最后更新: 2025-01-21 09:02 ● 参与者查看: 22 次纠错分享参与项目词条搜索

外侧度的性质

定理 2.1 外测度有以下性质：
（i）（非负性）对任意 $E \subset R ^n, 0 \leqslant m^* E \leqslant \infty$ ，即外测度为非负广义实值函数；
（ii）（单调性）若 $E_1 \subset E_2$ ，则 $m^* E_1 \leqslant m^* E_2$ ；
（iii）（次可加性）$m^*\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\right) \leqslant \sum_{k=1}^{\infty} m^* E_k$ ．
证明 性质（i）是明显的．
（ii）由于 $E_1 \subset \stackrel{\theta}{E}_2$ 时，凡是 $E_2$ 的 $L$ 覆盖都是 $E_1$ 的 $L$ 覆盖，根据下确界的性质易见，有

$$
m^* E_1 \leqslant m^* E_2
$$

（iii）不妨设不等式右端 $\sum_{k=1}^{\infty} m^* E_k<\infty$ ，这时对任意 $\varepsilon>0$ 及正整数 $k$ ，存在 $E_k$ 的 $L$ 覆盖 $\left\{I_i^{(k)} \mid i \in N _{+}\right\}$，使得

$$
\sum_{i=1}^{\infty}\left|I_i^{(k)}\right|<m^* E_k+2^{-k} \varepsilon, \quad(k=1,2, \cdots)
$$

很容易看出，$\left\{I_i^{(k)} \mid i, k=1,2, \cdots\right\}$ 是 $\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k$ 的 $L$ 覆盖．故由上式及外测度定义，

$$
0 \leqslant m^*\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\right) \leqslant \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{\infty}\left|I_i^{(k)}\right|<\sum_{k=1}^{\infty}\left(m^* E_k+2^{-k} \varepsilon\right)<\sum_{k=1}^{\infty} m^* E_k+\varepsilon
$$

在上式中令 $\varepsilon \rightarrow 0$ ，即得所需不等式．$\square$
次可加性是外测度的重要性质，它完全是由于用外包可数多面体定义外测度带来的结果．由前面对有理数集 $Q _0^2$ 的 Jordan 外测度的分析可以看出，Jordan外测度对可数无限个点集没有次可加性。

由外测度的单调性与次可加性立即可知，零测集的子集及其可数并集仍是零测集．

例 3 任意（开，闭或半开半闭的）矩体的外测度等于它的体积．
证明 设 $I$ 为开矩体，例 2 已证 $m^* I=|I|$ 。
再求 $I$ 的闭包 $\bar{I}$ 的测度．由于 $\lambda>1$ 时，$I \subset \bar{I} \subset I_\lambda$ ，根据外测度的单调性，

$$
|I|=m^* I \leqslant m^* \bar{I} \leqslant m^* I_\lambda=\left|I_\lambda\right|=\lambda^n|I| .
$$

令 $\lambda \rightarrow 1+0$ 得 $m^* \bar{I}=|\bar{I}|=|I|$ ．
至于半开矩体的情形，仍由外测度的单调性，它的外测度应在有相同边界的开矩体和闭矩体的外测度之间，而后二者的外测度相等，因此半开矩体的外测度

也等于该矩体的体积．
例 3 表明，对于矩体来说，外测度就是体积，因此外测度是体积的一种延拓，然而它究竟能否成为我们所希望的 Jordan 测度的推广，关键之处还在于，要看外测度是不是具有可数可加性（参看本章开始时的分析）。实际上，外测度并不具有这种性质 ${ }^{(1)}$ ，所以它不是我们所希望的 Jordan 测度的推广．

例 4 Cantor 集 $C$ 为零测集。
证明 设 $F_k$ 是 Cantor 集的构造过程中第 $k$ 步所留下的 $2^k$ 个闭区间（它们每个长为 $3^{-k}$ ）的并集，故由外测度的次可加性，$m^* F_k$ 不超过这些区间的外测度 （即其长度）之和．因此，

$$
0 \leqslant m^* C=m^*\left(\bigcap_{k=1}^{\infty} F_k\right) \leqslant m^* F_N=2^N 3^{-N}
$$

其中 $N$ 为任意正整数．令 $N \rightarrow \infty$ 就得到 $m^* C=0$ ，即 $C$ 为零测集．
这个例题说明，存在不可数的零测集．另外，由外测度的次可加性和例 1 容易看出，区间 $[0,1]$ 中的无理点集的外测度为 1 ，而我们知道，这个点集与 Cantor集都有连续统的基数，可是它们的外测度却相差如此之大．由此可见，外测度与基数是从不同角度刻画点集＂大小＂的概念，实际上反映了点集两种完全不同的特性：前者是对点集占据空间大小的度量；后者则是对集合中元素多少的度量，而与其点在空间中的分布情况无关．

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