最后更新: 2025-11-21 20:13 查看: 220 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

外侧度的性质

## 外侧度的性质
外测度有以下性质：
（i）（非负性）对任意 $E \subset R ^n, 0 \leqslant m^* E \leqslant \infty$ ，即外测度为非负广义实值函数；
（ii）（单调性）若 $E_1 \subset E_2$ ，则 $m^* E_1 \leqslant m^* E_2$ ；
（iii）（次可加性）$m^*\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\right) \leqslant \sum_{k=1}^{\infty} m^* E_k$ ．
证明 性质（i）是明显的．
（ii）由于 $E_1 \subset \stackrel{\theta}{E}_2$ 时，凡是 $E_2$ 的 $L$ 覆盖都是 $E_1$ 的 $L$ 覆盖，根据下确界的性质易见，有

$$
m^* E_1 \leqslant m^* E_2
$$

（iii）不妨设不等式右端 $\sum_{k=1}^{\infty} m^* E_k<\infty$ ，这时对任意 $\varepsilon>0$ 及正整数 $k$ ，存在 $E_k$ 的 $L$ 覆盖 $\left\{I_i^{(k)} \mid i \in N _{+}\right\}$，使得

$$
\sum_{i=1}^{\infty}\left|I_i^{(k)}\right|<m^* E_k+2^{-k} \varepsilon, \quad(k=1,2, \cdots)
$$

很容易看出，$\left\{I_i^{(k)} \mid i, k=1,2, \cdots\right\}$ 是 $\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k$ 的 $L$ 覆盖．故由上式及外测度定义，

$$
0 \leqslant m^*\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\right) \leqslant \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{\infty}\left|I_i^{(k)}\right|<\sum_{k=1}^{\infty}\left(m^* E_k+2^{-k} \varepsilon\right)<\sum_{k=1}^{\infty} m^* E_k+\varepsilon
$$

在上式中令 $\varepsilon \rightarrow 0$ ，即得所需不等式．$\square$

> 次可加性是外测度的重要性质，它完全是由于用外包可数多面体定义外测度带来的结果．由前面对有理数集 $Q _0^2$ 的 Jordan 外测度的分析可以看出，Jordan外测度对可数无限个点集没有次可加性。

由外测度的单调性与次可加性立即可知，零测集的子集及其可数并集仍是零测集．

`例` 任意（开，闭或半开半闭的）矩体的外测度等于它的体积．
证明 设 $I$ 为开矩体，由上一节李3知道 已证 $m^* I=|I|$ 。
再求 $I$ 的闭包 $\bar{I}$ 的测度．由于 $\lambda>1$ 时，$I \subset \bar{I} \subset I_\lambda$ ，根据外测度的单调性，

$$
|I|=m^* I \leqslant m^* \bar{I} \leqslant m^* I_\lambda=\left|I_\lambda\right|=\lambda^n|I| .
$$

令 $\lambda \rightarrow 1+0$ 得 $m^* \bar{I}=|\bar{I}|=|I|$ ．
至于半开矩体的情形，仍由外测度的单调性，它的外测度应在有相同边界的开矩体和闭矩体的外测度之间，而后二者的外测度相等，因此半开矩体的外测度也等于该矩体的体积．

**例1表明，对于矩体来说，外测度就是体积，因此外测度是体积的一种延拓，然而它究竟能否成为我们所希望的 Jordan 测度的推广，关键之处还在于，要看外测度是不是具有可数可加性（参看本章开始时的分析）。实际上，外测度并不具有这种性质 ，所以它不是我们所希望的 Jordan 测度的推广（见下面的次可加性）**．

**推论** 2.2 若 $E \subset \mathbf{R}^n$ 为可数点集，则 $m^*(E)=0$ ．

由此可知有理点集的外测度 $m^*\left(\mathbf{Q}^n\right)=0

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