最后更新: 2025-01-21 09:01 ● 参与者查看: 13 次纠错分享参与项目词条搜索

外侧度

对于 $R ^n$ 中的开矩体

$$
I=\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \mid a_k<x_k<b_k, k=1,2, \cdots, n\right\},
$$

规定它的体积（通常在 $n=1$ 时称为长度，$n=2$ 时称为面积，为了叙述简便，现在统称为体积）为

$$
|I|=\left(b_1-a_1\right)\left(b_2-a_2\right) \cdots\left(b_n-a_n\right)=\prod_{k=1}^n\left(b_k-a_k\right) .
$$

同时，规定其他类型（开，闭或半开半闭的）任意矩体的体积，等于与它有相同边界的开矩体的体积．

定义2．1（i）对于 $E \subset R ^n$ ，若可数个开矩体 $I_1, I_2, \cdots$ 满足 $\bigcup_{k=1}^{\infty} I_k \supset E$ ，则称这样的 $\left\{I_k\right\}$ 为 $E$ 的 $L$ 覆盖；
（ii）定义

$$
\inf \left\{\sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right| \mid\left\{I_k\right\} \text { 是 } E \text { 的 } L \text { 覆盖 }\right\}
$$

为 $E$ 的 Lebesgue 外测度，简称为外测度，记为 $m^* E$ ．
如同平面上有限个矩形的并集是由有限多条直线段（边）围成的图形（即多边形）一样， $R ^n$ 中有限多个矩体的并集是 $R ^n$ 中的多面体，从而 $R ^n$ 中可数多个矩体的并集可看作由可数个＂面＂围成的图形，即前面说的＂可数多面体＂（在 $n=2$ 时为＂可数多边形＂）．值得指出的是，若 $\left\{I_k\right\}$ 是 $E$ 的 $L$ 覆盖，则每个 $I_k$ 是矩体，并且有 $\bigcup_{k=1}^{\infty} I_k \supset E$ ，因此 $\bigcup_{k=1}^{\infty} I_k$ 可看作 $E$ 的外包可数多面体．虽然，这时 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right|$ 不一定是 $\bigcup_{k=1}^{\infty} I_k$ 的＂体积＂（因为各个 $I_k$ 之间可能会相交，所以它们的并集的＂体积＂可能小于所有 $I_k$ 的体积之和），但是对所有可能的外包可数多面体
取下确界后，就应该是从外面测量得到的 $E$ 的＂体积＂．也就是说，Lebesgue 外测度是本章开始时说的 Jordan（外）测度的推广。

很明显， $R ^n$ 的任意点集 $E$ 不但都有 $L$ 覆盖（例如说， $R ^n$ 可以由可数多个边长由 1 起成倍地增大的同心开正方体覆盖，这些正方体当然也构成 $R ^n$ 的子集 $E$ 的 $L$ 覆盖），并且不止一个．因此，外测度定义中的 $\left\{\sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right| \mid\left\{I_k\right\}\right.$ 是 $E$ 的 $L$ 覆盖 $\}$总是以 0 为下界的非空数集，从而有下确界．但是要注意，对于有的点集 $E($ 例如 $R ^1$ 中的区间 $(0,+\infty)$ ），如果它的任意 $L$ 覆盖 $\left\{I_k\right\}$ 都有 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right|=+\infty$ ，这时 $m^* E$ 自然就等于 $+\infty$ 。除了这种情况，$m^* E$ 永远是非负实数．可见，$m^*$ 是 $P \left( R ^n\right)$ $\rightarrow \overline{ R ^{+}}=[0,+\infty]= R ^{+} \cup\{+\infty\}$ 的（以集合为自变量的）广义非负实值函数．这个函数对 $R ^n$ 的任意子集都有意义，即其定义域是 $P \left( R ^n\right)\left( R ^n\right.$ 的幂集，即以 $R ^n$的所有子集为元素的集合），而它的值可以取任意非负实数或 $+\infty$ ，也就是说，它的值域是 $\overline{ R ^{+}}$．

显然，空集 $\varnothing$ 的外测度为 $0, R ^n$ 的外测度为 $\infty$ 。
例 1 直线上的任意可数点集的外测度为 0 ．
证明 设 $E=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_k, \cdots\right\} \subset R$ 是一个可数集．对任意数 $\varepsilon>0$ ，作

$$
I_k=\left(a_k-\varepsilon / 2^k, a_k+\varepsilon / 2^k\right)(k=1,2, \cdots),
$$

则 $\left\{I_k\right\}$ 是 $E$ 的 $L$ 覆盖．因此

$$
0 \leqslant m^* E \leqslant \sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right|=\sum_{k=1}^{\infty} \varepsilon 2^{-k+1}=2 \varepsilon
$$

由 $\varepsilon$ 的任意性知 $m^* E=0$ ．
外测度为 0 的点集称为零测集．由此可知， $R ^1$ 中的有理数集 $Q$ 为零测集．请读者把这个结果推广到高维空间，例如，写出平面上的有理点集

$$
Q ^2=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid x, y \in Q \right\}
$$

是 $R ^2$ 中的零测集的证明．从本章开始时的分析知道，如果用外包多边形来定义外测度，得到 $Q _0^2$ 的 Jordan 外测度为 1 ；而现在用外包可数多边形来定义外测度，则得到 $Q _0^2$ 的 Lebesgue 外测度为 0 ．从这里看出，用多边形覆盖和用可数多边形覆盖这两种不同方法来定义外测度，区别有多大．

例 2 证明：任意开矩体的外测度等于它的体积．
证明 设 $I$ 为开矩体，由于 $I$ 构成它自己的一个 $L$ 覆盖，按定义有 $m^* I \leqslant$ $|I|$ ．另一方面，对任意 $\lambda>0$ ，令 $I_\lambda$ 为与 $I$ 同心而边长为 $I$ 边长的 $\lambda$ 倍的开矩体， $\bar{I}_\lambda$ 为 $I_\lambda$ 的闭包（与 $I_\lambda$ 边界相同的闭矩体）．若 $\left\{I_k\right\}$ 为 $I$ 的任意 $L$ 覆盖，则对于 $0<\lambda<1$ ，它也是 $\bar{I}_\lambda$ 的 $L$ 覆盖．于是由有限覆盖定理，可从其中选出有限个开矩体 （设它们是 $\left.I_1, I_2, \cdots, I_N\right)$ 将 $\overline{I_\lambda}$ 覆盖．故有
$$
\sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right| \geqslant \sum_{k=1}^N\left|I_k\right| \geqslant\left|\bar{I}_\lambda\right|=\lambda^n|I|
$$

由于上式最左端与 $\lambda$ 无关，令 $\lambda \rightarrow 1-0$ 即得 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right| \geqslant|I|$ ，从而 $m^* I \geqslant|I|$ ．正反两个不等式说明 $m^* I=|I|$ ．

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