最后更新: 2025-11-27 08:52 查看: 113 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

外测度

## 点集的外侧度

大家知道，平面中一个矩形的面积等于长乘以宽．也就是说，先取定一个标准单位—单位正方形，然后来计算该矩形包含有多少个正方形．还有，多边形面积往往是用内部所含的三角形面积来度量的．用古典积分计算下方图形 $G(f)$ 的面积，也基本上是从其内部小矩形的面积出发来逐步进行计算的．显然，这种计算方法只是对具有内点的点集有效。

为了对一般点集也能度量出某种＂面积＂来，我们放弃从点集内部扩张的做法，而按从其外部挤压的方法，即用矩形（或正方形）去覆盖点集，然后来计算这些矩形的面积总和（类似于古典积分论中的 Darboux上和）。当然，这样的覆盖方式有多种多样。一般说来，这样的覆盖所盖住的点集要比原点集的＂面积＂大。因此，在这里取一切这种覆盖所求出的矩形面积总和的下确界来代表它的某种度量是很正常的．另外，还有一个问题：每次覆盖所用的矩形是多少个？若只允许有限个，则由此所建立的度量就是所谓 Jordan 容度．这种度量在数学史上占有一定地位，但因有严重缺陷（见积分论评述）而被改造。也就是说，现在采用的覆盖，允许有可数个矩形参加．这一革命性举措正是 Lebesgue 所创，使得由此所建立的点集的度量理论呈现崭新的面貌，也使得 Lebesgue 积分论成为进人现代分析的大门．

### 定义
**定义2.1** 设 $E \subset \mathbf{R}^n$ ．若 $\left\{I_k\right\}$ 是 $\mathbf{R}^n$ 中的可数个开矩体，且有

$$
E \subset \bigcup_{k \geqslant 1} I_k,
$$

则称 $\left\{I_k\right\}$ 为 $E$ 的一个 $\boldsymbol{L}$－覆盖（显然，这样的覆盖有很多，且每一个 $L-$覆盖 $\left\{I_k\right\}$ 确定一个非负广义实值 $\sum_{k \geqslant 1}\left|I_k\right|$（可以是 $+\infty,\left|I_k\right|$ 表示 $I_k$的体积））。称

$$
m^*(E)=\inf \left\{\sum_{k \geqslant 1}\left|I_k\right|:\left\{I_k\right\} \text { 为 } E \text { 的 } L^{-} \text {覆盖 }\right\}
$$

为点集 $E$ 的 Lebesgue 外测度，简称 **外测度**, 记做$m^*(E)$

对于 $R ^n$ 中的开矩体

$$
I=\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \mid a_k<x_k<b_k, k=1,2, \cdots, n\right\},
$$

规定它的体积（通常在 $n=1$ 时称为长度，$n=2$ 时称为面积，$n=3$ 时称为体积，为了叙述简便，现在统称为体积）为

$$
|I|=\left(b_1-a_1\right)\left(b_2-a_2\right) \cdots\left(b_n-a_n\right)=\prod_{k=1}^n\left(b_k-a_k\right) .
$$

同时，规定其他类型（开，闭或半开半闭的）任意矩体的体积，等于与它有相同边界的开矩体的体积．

上面定义可以从空间几何上理解，$b_3-a_3,b_2-a_2,b_1-a_1$ 分别是空间$A,B$两点组成的立方体的三边边长，$AB$是空间斜对角线长度（参考下图）。 
 ![图片](/uploads/2025-04/3ab813.jpg){width=300px}
 
显然，空集 $\varnothing$ 的外测度为 $0, R ^n$ 的外测度为 $\infty$ 。

`例` 有理数的测度是 0

首先，直观理解“勒贝格测度”。它是对“长度”、“面积”、“体积”等概念的数学推广，目的是给实数轴上的**点集**（而不仅仅是区间）分配一个“广义长度”。

*   对于一个区间 $[a, b]$，它的测度就是其长度 $b-a$。这很自然。
*   测度具有**可数可加性**。这是关键！如果一个集合可以分成**可数多个**（即可以和正整数一一对应）互不相交的子集，那么这个集合的测度就等于所有这些子集测度的和。

有理数集 $\mathbb{Q}$ 有一个非常重要的性质：**它是可数集**，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3643)。这意味着我们可以把所有的有理数排成一个无穷序列：
$q_1, q_2, q_3, q_4, \dots$ （例如，按分子分母之和的大小等方式排列）

现在，我们要证明这个可数集合的测度为 0。

*   **思路**：我们用一些总长度可以任意小的区间，把所有的有理数都“盖住”。
*   **证明**：
    1.  对于任意一个很小的数 $\epsilon > 0$，我们进行如下操作：
    2.  用第一个有理数 $q_1$，我们用一个以它为中心、长度为 $\frac{\epsilon}{2}$ 的小区间把它盖住。这个区间的测度（长度）是 $\frac{\epsilon}{2}$。
    3.  用第二个有理数 $q_2$，我们用一个以它为中心、长度为 $\frac{\epsilon}{4}$ 的小区间把它盖住。这个区间的测度是 $\frac{\epsilon}{4}$。
    4.  用第三个有理数 $q_3$，我们用一个长度为 $\frac{\epsilon}{8}$ 的小区间把它盖住。
    5.  以此类推... 盖住第 $n$ 个有理数 $q_n$ 的区间长度是 $\frac{\epsilon}{2^n}$。

现在，我们用了可数无穷多个小区间，把**整个有理数集**都覆盖了。这些覆盖区间的**总长度**是多少？这是一个几何级数：

$$
总长度 = \frac

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：勒贝格测度概述(次可加性)★★★★★

下一篇：外侧度的性质

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)