＂有限＂孤立奇点 的留数为：
$\operatorname{Res}\left[f(z), z_0\right]=\frac{1}{2 \pi i} \oint_c f(z) d z$ ，其中，$c$ 为 $|z|=r<\delta$ ．

## 如何计算在无穷远点的留数？

公式
 
 $$
 \boxed{
 \operatorname{Res}[f(z), \infty]=-\operatorname{Res}\left[f\left(\frac{1}{z}\right) \cdot \frac{1}{z^2}, 0\right]
 }
 $$
 
推导 如图，

![图片](/uploads/2025-01/d428cc.jpg)

已知 $\operatorname{Res}[f(z), \infty]=\frac{1}{2 \pi i} \int_{C^{-}} f(z) d z$ ，令 $z=\frac{1}{\xi}$ ，则 $\operatorname{Res}[f(z), \infty]=-\frac{1}{2 \pi i} \int_c f\left(\frac{1}{\xi}\right) \cdot \frac{1}{\xi^2} d \xi$ $=-\operatorname{Res}\left[f\left(\frac{1}{z}\right) \cdot \frac{1}{z^2}, 0\right]$.

### 定理 
设 $f(z)$ 在扩充平面上除有限个孤立奇点 $z_1, z_2, \cdots, z_n, \infty$外处处解析, 则 $\sum_{k=1}^n \operatorname{Res}\left[f(z), z_k\right]+\operatorname{Res}[f(z), \infty]=0$.

证明 如图, 令 $\rho$ 充分大, 即 $\rho>\max _k\left|z_k\right|$, 则

$$
\begin{aligned}
\operatorname{Res}[f(z), \infty] & =\frac{1}{2 \pi i} \oint_{C^{-}} f(z) \mathrm{d} z=-\frac{1}{2 \pi i} \oint_C f(z) \mathrm{d} z \\
& =-\sum_{k=1}^n \operatorname{Res}\left[f(z), z_k\right], \text { 即证。 }
\end{aligned}
$$

`例` 计算 $I=\oint_C \frac{z^3}{z^4- 1 } d z$ ，其中 $C$ 为 $|z|= 2$ ．
 ![图片](/uploads/2025-01/240d37.jpg)
 
 解 函数 $f(z)=\frac{z^3}{z^4-1}$ 在 $|z|=2$ 内
有四个一阶极点 $z_k= e ^{\frac{2 k \pi}{4} i}, k=0,1,2,3$,
由留数定理有

$$
\begin{aligned}
I & =2 \pi i \sum_{k=0}^3 \operatorname{Res}\left[f(z), z_k\right]=-2 \pi i \operatorname{Res}[f(z), \infty] \\
& =2 \pi i \operatorname{Res}\left[f\left(\frac{1}{z}\right) \cdot \frac{1}{z^2}, 0\right]=2 \pi i \operatorname{Res}\left[\frac{1}{z\left(1-z^4\right)}, 0\right]=2 \pi i .
\end{aligned}
$$

`例` 计算 $I=\oint_C \frac{1}{\left(z^5-1\right)^3(z-3)} d z$ ，其中 $C$ 为 $|z|=2$ ．
 ![图片](/uploads/2025-01/e85d6e.jpg)
 
 解（1）函数 $f(z)=\frac{1}{\left(z^5-1\right)^3(z-3)}$ 在 $|z|=2$ 内有五个一阶极点

$$
z_k=e^{\frac{2 k \pi}{5} i}, k=0,1,2,3,4
$$

由留数定理有

$$
\begin{aligned}
I & =2 \pi i \sum_{k=0}^4 \operatorname{Res}\left[f(z), z_k\right] \\
& =-2 \pi i(\operatorname{Res}[f(z), 3]+\operatorname{Res}[f(z), \infty])
\end{aligned}
$$

(2)
$$
  \begin{aligned}
\operatorname{Res}[f(z), 3] & =\lim _{z \rightarrow 3}(z-3) f(z)=\frac{1}{\left(3^5-1\right)^3}, \\
\operatorname{Res}[f(z), \infty] & =-2 \pi i \operatorname{Res}\left[f\left(\frac{1}{z}\right) \cdot \frac{1}{z^2}, 0\right] \\
& =-2 \pi i \operatorname{Res}\left[\frac{z^{14}}{\left(1-z^5\right)^3(1-3 z)}, 0\right]=0 . \\
I & =-2 \pi i(\operatorname{Res}[f(z), 3]+\operatorname{Res}[f(z), \infty]) \\
= & \frac{2 \pi i}{\left(3^5-1\right)^3}=-\frac{2 \pi i}{14172488} .
\end{aligned}
$$

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：留数定理

下一篇：奇点的流体力学意义

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (1)