最后更新: 2025-01-19 10:56 查看: 50 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

保形性

## 保形性
为了在整个扩充复平面上进行讨论，首先要对无穷远点进行

令 $\xi=\frac{1}{z}$ ，即 $z=\frac{1}{\xi}$ ，则点 $z=\infty$ 对应于点 $\xi=0$ ．
（1）对于函数 $f(z)$ ，则有 $f(z)=f\left(\frac{1}{\xi}\right) \stackrel{\text { 记为 }}{=} \varphi(\xi)$ ，
因此，函数 $f(z)$ 在无穷远点 $z=\infty$ 的性态可由函数 $\varphi(\xi)$ 在原点 $\xi=0$ 的性态来刻画。

比如 若函数 $\varphi(\xi)$ 在原点 $\xi=0$ 解析，
则＂认为＂函数f（z）在无穷远点 $=\infty$ 也解析。

（2）对于 $z$ 平面上过无穷远点 $z=\infty$ 的曲线 $C$ ，同样有曲线 $C$ 在无穷远点 $z=\infty$ 的性态可由像曲线 $\Gamma$ 在原点 $\xi=0$ 的性态来刻画。

比如 $z$ 平面上两曲线在无穷远点的交角，可定义为它们在映射 $\xi=\frac{1}{z}$ 下的像曲线在原点的交角。

### 1 倒数映射 $w=\frac{1}{z}$ 的保形性
 单值性 规定：当 $z=\infty$ 时，$w=0$ ；当 $z=0$ 时，$w=\infty$ ．由此，倒数映射在扩充复平面上是双方单值的。
解析性（1）当 $z \neq \infty$ 且 $z \neq 0$ 时，函数 $w=\frac{1}{z}$ 解析，且 $\frac{d w}{d z}=-\frac{1}{z^2} \neq 0$ ．
（2）当 $z=\infty$ 时，令 $\xi=\frac{1}{z}$ ，则 $w=\varphi(\xi)=\xi$ ，函数 $\varphi(\xi)$ 在 $\xi=0$ 处解析，且 $\varphi^{\prime}(0)=1 \neq 0$ ．

倒数映射 $w=\frac{1}{z}$ 在扩充复平面上除 $z=0$ 外是共形映射。

倒数映射 $w=\frac{1}{z}$ 在扩充复平面上除 $z=0$ 外是共形映射。
同理，映射 $z=\frac{1}{w}$ 在 $w$ 扩充复平面上除 $w=0$ 外是共形映射。特别有，映射 $z=\frac{1}{w}$ 在 $w=\infty$ 处是共形映射，由此即得：倒数映射 $w=\frac{1}{z}$ 在 $z=0$ 处是共形映射。

结论 倒数映射 $w=\frac{1}{z}$ 在扩充复平面上是共形映射。

### 2．线性映射 $w=a z+b,(a \neq 0)$ 的保形性
 单值性 规定：当 $z=\infty$ 时，$w=\infty$ ．
由此，线性映射在扩充复平面上是双方单值的。
 解析性 当 $z \neq \infty$ 时，
函数 $w=a z+b$ 解析，且 $\frac{d w}{d z}=a \neq 0$ ．
线性映射 $w=a z+b$ 在扩充复平面上除 $z=\infty$ 外是共形映射。

线性映射 $w=a z+b$ 在扩充复平面上除 $z=\infty$ 外是共形映射。当 $z=\infty$ 时，令 $\xi=\frac{1}{z}, \mu=\frac{1}{w}$ ，则 $w=\frac{1}{\mu}, \mu=\varphi(\xi)=\frac{\xi}{b \xi+a}$ ，函数 $\varphi(\xi)$ 在 $\xi=0$ 处解析，且 $\varphi^{\prime}(0)=\frac{1}{a} \neq 0$ ，因此，映射 $\mu=\varphi(\xi)$ 在 $\xi=0$ 处是共形映射，且当 $\xi=0$ 时，$\mu=\varphi(0)=0$ ；

线性映射 $w=a z+b$ 在扩充复平面上除 $z=\infty$ 外是共形映射。当 $z=\infty$ 时，令 $\xi=\frac{1}{z}, \mu=\frac{1}{w}$ ，则 $w=\frac{1}{\mu}, ~ \mu=\varphi(\xi)=\frac{\xi}{b \xi+a}$ ，映射 $\mu=\varphi(\xi)$ 在 $\xi=0$ 处是共形映射，且 $\varphi(0)=0$ ；又映射 $w=\frac{1}{\mu}$ 在 $\mu=0$ 处也是共形映射，即得：线性映射 $w=a z+ b$ 在 $z=\infty$ 处是共形映射。结论 线性映射 $w=a z+b$ 在扩充复平面上是共形映射。

###  3分式线性映射的保形性
－由于分式线性映射可分解为线性映射和倒数映射的复合，因此就得到了如下定理。

定理 分式线性映射在扩充复平面上是共形映射。

注意 该定理不仅从理论上确保了分式线性映射是共形映射，而且其中的保角性在分式线性映射的构造中非常实用。

## 保圆性

1．倒数映射 $w=\frac{1}{z}$ 的保圆性
分析 令 $z=x+i y, w=u+i v$ ，由 $z=\frac{1}{w}$ 有

$$
\begin{aligned}
& x+i y=\frac{1}{u+i v}=\frac{u}{u^2+v^2}+i \frac{-v}{u^2+v^2} \\
& \Rightarrow x=\frac{u}{u^2+v^2}, \quad y=\frac{-v}{u^2+v^2} .
\end{aligned}
$$

对于 $z$ 平面上一个任意给定的圆： $a\left(x^2+y^2\right)+b x+c y+d=0$ ，（当 $a=0$ 时为直线），

将 $(A)$ 式代入，即得到其像曲线所满足的方程为：
$d\left(u^2+v^2\right)+b u-c v+a=0$ ，（当 $d=0$ 时为直线）。

1．倒数映射 $w=\frac{1}{z}$ 的保圆性
2．线性映射 $w=a z+b,(a \neq 0)$ 的保圆性
－线性映射可分解为平移映射，旋转映射和相似映射的复合，由于这三种映射显然将圆仍然映射为圆，因此线性映射能将圆映射为圆。

3．分式线性映射的保圆性
约定 将直线看作是半径为无穷大的圆。
定理 在扩充复平面上，分式线性映射能把圆变成圆。

注（1）如果给定的圆（或直线）上没有点映射成无穷远点，则它就映射成半径有限的圆；
（2）如果给定的圆（或直线）上有一点映射成无穷远点，则它就映射成直线； 
（3）对称映射 $w=\bar{z}$ 和 $w=\frac{1}{\bar{z}}$ 也具有保圆性。

－在分式线性映射下，求圆（或圆弧段）的像曲线的方法方法一 分解为四种简单映射的复合。
方法二 利用保圆性，选三点定圆。
对于圆弧段（或直线段），两个端点必须选定。
方法三 综合利用保圆性与保角性。
（1）找出原像曲线中的一些＂特殊点＂所对应的像点，从而能够大致地确定出像曲线的位置。
（2）找出一些＂特殊曲线＂（如坐标轴等）所对应的像。
（3）由原像之间的关系（如夹角等）确定像之间的关系。

![图片](/uploads/2025-01/455122.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2025-01/07b139.jpg)
  
   ![图片](/uploads/2025-01/5cc43a.jpg)

`例`求区域 $D=\{z:|z-1|<\sqrt{2},|z+1|<\sqrt{2}\}$ 在映射 $w=\frac{z-i}{z+i}$ 下的像区域。

![图片](/uploads/2025-01/be68f2.jpg)
  
  ![图片](/uploads/2025-01/70a89f.jpg)
  
  ![图片](/uploads/2025-01/30f99b.jpg)
   
  
  ![图片](/uploads/2025-01/20a1af.jpg)
    
  
  ![图片](/uploads/2025-01/c55f0c.jpg)
     
     
 ## 保对称点性  
 引理 扩充复平面上两点 $z_1, z_2$ 关于＂圆＂$C$ 对称的充要条件是过 $z_1, z_2$ 的任意＂圆＂$\Gamma$ 都与 $C$ 正交。证明
（1）当 $C$ 为直线时，结论显然 成立。
（2）当 $C$ 为半径有限的圆，且在 $z _1$ 和 $z_2$ 中有一个为无穷远点时，结论显然成立。
 ![图片](/uploads/2025-01/964336.jpg)
 
 ![图片](/uploads/2025-01/cb3c6c.jpg)
 
  ![图片](/uploads/2025-01/2c6d2f.jpg)
  
   ![图片](/uploads/2025-01/fbe0ca.jpg)
   
   
  ![图片](/uploads/2025-01/93e325.jpg)

上一篇：相似映射与倒数映射

下一篇：唯一决定分式线性映射的条件

在线学习仅为您提供最基础的数学知识，开通会员可以挑战海量超难试题，分享本文到朋友圈，邀请更多朋友一起学习。

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)