最后更新: 2025-11-27 08:52 查看: 181 次纠错评论(0) 课件开VIP

外测度

## 点集的外侧度

大家知道，平面中一个矩形的面积等于长乘以宽．也就是说，先取定一个标准单位—单位正方形，然后来计算该矩形包含有多少个正方形．还有，多边形面积往往是用内部所含的三角形面积来度量的．用古典积分计算下方图形 $G(f)$ 的面积，也基本上是从其内部小矩形的面积出发来逐步进行计算的．显然，这种计算方法只是对具有内点的点集有效。

为了对一般点集也能度量出某种＂面积＂来，我们放弃从点集内部扩张的做法，而按从其外部挤压的方法，即用矩形（或正方形）去覆盖点集，然后来计算这些矩形的面积总和（类似于古典积分论中的 Darboux上和）。当然，这样的覆盖方式有多种多样。一般说来，这样的覆盖所盖住的点集要比原点集的＂面积＂大。因此，在这里取一切这种覆盖所求出的矩形面积总和的下确界来代表它的某种度量是很正常的．另外，还有一个问题：每次覆盖所用的矩形是多少个？若只允许有限个，则由此所建立的度量就是所谓 Jordan 容度．这种度量在数学史上占有一定地位，但因有严重缺陷（见积分论评述）而被改造。也就是说，现在采用的覆盖，允许有可数个矩形参加．这一革命性举措正是 Lebesgue 所创，使得由此所建立的点集的度量理论呈现崭新的面貌，也使得 Lebesgue 积分论成为进人现代分析的大门．

### 定义
**定义2.1** 设 $E \subset \mathbf{R}^n$ ．若 $\left\{I_k\right\}$ 是 $\mathbf{R}^n$ 中的可数个开矩体，且有

$$
E \subset \bigcup_{k \geqslant 1} I_k,
$$

则称 $\left\{I_k\right\}$ 为 $E$ 的一个 $\boldsymbol{L}$－覆盖（显然，这样的覆盖有很多，且每一个 $L-$覆盖 $\left\{I_k\right\}$ 确定一个非负广义实值 $\sum_{k \geqslant 1}\left|I_k\right|$（可以是 $+\infty,\left|I_k\right|$ 表示 $I_k$的体积））。称

$$
m^*(E)=\inf \left\{\sum_{k \geqslant 1}\left|I_k\right|:\left\{I_k\right\} \text { 为 } E \text { 的 } L^{-} \text {覆盖 }\right\}
$$

为点集 $E$ 的 Lebesgue 外测度，简称 **外测度**, 记做$m^*(E)$

对于 $R ^n$ 中的开矩体

$$
I=\left\{\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \mid a_k<x_k<b_k, k=1,2, \cdots, n\right\},
$$

规定它的体积（通常在 $n=1$ 时称为长度，$n=2$ 时称为面积，$n=3$ 时称为体积，为了叙述简便，现在统称为体积）为

$$
|I|=\left(b_1-a_1\right)\left(b_2-a_2\right) \cdots\left(b_n-a_n\right)=\prod_{k=1}^n\left(b_k-a_k\right) .
$$

同时，规定其他类型（开，闭或半开半闭的）任意矩体的体积，等于与它有相同边界的开矩体的体积．

上面定义可以从空间几何上理解，$b_3-a_3,b_2-a_2,b_1-a_1$ 分别是空间$A,B$两点组成的立方体的三边边长，$AB$是空间斜对角线长度（参考下图）。 
 ![图片](/uploads/2025-04/3ab813.jpg){width=300px}
 
显然，空集 $\varnothing$ 的外测度为 $0, R ^n$ 的外测度为 $\infty$ 。

`例` 有理数的测度是 0

首先，直观理解“勒贝格测度”。它是对“长度”、“面积”、“体积”等概念的数学推广，目的是给实数轴上的**点集**（而不仅仅是区间）分配一个“广义长度”。

*   对于一个区间 $[a, b]$，它的测度就是其长度 $b-a$。这很自然。
*   测度具有**可数可加性**。这是关键！如果一个集合可以分成**可数多个**（即可以和正整数一一对应）互不相交的子集，那么这个集合的测度就等于所有这些子集测度的和。

有理数集 $\mathbb{Q}$ 有一个非常重要的性质：**它是可数集**，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3643)。这意味着我们可以把所有的有理数排成一个无穷序列：
$q_1, q_2, q_3, q_4, \dots$ （例如，按分子分母之和的大小等方式排列）

现在，我们要证明这个可数集合的测度为 0。

*   **思路**：我们用一些总长度可以任意小的区间，把所有的有理数都“盖住”。
*   **证明**：
    1.  对于任意一个很小的数 $\epsilon > 0$，我们进行如下操作：
    2.  用第一个有理数 $q_1$，我们用一个以它为中心、长度为 $\frac{\epsilon}{2}$ 的小区间把它盖住。这个区间的测度（长度）是 $\frac{\epsilon}{2}$。
    3.  用第二个有理数 $q_2$，我们用一个以它为中心、长度为 $\frac{\epsilon}{4}$ 的小区间把它盖住。这个区间的测度是 $\frac{\epsilon}{4}$。
    4.  用第三个有理数 $q_3$，我们用一个长度为 $\frac{\epsilon}{8}$ 的小区间把它盖住。
    5.  以此类推... 盖住第 $n$ 个有理数 $q_n$ 的区间长度是 $\frac{\epsilon}{2^n}$。

现在，我们用了可数无穷多个小区间，把**整个有理数集**都覆盖了。这些覆盖区间的**总长度**是多少？这是一个几何级数：

$$
总长度 = \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{4} + \frac{\epsilon}{8} + \dots = \epsilon \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \right) = \epsilon \times 1 = \epsilon
$$

**结论**：对于任意小的 $\epsilon > 0$，我们都可以找到一组开区间覆盖有理数集，并且这组区间的总长度可以小于 $\epsilon$。这意味着有理数集的测度必须为 0。因为如果它的测度是某个正数，我们就不可能用一个总长度任意小的集合族把它盖住。

上面是通俗的分析，下面例题将给出数学上的严格证明。

`例`直线上的任意可数点集的外测度为 0 ．
证明 设 $E=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_k, \cdots\right\} \subset R$ 是一个可数集．对任意数 $\varepsilon>0$ ，作

$$
I_k=\left(a_k-\varepsilon / 2^k, a_k+\varepsilon / 2^k\right)(k=1,2, \cdots),
$$

则 $\left\{I_k\right\}$ 是 $E$ 的 $L$ 覆盖．因此

$$
0 \leqslant m^* E \leqslant \sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right|=\sum_{k=1}^{\infty} \varepsilon 2^{-k+1}=2 \varepsilon
$$

由 $\varepsilon$ 的任意性知 $m^* E=0$ ，证毕。

外测度为 0 的点集称为**零测集**．由此推知第一个结论，

> **$R^1$ 中的有理数集 $Q$ 为零测集**．

请读者把这个结果推广到高维空间，例如，写出平面上的有理点集

$$
Q ^2=\left\{(x, y) \in R ^2 \mid x, y \in Q \right\}
$$

是 $R ^2$ 中的零测集的证明．从本章开始时的分析知道，如果用外包多边形来定义外测度，得到 $Q _0^2$ 的 Jordan 外测度为 1 ；而现在用外包可数多边形来定义外测度，则得到 $Q _0^2$ 的 Lebesgue 外测度为 0 ．从这里看出，用多边形覆盖和用可数多边形覆盖这两种不同方法来定义外测度，区别有多大．

`例` $R^1$上$[a,b]$之间的无理数集的测度是$b-a$

简单直观的回答是：**因为有理数的测度是0，而整个区间 $[a, b]$ 的测度是 $b-a$。无理数作为“剩下的部分”，其测度自然就是 $b-a - 0 = b-a$。**

现在我们看区间 $[a, b]$。

1.  这个区间里的所有点，要么是有理数，要么是无理数。
2.  所以，区间 $[a, b]$ 可以写成两个**不相交**集合的并集： $[a, b] = \{ [a, b] \text{中的有理数} \} \cup \{ [a, b] \text{中的无理数} \}$

3.  根据测度的**可数可加性**，整个区间 $[a, b]$ 的测度，等于其中有理数集的测度加上其中无理数集的测度。

$$
 \mu([a, b]) = \mu(\mathbb{Q} \cap [a, b]) + \mu((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) \cap [a, b])
   $$
4.  我们已经知道：
    *   整个区间的测度 $\mu([a, b]) = b - a$。
    *   其中有理数集的测度 $\mu(\mathbb{Q} \cap [a, b]) = 0$。因为有理数集是可数的，它的任何子集也是可数的，所以测度也是 0。
5.  代入等式：
 
$$
 b - a = 0 + \mu((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) \cap [a, b])
$$
 
$$
\therefore \mu((\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}) \cap [a, b]) = b - a
$$

进而得到一个结论：

> **$R^1$ 中$[a,b]$的无理数集 $Q^c$ 为测度为$b-a$**．

下面的例题证明，$[a,b]$ 区间的测度就是$b-a$.

`例` 对于区间 $I$ 有 $m^* I=|I|$ ．
证明（1）设 $I$ 为闭区间．对于任给 $\varepsilon>0$ ，存在开区间 $I^{\prime}$ ，使得 $I \subset I^{\prime}$ 且

$$
\left|I^{\prime}\right|<|I|+\varepsilon .
$$

由外测度定义，$m^* I<|I|+\varepsilon$ ，由 $\varepsilon$ 的任意性，有

$$
m^* I \leqslant|I| .
$$

现在来证明 $m^* I \geqslant|I|$ 。对于任给 $\varepsilon>0$ ，存在一列开区间 $\left\{I_i\right\}$使 $I \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} I_i$ 且 $\sum_{i=1}^{\infty}\left|I_i\right|<m^* I+\varepsilon$ 。
－由有限覆盖定理，在 $\left\{I_i\right\}$ 中存在有限多个区间，不妨设为 $I_1$ ， $I_2, \cdots, I_n$ ，使得 $I \subset \bigcup_{i=1}^n I_i$ 。

因为 $I=\bigcup_{i=1}^n\left(I \cap I_i\right)$ ，于此 $I \cap I_i$ 为区间，由初等几何易知

(以 $\mathbf{R}^2$ 的情形为例：在 $I$ 中延长所有 $I \cap I_i$ 各边，将 $I$ 分解成有限多个无公共内点的小区间，且每个小区间至少包含在某一个 $I \cap I_i$ 中．)

$$
|I| \leqslant \sum_{i=1}^n\left|I \cap I_i\right| ,
$$

故

$$
|I| \leqslant \sum_{i=1}^n\left|I \cap I_i\right| \leqslant \sum_{i=1}^n\left|I_i\right| \leqslant \sum_{i=1}^{\infty}\left|I_i\right|<m^* I+\varepsilon .
$$

由于 $\varepsilon$ 的任意性，即得

$$
m^* I \geqslant|I| .
$$

于是 $m^* I=|I|$ 。
（2）设 $I$ 为任意区间．作闭区间 $I_1$ 及 $I_2$ 使 $I_1 \subset I \subset I_2$ 且

（ $I_2$ 可取为 $I$ 的闭包 $\bar{I}$ ），则

$$
|I|-\varepsilon \leqslant\left|I_1\right|=m^* I_1 \leqslant m^* I \leqslant m^* I_2=\left|I_2\right|<|I|+\varepsilon .
$$

由于 $\varepsilon>0$ 的任意性，即得

$$
m^* I=|I| .
$$

`例` $ \mathbf{R}^n$ 中的单点集的外测度为零，即 $m^*\left(\left\{x_0\right\}\right)=0, x_0 \in \mathbf{R}^n$ ．这是因为可作一开矩体 $I$ ，使得 $x_0 \in I$ 且 $|I|$ 可任意地小．同理， $\mathbf{R}^n$ 中的点集

$$
\left\{x=\left(\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_{i-1}, t_0, \xi_i, \cdots, \xi_n\right): a_j \leqslant \xi_j \leqslant b_j, j \neq i\right\}
$$

（ $n-1$ 维超平面块）的外测度也为零．

`例` 证明：任意开矩体的外测度等于它的体积．
证明 设 $I$ 为开矩体，由于 $I$ 构成它自己的一个 $L$ 覆盖，按定义有 $m^* I \leqslant$ $|I|$ ．另一方面，对任意 $\lambda>0$ ，令 $I_\lambda$ 为与 $I$ 同心而边长为 $I$ 边长的 $\lambda$ 倍的开矩体， $\bar{I}_\lambda$ 为 $I_\lambda$ 的闭包（与 $I_\lambda$ 边界相同的闭矩体）．若 $\left\{I_k\right\}$ 为 $I$ 的任意 $L$ 覆盖，则对于 $0<\lambda<1$ ，它也是 $\bar{I}_\lambda$ 的 $L$ 覆盖．于是由有限覆盖定理，可从其中选出有限个开矩体 （设它们是 $\left.I_1, I_2, \cdots, I_N\right)$ 将 $\overline{I_\lambda}$ 覆盖．故有
$$
\sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right| \geqslant \sum_{k=1}^N\left|I_k\right| \geqslant\left|\bar{I}_\lambda\right|=\lambda^n|I|
$$

由于上式最左端与 $\lambda$ 无关，令 $\lambda \rightarrow 1-0$ 即得 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right| \geqslant|I|$ ，从而 $m^* I \geqslant|I|$ ．正反两个不等式说明 $m^* I=|I|$ ．

## 理解：外测度
我们用一个非常通俗的方式来解释“外测度”。你可以把它理解为：**一个“土豪”测量不规则图形面积的方法。**

![img-text](/uploads/2025-11/3c6b44.jpg){width=300px}

### 核心思想：用“小瓷砖”从外面铺满它

想象一下，你有一块形状非常不规则的地毯（比如像一只泼出去的墨迹），你想知道它的面积有多大。但你没有神奇的测量仪器，你只有很多很多完全一样的小正方形瓷砖。

你会怎么做？

**“土豪”方法（外测度）的步骤：**

1.  **不管三七二十一，先铺上再说**：你不在乎浪费瓷砖。你的目标是用这些小瓷砖，从**外面完全盖住**这块不规则的地毯。
2.  **计算总面积**：你把所有用到的瓷砖的面积加起来。因为这个覆盖方法很“粗放”，肯定会多算很多没被地毯覆盖的区域，所以这个总面积**肯定大于**地毯的真实面积。
3.  **不断换更小的瓷砖**：你觉得第一次算得太不准了，浪费太多。于是你换了一批更小尺寸的瓷砖。同样是从外面覆盖，但因为瓷砖变小了，你可以更“贴身”地覆盖地毯的边缘，浪费的面积就变少了。
4.  **追求极限**：你不断地把瓷砖换得越来越小，每一次的覆盖都更精确，浪费的面积也越来越少。你记录下每一次覆盖所用的瓷砖总面积。
5.  **真正的面积**：当你的瓷砖小到无限小（或者说，你想象这个过程的极限），那个总面积的极限值，就是这块地毯的“外测度”。这个值可以被认为是地毯的**真实面积**。

---

### 举个更具体的例子：测量一个圆形的面积

假设我们不知道圆的面积公式，想测量一个半径为1的圆的面积。

1.  **第一次测量**：我们用边长为0.5的小正方形去覆盖这个圆。我们可能需要用20个小正方形才能勉强从外面把这个圆包住。这20个正方形的总面积是 20 * (0.5 * 0.5) = 5。这个值（5）比圆的真实面积（约3.14）大很多。
2.  **第二次测量**：我们用边长为0.1的更小的正方形去覆盖。这次我们需要更多的小正方形（比如350个），但覆盖得更精细了。总面积是 350 * (0.1 * 0.1) = 3.5。这个值（3.5）已经接近真实面积（3.14）了。
3.  **不断逼近**：我们继续用边长为0.01，0.001……的正方形去覆盖。每次得到的总面积都会越来越接近3.1415926... 这个极限值就是圆的面积，也就是这个圆的“外测度”。

---

### 为什么需要“外测度”？

在数学上（尤其是测度论），我们想给各种奇形怪状的集合（不光是规则的圆形、方形）定义一个“大小”（长度、面积、体积等）。

*   **规则图形**（如区间、矩形）：我们有现成的公式，它们的测度很好定义。
*   **不规则图形**（如康托尔集、 Vitali 集）：用传统公式无法计算。这时候，“外测度”就提供了一个统一的、通用的方法来定义它们的大小：**不管什么图形，我都从外面用最规则的小图形（如区间、矩形）去覆盖它，然后取这些覆盖方式的总面积的“最大下界”（infimum），这个值就是它的外测度。**

### 总结一下关键点：

*   **“外”**：强调是从集合的**外部**进行覆盖和测量。
*   **“测度”**：就是“大小”的数学说法（长度、面积、体积的统称）。
*   **核心操作**：用一堆简单的、我们知道如何测量的小东西（如区间、方块）去覆盖一个复杂的、我们不知道如何测量的大东西。
*   **追求极限**：通过使用无限小的覆盖物，来无限逼近最精确的测量值。

所以，简单说，**外测度就是一种“从外部覆盖并取极限”来定义任意集合大小的方法。** 它是现代数学中定义积分、概率等概念的基础。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：勒贝格测度概述(次可加性)★★★★★

下一篇：外侧度的性质

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)