最后更新: 2025-11-26 19:02 查看: 267 次纠错评论(0) 课件开VIP

勒贝格测度概述(次可加性)★★★★★

## 测度的引入
从本章开始，我们将开始逐步介绍实变函数理论的核心内容—Lebesgue 测度与积分．

19世纪的数学家们已经认识到，仅有连续函数与积分的古典理论已经不足以解决数学分析中的许多问题．为了克服古典的 黎曼 Riemann 积分在理论上的局限性，必须改造原有的积分定义．大家知道，对于 $[a, b]$ 上的正值连续函数 $f(x)$ ，其积分的几何意义是平面曲边梯形（下方图形）的面积．

![图片](/uploads/2025-11/e96f43.jpg){WIDTH=300PX}

$$
\underline{G}(f)=\{(x, y): x \in[a, b], 0 \leqslant y \leqslant f(x)\}
$$

因此，**积分的定义以及一个函数的可积性，是与相应的下方图形面积如何确定以及面积是否存在密切相关的**．从这一个角度看问题，过去我们所说的不可积函数 $f$ ，就反映在平面点集 $G(f)$ 的＂面积＂不存在的问题上．

于是，如果我们想要建立能够应用于更大函数类的新的积分理论，自然希望把原有的面积概念加以推广（而面积可以看成是由无数个点集组成），以使得更多的点集能具有类似于面积性质的新的度量．

总之，我们希望对一般 $\mathbf{R}^n$ 中的点集 $E$ 给予一种度量，它是长度、面积以及体积的概念的推广．如果记点集 $E$ 的这种度量为 $m(E)$ ，那么自然应要求它具有某些常见的性质或满足一定的条件．此时，称 $m(E)$ 为 $E$ 的测度

> 对于点集的理解，可以类比气体分子，在化学课里，气体在等温等压强下，所占的体积相等，同样，对于点集，为了测量他们的体积，可以想象为用一个立方体把它包围住。这样立方体的下确界就是分子的体积。

![图片](/uploads/2025-11/9ab2cb.jpg){width=300px}

##  引例1：怎么样去测量一个人的身高
现在我有一半尺子，只知道尺子的长度为1m，上面没有刻度，我要测量一个人的身高，假设他175cm，如何测量？很简单，只要把尺子底部和身高底部对齐，然后多次往上测量即可。

![图片](/uploads/2025-03/1b3813.jpg)
 
在本例里，因为尺子单位是1米，很容易知道，测量1次身高是1m，这是不足的，如果测量两次，身高是2m，显然是多余的。所以虽然你没有得到身高的精确，但你知道这个人的身高是 1m < 身高 < 2m。
 
 
现在我更换一把尺子，新尺子长度为10cm（仍然没有刻度），然后现在用这个10cm长的尺子测量用户身高
 ![图片](/uploads/2025-03/787468.jpg)
 
可以发现发现量到第17次时，身高是不足的， 如果测量18次，身高又变成有余的了。 于是你能得出这个人高是 170cm < 身高 < 180cm。

从上面这个例子可以看到，通过更换更精确的尺子，可以得到身高更精确的变换范围。

### 内测度和外侧度 
如果说170是从底部逼近用户身高，180是从顶部逼近用户身高，那么这就是内测度和外侧度。 很明显，用户身高是固定的，当尺子精度越来越高是，测量的误差就越来越小，那么**内测度就无线逼近外侧度**。如果内测度等于外侧度，那么这个共同的值就是这个人的最终身高。到这里我们可以得到一个重要结论：

> **如果你用内测度测量，测量结果要使用内测度的上确界，如果你用外测度测量，测量结果要使用外测度的下确界。如果上确界等于下确界，那么这个值就是用户的身高。**

## 引例2：怎么测量多边形面积
考虑有一个不规则的图形，我们要测量他的面积。
 ![图片](/uploads/2025-11/0e3bc0.jpg){width=300px}
 图：这表示一个点集E
 
 我们首先定义了开矩体的测度（二维情形就是长方形和它的面积）
$I=\left\{\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \mid a_i<x_i<b_i, i=1,2, \ldots, n\right\}$ ，定义其测度 $|I|= \prod_{i=1}^n\left(b_i-a_i\right)$，

二维情形 $I=\{(x, y) \mid a<x<b, c<x<d\}$ 就是长方形和它的面积 $|I|=(b-a)(d-c)$ ，这样的定义很符合我们过去对面积的认知，也符合测度公理。这里类似微积分的思想，我们可以用借助这个开矩体的去＂测量它＂。很自然地，对于这个有界点集 E ，我们总可以用可列多个开长方形覆盖它，比如用一个足够大的长方形 I（下图：红色长方形表示这个长方形开矩体）覆盖它，很合理的定义E的测度是比 $I$ 的面积小，即

$m^*(E)<|I|=(b-a)(d-c)$

![图片](/uploads/2025-11/3c6b44.jpg){width=300px}
图：E的开覆盖J
 
但是这样的＂测量＂＂太粗糙＂了，于是我们用更多的长方形覆盖它，比如下图，使用有限个长方体去覆盖它。

![图片](/uploads/2025-11/7737fe.jpg){width=300px}
 
 图：点集E的一个开覆盖
 
为了方便进一步研究，我们引入一个记号J表示这个覆盖方法： $J=\left\{I_1, I_2, \ldots, I_k, \ldots\right\}$ ，再引入一个函数 $s(J)=\left|I_1\right|+\left|I_2\right|+\ldots=\sum_{I_k \in J}\left|I_k\right|$ 表示每种覆盖方法所需要的开矩体（长方形）的测度总和。同样我们也应该定义 $m^*(E)<s(J)$ ．

如果内测度记为$m_*(E)$, 外测度记为$m^*(E)$， 那么点集的测度$m(E)$ 应该满足
$$
m_*(E)  \le  m(E) \le m^*(E)
$$

这很符合我们的基本认知。

## 点集的测度
测度是什么？测度是长度，面积与体积之类量的推广，是对点集占据空间的大小的度量，它是建立积分概念所必须的．抽象而言，测度是以点集为自变量，取非负实数值，并且具有可加性或完全可加性的函数。本章要讲的 Lebesgue 测度只是一种特殊的测度。

根据绪论所讲，我们要把区间长度的概念推广到直线上的点集，要把平面上多边形面积的概念推广到平面点集，要把空间中多面体体积的概念推广到三维空间中的点集，或一般地说，要把 $R ^n$ 中多面体的体积概念推广到 $R ^n$ 中的一般点集，称为**点集的测度**（多面体的测度就等于它的体积），我们来分析一下，应该如何推广．为简单起见，下面主要考虑 $n=2$ 的情形，即如何对平面上的一般点集定义它的测度。

回忆数学分析的多元函数积分学．在那里我们曾讲述过，如何把面积概念推广到比较一般的平面区域 。在平面上，矩形是有面积的，从而三角形，平行四边形以至任意多边形都是有面积的（多边形 $P$ 的面积记为 $|P|$ ）．对一般的平面点集 $D$ 及多边形 $P$ ，如果 $P \supset D$ 就称 $P$ 为 $D$ 的**外包多边形**；如果 $P \subset D$ ，就称 $P$ 是 $D$的**内含多边形**。在数学分析中我们曾说，$D$ 有面积当且仅当，$D$ 的外包多边形面积的下确界等于 $D$ 的内含多边形面积的上确界，也就是

$$
\boxed{
\inf \{|P| \mid P \text { 为 } D \text { 的外包多边形 }\}=\sup \{|P| \mid P \text { 为 } D \text { 的内含多边形 }\} \text {, } ...(1)
}
$$

并且定义 $D$ 的＂面积＂就等于这个上确界和下确界的公共值．在历史上若尔当 （Jordan）首先用这种方法定义一般平面点集的面积，因此称它为 **Jordan测度**．用这个术语把上述事实重述一遍就是：如果（1）式成立，则称 $D$ 是 Jordan 可测的，并且把（1）式两边的公共值称为 $D$ 的 Jordan 测度，记为 $J(D)$ ．这种方法在多元函数的 Riemann 积分理论中已经够用，但是实际上它只适用于比较规则的点集 （例如由逐段光滑曲线围成的区域），若要确定稍为复杂一点的平面点集的＂面积＂，它就无能为力了．

例如，平面上单位正方形内的有理点之集

$$
Q _0^2=\{(x, y) \mid x, y \in Q \text { 且 } 0 \leqslant x, y \leqslant 1\}
$$

![图片](/uploads/2025-11/1744b8.jpg)

$Q$ 是有理数集就不是 Jordan 可测的．这是因为有理点集在单位正方形内稠密，所以 $Q _0^2$ 的任何外包多边形都必定包含单位正方形，于是它的外包多边形面积的下确界是 1 ；另一方面，它又不含任何一个面积非零的多边形，故 $\sup ||P|| P$为 $Q _0^2$ 的内含多边形 $\}=0$ ．

为什么会这样呢？原来，面积具有可加性，即若 $P_1, P_2$ 是平面上的两个多边形，则它们的并集 $P_1 \cup P_2$ 也是多边形，并且当 $P_1 \cap P_2=\varnothing$ 时，$P_1 \cup P_2$ 的面积等于 $P_1$ 与 $P_2$ 的面积之和，即

$$
\left|P_1 \cup P_2\right|=|P_1|+\left|P_2\right|
$$

任意有限多个多边形的并也是这样．

> 有理数集稠密是什么意思？有理数集稠密是指，任给2个不同的有理数，你总能在他们之间找到一个有理数。例如，在 3.14和 3.15之间，你可以找到 3.145 等无限多个有理数。但是稠密不代表充满，有理点虽然是稠密的，但它们并不能覆盖整个数轴，事实上任何两个有理数之间都有无穷多个无理数，也就是说无理点甚至比有理点“多得多”

Jordan 测度保留了多边形面积的可加性，也就是说，若 $D_1, D_2, \cdots, D_m$ 是平面内的有限个点集，都是可测的，则

$$
D=D_1 \cup D_2 \cup \cdots \cup D_m
$$

也是可测的，并且当它们互不相交时，即当 $D_i \cap D_j \neq \varnothing(i \neq j, i, j=1,2, \cdots, m)$时，还有

$$
J\left(\bigcup_{i=1}^m D_i\right)=\sum_{i=1}^m J\left(D_i\right)
$$

然而这个结果只对有限个点集成立，但是不能推广到可数无限个点集情形，反例就是前面举出的单位正方形内的点集 $Q _0^2$ ．事实上，由第一章知， $Q _0^2$ 是可数集，是可数个互不相交的单点集的并集。但是很容易看出，单点集是 Jordan 可测集，且其测度为 0 。如果上述性质可以推广到可数无限多个点集的情形，那么 $Q _0^2$ 就应该是 Jordan 可测的，且它的测度为 0 ．但这不可能，因为上面已分析过， $Q _0^2$ 不是 Jordan可测的．所以说 Jordan 测度的可加性不能推广到可数无限个点集的情形．
如果有一种平面点集的测度 $m$ ，它具有这样的性质：对任意可数多个平面点集 $A_1, A_2, \cdots, A_k, \cdots$ ，只要每个 $A_k$ 是 $m$ 可测的（有 $m$ 测度），则 $A=\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k$ 也是 $m$可测的，并且当 $\left\{A_k\right\}$ 互不相交，即 $A_i \cap A_j=\varnothing(i, j=1,2, \cdots$ 且 $i \neq j)$ 时，还有

$$
m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k\right)=\sum_{k=1}^{\infty} m A_k
$$

则称测度 $m$ 具有可数可加性（或称完全可加性）。现在我们看到，Jordan 测度不能推广到像上面的 $Q _0^2$ 那样的点集的原因就在于，Jordan 测度只具有可加性，而没有可数可加性。

因此，要使更多点集具有＂面积＂，我们必须寻找一种新的，具有可数可加性的测度。为什么 Jordan 测度只有有限可加性而不具有完全可加性呢？一种推测是，因为定义这种测度时用的是边数有限的多边形．那么，能否用有可数多边的 ＂多边形＂（不妨称它为＂可数多边形＂）代替呢？如果设想这样做，就先要解决，

什么叫可数多边形呢？它们的面积如何定义？用它们来定义的测度会有可数可加性吗？后面再详细谈。

其实，定义测度的关键在于外测度．对于 Jordan 测度来说，其外测度就是

$$
J^*(D)=\inf \{|P| \mid P \text { 为 } D \text { 的外包多边形 }\} \text {. }
$$

以后会看到，有了外测度，就可以很自然地定义内测度（甚至不需要定义内测度），并进而定义测度．后面章节我们就遵循用可数多边形代替普通的多边形的思路，引进一种新的外测度．我们将不再限于 $R ^2$（即平面点集的情形），而回到一般的 $R ^n$ 上，从这种外测度出发来建立一种具有可数可加性的测度．

## 理解：可数可加性与次可加性

对于初学者来说，理解可数可加性和次可加性很重要。

### 关键比喻：测量一堆沙子 vs. 测量一团雾气

**1. 可数可加性的情景（测量一堆沙子）**

想象你有无数堆**规则的小沙堆**，每个沙堆都规规矩矩，彼此之间留有明显的空隙。
*   你用“完美尺子”（勒贝格测度）去量每个小沙堆的体积，比如分别是 V1, V2, V3...
*   然后你把所有沙堆扫到一起，堆成一个大沙堆，再去量它的总体积 V总。
*   你会发现，**V总 = V1 + V2 + V3 + ...**
*   这就是**可数可加性**。因为沙堆是“好”的集合（可测集），并且过程是合理的。

**2. 外测度失效的情景（测量一团雾气）**

现在，地上有一滩不规则的水渍（一个不可测集）。你的任务还是估算它的面积。
你的方法（外测度）依然是：用塑料布覆盖。

*   **第一步：你尝试无限细分**。为了更精确，你决定把这滩水渍想象成由无数个极其微小的水珠（点）组成的。你把每个水珠都单独看作一个“小集合”。
    *   一个点的外测度是多少？是0。因为你可以用一块任意小的塑料布完美地盖住一个点，没有浪费。
*   **第二步：按照可数可加性逻辑计算**。如果外测度满足可数可加性，那么这滩水渍的总外测度应该是：`所有点外测度之和 = 0 + 0 + 0 + ... = 0`。
*   **第三步：与现实矛盾**。但这滩水渍明明有面积啊！比如是5平米。你再用一块大塑料布去覆盖它，怎么也得需要至少5平米的布。

**这就产生了矛盾：**
*   如果外测度满足可数可加性，那么这滩水渍的面积应该是0。
*   但实际上，它的面积是5。

**这个矛盾说明，外测度这把“尺子”不能用于这种“无限细分”的加法。** 当你把集合拆分成不可数多个点（点是可数加法的特殊情况）时，外测度会给出荒谬的结果。

### 为什么外测度会失败？—— “裂缝”与“浪费”

外测度的定义是“用一列开矩形去覆盖集合，然后取这些覆盖体积和的下确界”。它总是允许覆盖物之间有空隙、有重叠。

当你处理一个“规则”集合（如一个实心方块）时，你可以找到一系列覆盖，使得覆盖的体积和无限接近方块的真实体积。这时，次可加性就“升级”成了可加性。

但当你处理一个“不规则”的集合（如维塔利集中不可测集的例子）时，由于它被构造得极其破碎和怪异，**任何覆盖都必然包含大量的、无法消除的“额外浪费面积”**。你永远找不到一个覆盖能精确地、没有浪费地包住它。这个“浪费”的下确界（即外测度）会大于零。

然而，当你把它拆成点（每个点体积为0）时，点的可数加和却是0。这就导致了 `整体 > 部分之和` 的荒谬情况，违背了可加性。

**本章的理论框架和展开方式，是数学思维的重要典范，应该掌握．至于其中的详细证明，并不要求都记住，重点还是在于对整体的理解**．

### 数学中的次可加性
在数学中，特别是泛函分析和测度论中，次可加函数是指一类满足三角不等式的实值函数。

> **对于任意两个元素 $x$ 和 $y$ ，如果函数 $f$ 满足 $f(x+y) \leq f(x)+f(y)$ ，那么这个函数就是次可加的**。

这类函数的例子包括距离（度量）、范数等。

其实，次可加性在生活买卖中经常大量存在。

比如：你去小店买水果，你问老板：
一个苹果多少钱？1元一个。
一个梨多少钱? 0.8元一个
如果我两个都要多少钱？老板会说，两个都要给你优惠，那就1.5元吧。

这里你就很明显的体会到次可加性与可数可加性的区别。

如果是**可数可加性**，应该收我 1+0.8=1.8 元， 但是因为我两个都要，使用了**次可加性**，老板优惠了，导致我实际只需要支付 1.5元即可。这就是 $f(苹果)+f(梨) \ge f(苹果+梨)$

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