最后更新: 2025-01-21 09:00 ● 参与者查看: 17 次纠错分享参与项目词条搜索

点集的测度

测度是什么？测度是长度，面积与体积之类量的推广，是对点集占据空间的大小的度量，它是建立积分概念所必须的．抽象而言，测度是以点集为自变量，取非负实数值，并且具有可加性或完全可加性的函数。本章要讲的 Lebesgue 测度只是一种特殊的测度。

根据绪论所讲，我们要把区间长度的概念推广到直线上的点集，要把平面上多边形面积的概念推广到平面点集，要把空间中多面体体积的概念推广到三维空间中的点集，或一般地说，要把 $R ^n$ 中多面体的体积概念推广到 $R ^n$ 中的一般点集，称为点集的测度（多面体的测度就等于它的体积），我们来分析一下，应该如何推广．为简单起见，下面主要考虑 $n=2$ 的情形，即如何对平面上的一般点集定义它的测度。

回忆数学分析的多元函数积分学．在那里我们曾讲述过，如何把面积概念推广到比较一般的平面区域 ${ }^{(1)}$ 。在平面上，矩形是有面积的，从而三角形，平行四边形以至任意多边形都是有面积的（多边形 $P$ 的面积记为 $|P|$ ）．对一般的平面点集 $D$ 及多边形 $P$ ，如果 $P \supset D$ 就称 $P$ 为 $D$ 的外包多边形；如果 $P \subset D$ ，就称 $P$ 是 $D$的内含多边形。在数学分析中我们曾说，$D$ 有面积当且仅当，$D$ 的外包多边形面积的下确界等于 $D$ 的内含多边形面积的上确界，也就是

$$
\inf \{|P| \mid P \text { 为 } D \text { 的外包多边形 }\}=\sup \{|P| \mid P \text { 为 } D \text { 的内含多边形 }\} \text {, }
$$

并且定义 $D$ 的＂面积＂就等于这个上确界和下确界的公共值．在历史上若尔当 （Jordan）首先用这种方法定义一般平面点集的面积，因此称它为 Jordan 测度．用这个术语把上述事实重述一遍就是：如果（1）式成立，则称 $D$ 是 Jordan 可测的，并且把（1）式两边的公共值称为 $D$ 的 Jordan 测度，记为 $J(D)$ ．这种方法在多元函数的 Riemann 积分理论中已经够用，但是实际上它只适用于比较规则的点集 （例如由逐段光滑曲线围成的区域），若要确定稍为复杂一点的平面点集的＂面积＂，它就无能为力了．例如，平面上单位正方形内的有理点之集

$$
Q _0^2=\{(x, y) \mid x, y \in Q \text { 且 } 0 \leqslant x, y \leqslant 1\}
$$

（ $Q$ 是有理数集）就不是 Jordan 可测的．这是因为有理点集在单位正方形内稠密，所以 $Q _0^2$ 的任何外包多边形都必定包含单位正方形，于是它的外包多边形面积的下确界是 1 ；另一方面，它又不含任何一个面积非零的多边形，故 $\sup ||P|| P$为 $Q _0^2$ 的内含多边形 $\}=0$ ．

为什么会这样呢？原来，面积具有可加性，即若 $P_1, P_2$ 是平面上的两个多边形，则它们的并集 $P_1 \cup P_2$ 也是多边形，并且当 $P_1 \cap P_2=\varnothing$ 时，$P_1 \cup P_2$ 的面积等于 $P_1$ 与 $P_2$ 的面积之和，即

$$
\left|P_1 \cup P_2\right|=|P|+\left|P_2\right|
$$

任意有限多个多边形的并也是这样．Jordan 测度保留了多边形面积的可加性，也就是说，若 $D_1, D_2, \cdots, D_m$ 是平面内的有限个点集，都是可测的，则

$$
D=D_1 \cup D_2 \cup \cdots \cup D_m
$$

也是可测的，并且当它们互不相交时，即当 $D_i \cap D_j \neq \varnothing(i \neq j, i, j=1,2, \cdots, m)$时，还有

$$
J\left(\bigcup_{i=1}^m D_i\right)=\sum_{i=1}^m J\left(D_i\right)
$$

然而这个结果只对有限个点集成立，不能推广到可数无限个点集情形，反例就是前面举出的单位正方形内的点集 $Q _0^2$ ．事实上，由第一章知， $Q _0^2$ 是可数集，是可数个互不相交的单点集的并集。但是很容易看出，单点集是 Jordan 可测集，且其测度为 0 。如果上述性质可以推广到可数无限多个点集的情形，那么 $Q _0^2$ 就应该是 Jordan 可测的，且它的测度为 0 ．但这不可能，因为上面已分析过， $Q _0^2$ 不是 Jordan可测的．所以说 Jordan 测度的可加性不能推广到可数无限个点集的情形．
如果有一种平面点集的测度 $m$ ，它具有这样的性质：对任意可数多个平面点集 $A_1, A_2, \cdots, A_k, \cdots$ ，只要每个 $A_k$ 是 $m$ 可测的（有 $m$ 测度），则 $A=\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k$ 也是 $m$可测的，并且当 $\left\{A_k\right\}$ 互不相交，即 $A_i \cap A_j=\varnothing(i, j=1,2, \cdots$ 且 $i \neq j)$ 时，还有

$$
m\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k\right)=\sum_{k=1}^{\infty} m A_k
$$

则称测度 $m$ 具有可数可加性（或称完全可加性）。现在我们看到，Jordan 测度不能推广到像上面的 $Q _0^2$ 那样的点集的原因就在于，Jordan 测度只具有可加性，而没有可数可加性。

因此，要使更多点集具有＂面积＂，我们必须寻找一种新的，具有可数可加性的测度。为什么 Jordan 测度只有有限可加性而不具有完全可加性呢？一种推测是，因为定义这种测度时用的是边数有限的多边形．那么，能否用有可数多边的 ＂多边形＂（不妨称它为＂可数多边形＂）代替呢？如果设想这样做，就先要解决，

什么叫可数多边形呢？它们的面积如何定义？用它们来定义的测度会有可数可加性吗？后面再详细谈。

其实，定义测度的关键在于外测度．对于 Jordan 测度来说，其外测度就是

$$
J^*(D)=\inf \{|P| \mid P \text { 为 } D \text { 的外包多边形 }\} \text {. }
$$

以后会看到，有了外测度，就可以很自然地定义内测度（甚至不需要定义内测度），并进而定义测度．下面我们就遵循用可数多边形代替普通的多边形的思路，引进一种新的外测度．我们将不再限于 $R ^2$（即平面点集的情形），而回到一般的 $R ^n$ 上，从这种外测度出发来建立一种具有可数可加性的测度．

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