最后更新: 2025-11-26 19:02 查看: 193 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

勒贝格测度概述(次可加性)★★★★★

## 测度的引入
从本章开始，我们将开始逐步介绍实变函数理论的核心内容—Lebesgue 测度与积分．

19世纪的数学家们已经认识到，仅有连续函数与积分的古典理论已经不足以解决数学分析中的许多问题．为了克服古典的 黎曼 Riemann 积分在理论上的局限性，必须改造原有的积分定义．大家知道，对于 $[a, b]$ 上的正值连续函数 $f(x)$ ，其积分的几何意义是平面曲边梯形（下方图形）的面积．

![图片](/uploads/2025-11/e96f43.jpg){WIDTH=300PX}

$$
\underline{G}(f)=\{(x, y): x \in[a, b], 0 \leqslant y \leqslant f(x)\}
$$

因此，**积分的定义以及一个函数的可积性，是与相应的下方图形面积如何确定以及面积是否存在密切相关的**．从这一个角度看问题，过去我们所说的不可积函数 $f$ ，就反映在平面点集 $G(f)$ 的＂面积＂不存在的问题上．

于是，如果我们想要建立能够应用于更大函数类的新的积分理论，自然希望把原有的面积概念加以推广（而面积可以看成是由无数个点集组成），以使得更多的点集能具有类似于面积性质的新的度量．

总之，我们希望对一般 $\mathbf{R}^n$ 中的点集 $E$ 给予一种度量，它是长度、面积以及体积的概念的推广．如果记点集 $E$ 的这种度量为 $m(E)$ ，那么自然应要求它具有某些常见的性质或满足一定的条件．此时，称 $m(E)$ 为 $E$ 的测度

> 对于点集的理解，可以类比气体分子，在化学课里，气体在等温等压强下，所占的体积相等，同样，对于点集，为了测量他们的体积，可以想象为用一个立方体把它包围住。这样立方体的下确界就是分子的体积。

![图片](/uploads/2025-11/9ab2cb.jpg){width=300px}

##  引例1：怎么样去测量一个人的身高
现在我有一半尺子，只知道尺子的长度为1m，上面没有刻度，我要测量一个人的身高，假设他175cm，如何测量？很简单，只要把尺子底部和身高底部对齐，然后多次往上测量即可。

![图片](/uploads/2025-03/1b3813.jpg)
 
在本例里，因为尺子单位是1米，很容易知道，测量1次身高是1m，这是不足的，如果测量两次，身高是2m，显然是多余的。所以虽然你没有得到身高的精确，但你知道这个人的身高是 1m < 身高 < 2m。
 
 
现在我更换一把尺子，新尺子长度为10cm（仍然没有刻度），然后现在用这个10cm长的尺子测量用户身高
 ![图片](/uploads/2025-03/787468.jpg)
 
可以发现发现量到第17次时，身高是不足的， 如果测量18次，身高又变成有余的了。 于是你能得出这个人高是 170cm < 身高 < 180cm。

从上面这个例子可以看到，通过更换更精确的尺子，可以得到身高更精确的变换范围。

### 内测度和外侧度 
如果说170是从底部逼近用户身高，180是从顶部逼近用户身高，那么这就是内测度和外侧度。 很明显，用户身高是固定的，当尺子精度越来越高是，测量的误差就越来越小，那么**内测度就无线逼近外侧度**。如果内测度等于外侧度，那么这个共同的值就是这个人的最终身高。到这里我们可以得到一个重要结论：

> **如果你用内测度测量，测量结果要使用内测度的上确界，如果你用外测度测量，测量结果要使用外测度的下确界。如果上确界等于下确界，那么这个值就是用户的身高。**

## 引例2：怎么测量多边形面积
考虑有一个不规则的图形，我们要测量他的面积。
 ![图片](/uploads/2025-11/0e3bc0.jpg){width=300px}
 图：这表示一个点集E
 
 我们首先定义了开矩体的测度（二维情形就是长方形和它的面积）
$I=\left\{\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \mid a_i<x_i<b_i, i=1,2, \ldots, n\right\}$ ，定义其测度 $|I|= \prod_{i=1}^n\left(b_i-a_i\right)$，

二维情形 $I=\{(x, y) \mid a<x<b, c<x<d\}$ 就是长方形和它的面积 $|I|=(b-a)(d-c)$ ，这样的定义很符合我们过去对面积的认知，也符合测度公理。这里类似微积分的思想，我们可以用借助这个开矩体的去＂测量它＂。很自然地，对于这个有界点集 E ，我们总可以用可列多个开长方形覆盖它，比如用一个足够大的长方形 I（下图：红色长方形表示这个长方形开矩体）覆盖它，很合理的定义E的测度是比 $I$ 的面积小，即

$m^*(E)<|I|=(b-a)(d-c)$

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图：E的开覆盖J
 
但是这样的＂测量＂＂太粗糙＂了，于是我们用更多的长方形覆盖它，比如下图，使用有限个长方体去覆盖它。

![图片](/uploads/2025-11/7737fe.jpg){width=300px

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