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复变函数与积分变换
第六篇 共形映射
指数函数映射
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2025-01-19 11:22
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指数函数映射
  ## 指数函数 $w = e ^z$ 2．保形性 －解析性 在 $z$ 平面上处处可导，且 $\frac{ d w}{ d z}= e ^z \neq 0$ ． －单值性 在 $z$ 平面上不是双方单值的，比如： 取 $z_1=x_1+i y_1, z_2=x_1+i\left(y_1+2 \pi\right)$ ，则 $e ^{z_1}= e ^{z_2}$ ． 结论 指数函数 $w= e ^z$ 在 $z$ 平面上是第一类保角映射。 －在水平带形域 $0<y<h$ 上，如果 $h<2 \pi$ ，则指数函数 $w= e ^z$是共形映射。   三，综合举例 主要步骤（一般） （1）预处理 目标 使区域的边界至多由两段圆弧（或直线段）构成。 工具 几种简单的分式映射，幂函数，指数函数等。 （2）将区域映射为角形域（或者带形域） 方法 将区域边界的一个交点 $z_1$ 映射为 $\infty$ ； ［另一个（交）点 $z_2$ 映射为 0 ］。 工具 $w=k \frac{1}{z-z_1}$ ，或者 $w=k \frac{z-z_2}{z-z_1}$ ． （3）将角形域（或者带形域）映射为上半平面 工具 $w=z^n, w=\sqrt[n]{z}$ ．（对于角形域） $w = e ^{ z }$ ． （对于带形域） （4）将上半平面映射为单位圆域 工具 $w=\frac{z-i}{z+i}$ ． （无附加条件） $w= e ^{i \theta_0} \frac{z-z_0}{z-\bar{z}_0}$. （由附加条件确定 $\theta_0, z_0$ ）          
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