最后更新: 2025-11-21 20:13 查看: 280 次纠错评论(0) 课件开VIP

外侧度的性质

## 外侧度的性质
外测度有以下性质：
（i）（非负性）对任意 $E \subset R ^n, 0 \leqslant m^* E \leqslant \infty$ ，即外测度为非负广义实值函数；
（ii）（单调性）若 $E_1 \subset E_2$ ，则 $m^* E_1 \leqslant m^* E_2$ ；
（iii）（次可加性）$m^*\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\right) \leqslant \sum_{k=1}^{\infty} m^* E_k$ ．
证明 性质（i）是明显的．
（ii）由于 $E_1 \subset \stackrel{\theta}{E}_2$ 时，凡是 $E_2$ 的 $L$ 覆盖都是 $E_1$ 的 $L$ 覆盖，根据下确界的性质易见，有

$$
m^* E_1 \leqslant m^* E_2
$$

（iii）不妨设不等式右端 $\sum_{k=1}^{\infty} m^* E_k<\infty$ ，这时对任意 $\varepsilon>0$ 及正整数 $k$ ，存在 $E_k$ 的 $L$ 覆盖 $\left\{I_i^{(k)} \mid i \in N _{+}\right\}$，使得

$$
\sum_{i=1}^{\infty}\left|I_i^{(k)}\right|<m^* E_k+2^{-k} \varepsilon, \quad(k=1,2, \cdots)
$$

很容易看出，$\left\{I_i^{(k)} \mid i, k=1,2, \cdots\right\}$ 是 $\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k$ 的 $L$ 覆盖．故由上式及外测度定义，

$$
0 \leqslant m^*\left(\bigcup_{k=1}^{\infty} E_k\right) \leqslant \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{i=1}^{\infty}\left|I_i^{(k)}\right|<\sum_{k=1}^{\infty}\left(m^* E_k+2^{-k} \varepsilon\right)<\sum_{k=1}^{\infty} m^* E_k+\varepsilon
$$

在上式中令 $\varepsilon \rightarrow 0$ ，即得所需不等式．$\square$

> 次可加性是外测度的重要性质，它完全是由于用外包可数多面体定义外测度带来的结果．由前面对有理数集 $Q _0^2$ 的 Jordan 外测度的分析可以看出，Jordan外测度对可数无限个点集没有次可加性。

由外测度的单调性与次可加性立即可知，零测集的子集及其可数并集仍是零测集．

`例` 任意（开，闭或半开半闭的）矩体的外测度等于它的体积．
证明 设 $I$ 为开矩体，由上一节李3知道 已证 $m^* I=|I|$ 。
再求 $I$ 的闭包 $\bar{I}$ 的测度．由于 $\lambda>1$ 时，$I \subset \bar{I} \subset I_\lambda$ ，根据外测度的单调性，

$$
|I|=m^* I \leqslant m^* \bar{I} \leqslant m^* I_\lambda=\left|I_\lambda\right|=\lambda^n|I| .
$$

令 $\lambda \rightarrow 1+0$ 得 $m^* \bar{I}=|\bar{I}|=|I|$ ．
至于半开矩体的情形，仍由外测度的单调性，它的外测度应在有相同边界的开矩体和闭矩体的外测度之间，而后二者的外测度相等，因此半开矩体的外测度也等于该矩体的体积．

**例1表明，对于矩体来说，外测度就是体积，因此外测度是体积的一种延拓，然而它究竟能否成为我们所希望的 Jordan 测度的推广，关键之处还在于，要看外测度是不是具有可数可加性（参看本章开始时的分析）。实际上，外测度并不具有这种性质 ，所以它不是我们所希望的 Jordan 测度的推广（见下面的次可加性）**．

**推论** 2.2 若 $E \subset \mathbf{R}^n$ 为可数点集，则 $m^*(E)=0$ ．

由此可知有理点集的外测度 $m^*\left(\mathbf{Q}^n\right)=0$ 。这里我们看到了一个虽然处处稠密但外测度为零的可列点集．但下述例 3 说明外测度为零的点集不一定是可列集．

`例` Cantor 集 $C$ 为零测集。
证明 设 $F_k$ 是 Cantor 集的构造过程中第 $k$ 步所留下的 $2^k$ 个闭区间（它们每个长为 $3^{-k}$ ）的并集，故由外测度的次可加性，$m^* F_k$ 不超过这些区间的外测度 （即其长度）之和．因此，

$$
0 \leqslant m^* C=m^*\left(\bigcap_{k=1}^{\infty} F_k\right) \leqslant m^* F_N=2^N 3^{-N}
$$

其中 $N$ 为任意正整数．令 $N \rightarrow \infty$ 就得到 $m^* C=0$ ，即 $C$ 为零测集．
这个例题说明，存在不可数的零测集．另外，由外测度的次可加性和例 1 容易看出，区间 $[0,1]$ 中的无理点集的外测度为 1 ，而我们知道，这个点集与 Cantor集都有连续统的基数，可是它们的外测度却相差如此之大．由此可见，**外测度与基数是从不同角度刻画点集＂大小＂的概念，实际上反映了点集两种完全不同的特性：前者是对点集占据空间大小的度量；后者则是对集合中元素多少的度量，而与其点在空间中的分布情况无关**．

## 理解：次可加性

我们用一个非常生活化的比喻来解释“外测度的次可加性”。

### 核心思想：宁可多算，绝不少算

想象一下，你是一个特别谨慎的仓库管理员，你的任务是**估算**几个随意堆放在地上的**大堆货物**所占的总面积。

*   **“外测度”** 就是你这种“估算”的方法。
*   **“次可加性”** 描述的就是你估算多个货堆总面积时，会遵循的一个很自然的“保守”原则。

---

### 情景比喻

现在地上随意扔着三个货堆：A堆（箱子）、B堆（轮胎）、C堆（木料）。它们可能分得很开，也可能有部分重叠，乱七八糟。

**你的估算方法（外测度）是：**
用尽可能大的、规整的“塑料布”去覆盖一个货堆。这块塑料布的面积，就是你对这个货堆的“外测度”估算值。你的原则是：**塑料布宁可大，不能小，一定要把货堆完全盖住。**

1.  **单独估算**：你分别用三块大塑料布去盖住A、B、C三个货堆。你得到的面积是：
    *   盖住A堆的布面积 = 5平米
    *   盖住B堆的布面积 = 3平米
    *   盖住C堆的布面积 = 4平米
    所以，单独估算的面积总和是：5 + 3 + 4 = **12平米**。

2.  **估算总面积**：现在你想知道这三个货堆总共占了多大地方。最省事的办法是找一块**巨大的塑料布**，一次性把A、B、C三个货堆**全部盖住**。
    *   因为你是一次性覆盖，塑料布会覆盖所有的货物，**同时也会覆盖掉货堆之间的空隙**，甚至可能因为货堆形状不规则，这块大布会产生很多额外的浪费面积。
    *   你量了一下，这块一次性覆盖的大塑料布面积是 **10平米**。

### 关键问题来了：哪个总面积更大？

*   **一次性覆盖的估算（大布）**：10平米
*   **分别覆盖再相加的估算（三块小布之和）**：12平米

**10平米 小于 12平米**

这个结果符合你的直觉吗？你会发现，**一次性覆盖（外测度的总和）可能比分开覆盖再相加要小**。

**这就是“次可加性”的精髓！**

---

### 用数学语言总结

对于一个外测度 $ m^* $和一堆集合 $ A_1, A_2, A_3, ... $（我们的货堆），次可加性说的是：

$$
m^*\left( \bigcup_{k=1}^{\infty} A_k \right) \leq \sum_{k=1}^{\infty} m^*(A_k)
$$

**翻译成大白话就是：**

**“一次性测量一堆东西的总尺寸，总会小于或等于分别测量每个东西的尺寸然后加起来。”**

### 为什么是“次”可加（≤）而不是“等”于（=）？

*   **如果货堆分得很开**：你一次性覆盖的大塑料布会浪费很多面积在空隙上，这时“一次性覆盖”的面积可能会**大于**分开覆盖的面积之和。但根据你的“保守原则”（宁可大不能小），你最终记录的是那个更小的、但依然能完全覆盖的值？不，这里有个关键点：外测度取的是所有可能覆盖方式中**面积的下确界**（最小的那个上限）。所以，当存在重叠或紧凑摆放时，一次性覆盖的效率更高，总外测度会**小于或等于**分开的外测度之和。等号（=）通常只在集合彼此分离得很好（即可测）时才成立。
*   **如果货堆有重叠或可以紧凑摆放**：就像上面的例子，一次性用一块大布覆盖三个有重叠的货堆，会比用三块布分别覆盖（重叠部分被重复计算了）要更“节约”布料。所以总外测度会**小于**各个外测度之和。

### 最重要的启示

**次可加性（≤） 是外测度的一个基本性质，它允许“重复计算”和“重叠浪费”的存在。** 而我们真正追求的“可加性”（=），是更严格的性质，只有当这些集合是“可测的”（比如像规则方块一样，边界清晰，没有奇怪的碎片）时才会成立。

**简单说，次可加性是外测度这个“粗糙估算工具”自带的“保守”特性，它保证了估算的总量不会超过分量的和，但允许因为合并处理而更节约。**

## 次可加性和可数可加性的区别

次可加性和可数可加性到底有什么区别？这直接触及了外测度和勒贝格测度最核心的区别。我们来用一个对比解释为什么外测度只有“次可加性”而没有更强的“可数可加性”。

### 核心区别：一个关于“重叠”与“裂缝”的致命问题

我们还是用仓库和塑料布的比喻，但现在要更精确一点。

*   **可数可加性（我们想要的完美性质）**：如果有一堆**彼此完全分离、互不重叠**的“规则货堆”（可测集），那么把它们的总面积加起来，应该**精确等于**它们整体所占的面积。也就是：`整体面积 = 所有部分面积之和`。这是测量理论最理想的“完美尺子”该有的性质。

*   **外测度的次可加性（现实的粗糙性质）**：外测度这把“尺子”太粗糙了，它**无法完美处理“无限细分”的、极其破碎的集合**。当你试图测量一些用外测度无法精确定义的“怪物集合”（不可测集）时，就会出现问题。

---

### 关键比喻：测量一堆沙子 vs. 测量一团雾气

**1. 可数可加性的情景（测量一堆沙子）**

想象你有无数堆**规则的小沙堆**，每个沙堆都规规矩矩，彼此之间留有明显的空隙。
*   你用“完美尺子”（勒贝格测度）去量每个小沙堆的体积，比如分别是 V1, V2, V3...
*   然后你把所有沙堆扫到一起，堆成一个大沙堆，再去量它的总体积 V总。
*   你会发现，**V总 = V1 + V2 + V3 + ...**
*   这就是**可数可加性**。因为沙堆是“好”的集合（可测集），并且过程是合理的。

**2. 外测度失效的情景（测量一团雾气）**

现在，地上有一滩不规则的水渍（一个不可测集）。你的任务还是估算它的面积。
你的方法（外测度）依然是：用塑料布覆盖。

*   **第一步：你尝试无限细分**。为了更精确，你决定把这滩水渍想象成由无数个极其微小的水珠（点）组成的。你把每个水珠都单独看作一个“小集合”。
    *   一个点的外测度是多少？是0。因为你可以用一块任意小的塑料布完美地盖住一个点，没有浪费。
*   **第二步：按照可数可加性逻辑计算**。如果外测度满足可数可加性，那么这滩水渍的总外测度应该是：`所有点外测度之和 = 0 + 0 + 0 + ... = 0`。
*   **第三步：与现实矛盾**。但这滩水渍明明有面积啊！比如是5平米。你再用一块大塑料布去覆盖它，怎么也得需要至少5平米的布。

**这就产生了矛盾：**
*   如果外测度满足可数可加性，那么这滩水渍的面积应该是0。
*   但实际上，它的面积是5。

**这个矛盾说明，外测度这把“尺子”不能用于这种“无限细分”的加法。** 当你把集合拆分成不可数多个点（点是可数加法的特殊情况）时，外测度会给出荒谬的结果。

### 为什么外测度会失败？—— “裂缝”与“浪费”

外测度的定义是“用一列开矩形去覆盖集合，然后取这些覆盖体积和的下确界”。它总是允许覆盖物之间有空隙、有重叠。

当你处理一个“规则”集合（如一个实心方块）时，你可以找到一系列覆盖，使得覆盖的体积和无限接近方块的真实体积。这时，次可加性就“升级”成了可加性。

但当你处理一个“不规则”的集合（如维塔利集中不可测集的例子）时，由于它被构造得极其破碎和怪异，**任何覆盖都必然包含大量的、无法消除的“额外浪费面积”**。你永远找不到一个覆盖能精确地、没有浪费地包住它。这个“浪费”的下确界（即外测度）会大于零。

然而，当你把它拆成点（每个点体积为0）时，点的可数加和却是0。这就导致了 `整体 > 部分之和` 的荒谬情况，违背了可加性。

### 总结对比

| 特性 | 外测度 | 勒贝格测度 |
| :--- | :--- | :--- |
| **定义域** | 所有子集（权力很大） | 只针对“行为良好”的子集（可测集，权力小） |
| **可加性** | **次可加性**：整体 ≤ 部分之和。允许“浪费”，但不能“创造”。 | **可数可加性**：对于互不相交的可测集，整体 = 部分之和。非常精确。 |
| **通俗理解** | 一把**粗糙的估算尺**。为了保证对所有东西都能估个值，它牺牲了精度。它宁可算多，不能算少。 | 一把**精密的尺子**。它只测量“规则”的物体，但保证测量结果绝对精确，没有误差。 |

**结论就是：**

外测度为了能够测量**所有**集合（包括那些奇形怪状的“怪物”），它不得不放宽要求，只满足较弱的次可加性。如果我们强行要求它满足完美的可数可加性，那么我们就必须**放弃测量某些特别奇怪的集合**（不可测集）。勒贝格测度正是这样做的：它缩小了定义域，只对“可测集”进行测量，从而在可测集上获得了完美的可数可加性。

所以，**不是“可数可加性”变成了“次可加性”，而是我们为了能测量更多东西，主动用“次可加性”这个更弱、更宽容的性质，替换掉了“可数可加性”这个更强、更苛刻的性质。**

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