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复变函数与积分变换
第六篇 共形映射
幂函数映射
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2025-01-19 11:13
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幂函数映射
## 幂函数 $w=z^n,(n \geq 2$ 整数 $)$ 1．映射特点 令 $z=r e ^{i \theta}$ ，则有 $w=r^n e ^{i n \theta}$ ，即 $| w |=r^n, \arg w=n \theta$ ．  特点 幂函数 $w=z^n$ 扩大顶点在原点的角形域（或扇形域）。 －类似地，根式函数 $w=\sqrt[n]{z}$ 作为幂函数的逆映射，其映射特点是缩小顶点在原点的角形域（或扇形域）。 2．保形性 －解析性（1）在 $z$ 平面上处处可导，且 $\frac{ d w}{d z}=n z^{n-1}$ ； （2）当 $z \neq 0$ 时，$\frac{ d w}{d z} \neq 0$ ． －单值性 在 $z$ 平面上不是双方单值的，比如： 对于 $w=z^4$ ，取 $z_1= e ^{\frac{\pi}{2} i} z_2= e ^{\pi i}$ ，则 $z_1^4=z_2^4$ ． 结论 幂函数 $w=z^n$ 在 $z$ 平面上除原点外是第一类保角映射。 －在角形域 $0<\theta<\theta_0$ 上，如果 $\theta_0<\frac{2 \pi}{n}$ ，则幂函数 $w=z^n$ 是共形映射。  
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