最后更新: 2025-01-19 11:08 查看: 25 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

唯一决定分式线性映射的条件

## 唯一决定分式线性映射的条件
分析 分式线性映射 $w=\frac{a z+b}{c z+d}$ 中含有四个常数 $a, b, c, d$ ．
 如果用这四个数中的一个去除分子和分母，则可以将分式线性映射中的四个常数化为三个独立的常数。
 由此可见，只需要给定三个条件，就能决定一个分式线性映射。

定理 在 $z$ 平面上任给三个不同的点 $z_1, z_2, z_3$ ，在 $w$ 平面上也任给三个不同的点 $w_1, w_2, w_3$ ，则存在唯一的分式线性映射，将 $z_1, z_2, z_3$ 分别依次地映射为 $w_1, w_2, w_3$ ．

证明（仅证明存在性）设分式线性映射为 $w=\frac{a z+b}{c z+d}$ ，
代入条件得 $w_1=\frac{a z_1+b}{c z_1+d}, w_2=\frac{a z_2+b}{c z_2+d}, w_3=\frac{a z_3+b}{c z_3+d}$ ，

$$
\Rightarrow \quad w-w_1=\frac{a z+b}{c z+d}-\frac{a z_1+b}{c z_1+d}=\frac{a d-b c}{c z+d} \cdot \frac{z-z_1}{c z_1+d}
$$

同理 $w-w_2=\frac{a d-b c}{c z+d} \cdot \frac{z-z_2}{c z_2+d}$ ，

$$
\Rightarrow \frac{w-w_1}{w-w_2}=\frac{z-z_1}{z-z_2} \cdot \frac{c z_2+d}{c z_1+d}
$$

$$
\begin{aligned}
&\begin{aligned}
& \Rightarrow \frac{w-w_1}{w-w_2}=\frac{z-z_1}{z-z_2} \cdot \frac{c z_2+d}{c z_1+d}, \\
& \text { 同理 } \frac{w_3-w_1}{w_3-w_2}=\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2} \cdot \frac{c z_2+d}{c z_1+d}, \\
& \Rightarrow \frac{w-w_1}{w-w_2}: \frac{w_3-w_1}{w_3-w_2}=\frac{z-z_1}{z-z_2}: \frac{z_3-z_1}{z_3-z_2},
\end{aligned}\\
&\text { 将上式整理后，即得到所要的分式线性映射。 }
\end{aligned}
$$

## 对应点公式
定义 称下式为对应点公式：

$$
\frac{w-w_1}{w-w_2}: \frac{w_3-w_1}{w_3-w_2}=\frac{z-z_1}{z-z_2}: \frac{z_3-z_1}{z_3-z_2} .
$$

注（1）由于分式线性映射具有保圆性，因此对应点公式通常直接应用于：

把过 $z_1, z_2, z_3$ 三点的圆映射为过 $w _1, w _2, w _3$ 三点的圆。
（2）如果 $z_1, z_2, z_3$ 和 $w_1, w_2, w_3$ 中有一个为 $\infty$ ，则只需将对应点公式中含有 $\infty$ 的项换成 1 。

**推论** 设 $w=f(z)$ 为分式线性映射，且 $f\left(z_1\right)=w_1, f\left(z_2\right)=w_2$ ，则它可表示为：$\frac{w-w_1}{w-w_2}=k \frac{z-z_1}{z-z_2},(k$ 为任意复常数 $)$ 。

特别地，若 $f\left(z_1\right)=0, f\left(z_2\right)=\infty$ ，
 
则 $w=k \frac{z-z_1}{z-z_2} \cdot(k$ 待定 $)$

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## 两个典型区域间的映射

1. 将上半平面映射成单位圆域   
特点 这两个区域的边界都是圆。
求解 方法一（三点定圆）
在实轴上和单位圆周上分别取三点

$$
\begin{aligned}
& z_1=0, z_2=1, z_3=\infty \\
& w_1=-1, w_2=-i, w_3=1,
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-01/15440e.jpg)
根据对应点公式有

$\frac{w-(-1)}{w-(-i)}: \frac{1-(-1)}{1-(-i)}=\frac{z-0}{z-1}: \frac{1}{1}$, 整理得 $w=\frac{z-i}{z+i}$ ． 
显然，如果取另外的三点则会得到另外的结果。

![图片](/uploads/2025-01/ce2dca.jpg)
 
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2. 将单位圆域映射成单位圆域

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