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可测集★★★★★

## 可测集与测度理论证明
外测度虽然对所有点集都有意义，但是它不具有可加性，不能把它当成体积的推广．因此我们放弃要所有点集有测度的想法，改为寻求一个范围很广的集合类，使得外测度在其中具有可加性（即其中不相交的集合的并集的外测度，等于各自的外测度之和）．这类集合我们称为可测集．可测集有什么特点，如何用外测度来描述它们呢？为了简单起见，下面先分析一下 $R ^2$ 的情形，即分析平面点集．

外测度为什么没有可加性而只有次可加性？粗略地看是因为，它是对点集从外部用可数多边的＂多边形＂包围或覆盖的方法测量得到的＂体积＂，而点集情况复杂，这种测量难免不够准确．为了得到准确的结果，求 Jordan 测度的方法启发我们，可以再用从内部向外扩张的方法进行测量（其结果称为内测度，即内含可数边形面积的上确界，点集的 $E$ 的内测度记为 $m_* E$ ），看两种方法的结果是否一致．如果一致（即 $m^* E=m_*E$ ），就可以考虑把这种点集定义为可测集，而可测集外测度应该是可加的．Lebesgue 当年正是按照这个思路定义可测集，并建立了具有可数可加性的测度理论的．

然而，内与外本来是相对的．事实上，若 $E$ 是有界集，取开矩体 $I \supset E$ ，则从图 2.1 可以看出，如果 $\left\{I_k\right\}$ 是 $I \backslash E$ 的 $L$ 覆盖，那么 $I \backslash \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k$ 就可以看作内含于 $E$ 的可数多边形，因而其＂体积＂的上确界

![图片](/uploads/2025-11/b1e252.jpg){width=450px}
 
 
 $$
\sup \left\{|I|-\sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right| \mid\left\{I_k\right\} \text { 是 } I \backslash E \text { 的 } L \text { 覆盖 }\right\}
$$

便应该是 $E$ 的内测度 $m_* E$ ．但是因为

$$
\sup \left\{|I|-\sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right|\right\}=|I|-\inf \left\{\sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right| \mid\left\{I_k\right\} \text { 是 } I \backslash E \text { 的 } L \text { 覆盖 }\right\},
$$

所以

$$
m_* E=|I|-m^*(I \backslash E) .
$$

这说明，内测度可以通过外测度来定义．因而 $E$ 可测的条件 $m, E=m^* E$ 也就成了

$$
m^* E=|I|-m^*(I \backslash E),
$$

或者把这个式子再改写一下就得到：$E$ 应使得任意包含 $E$ 的矩体 $I$ 满足

$$
m^* I=m^* E+m^*(I \backslash E), ...(2)
$$

此式的特点是不出现内测度．后来，希腊数学家卡拉泰奥多里（Carathéodory）发现一个与（2）式等价且形式上很相似的条件，如果用它作为可测集的定义，在建立测度理论时，一些证明可以简化，显得十分便捷．其思想就是，在上述等式中用一般的点集 $T$ 代替矩体 $I$ ，而且 $E$ 不需有界的限制。注意，在（2）中我们假设了 $E$ $\subset I$ ，因此（2）完全等价于

$$
m^* T=m^*(T \cap E)+m^*\left\{T \cap E^c\right\}
$$

用任意集合 $T$ 代替 $I$ ，便是下面的定义．

## 可测集定义

**定义2.2** 设 $E \subset R ^n$ ，若对于任意的 $T \subset R ^n$ 有

$$
\boxed{
m^* T=m^*(T \cap E)+m^*\left(T \cap E^c\right) ...(3)
}
$$

则称 $E$ 为 Lebesgue **可测集**，简称 $E$ 可测或 $E$ 为可测集．

可测集的外测度称为 $E$的 **Lebesgue 测度**，记为 $m E$ ，简称为 $E$ 的测度．全体可测集组成的集合称为**可测集类**，记为 $A$ 。

此定义中的等式（3）称为 Carathéodory 条件，其中的 $T$ 称为**试验集**．注意，这里的 $T$ 是任意的集合，并不要求 $T \supset E$ 。

定义 2.2 在几何上表示（见图2．2）：若任意点集 $T$ 被 $E$ 分割成的在 $E$ 内的$T \cap E$ 和在 $E$ 外的 $T \cap E^c$ ，这两部分（子集）的外测度是可加的，就说 $E$ 可测．若把两个点集 $A$ 和 $B$ ，在满足 $A \subset E$ 和 $B \subset E^c$（即 $B \cap E=\varnothing$ ）时，称为被 $E$ 隔离，那么也可以说，可测集是这样的点集：任意两个被它隔离的点集，其外测度都可加．记住这个几何意义对理解可测集的定义很有好处，我们把它写成一个命题。
 
 
  ![图片](/uploads/2025-11/f21b3b.jpg){width=400px}
  
 > 上图通俗解释，给你一个集合$T$，我用$E$去切割他，得到两块$A$与$B$,如果$T$是可测的，那么$T=A+B$， 详见本文最开始的解读。
 
 
### 可测的充分必要条件
**命题2.1** $R ^n$ 中的集合 $E$ 可测的充分必要条件是对任意的 $A \subset E, B \subset$ $E^c$ ，有

$$
\boxed{
m^*(A \cup B)=m^*(A)+m^*(B)  ...(4)
}
$$

证明 必要性．设 $E$ 可测，则在（3）中取 $T=A \cup B$ ，得

$$
\begin{aligned}
m^*(T) & =m^*(A \cup B)=m^*((A \cup B) \cap E)+m^*\left((A \cup B) \cap E^c\right) \\
& =m^*(A)+m^*(B)
\end{aligned}
$$

便得（4）。
充分性．已知（4）式成立，则对任意 $T$ ，取 $A=T \cap E, B=T \cap E^c$ ，这时 $A \subset E, B$ $\subset E^c$ ，从而

$$
\begin{aligned}
m^*(T) & =m^*(A \cup B)=m^*(A)+m^*(B) \\
& =m^*(T \cap E)+m^*\left(T \cap E^c\right)
\end{aligned}
$$

因此 $E$ 可测．

读者可能会问，Carathéodory 条件（3）中的试验集 $T$ 可以取为 $R ^n$ 内的任意集，而上面由 $E$ 的内，外测度相等得到的等式（2）中，$I$ 只是包含 $E$ 的矩体，因此似乎点集 $E$ 满足 Carathéodory （卡拉西奥多里，德国数学家） 条件，要比其内，外测度相等要求高得多．但事实上，到后面，读者会知道，它们其实是等价的．并且，正因为 Carathéodory 条件中的试验集 $T$ 可取为 $R ^n$ 中的任意集，才使得一些证明变得简单，可见 Carathéodory 对 Lebesgue 当初的测度理论洞察之深。此外，还值得指出的是，借助 Carathéodory 条件，从任何一种外测度出发，都可以定义一种测度，而不需知道这种外测度是怎样得来的。因此，Carathéodory 条件除去为建立Lebesgue测度提供了一条便捷途径之外，对于在 $R ^n$ 或其他空间上建立一般测度的理论更有重要意义。

**由可测集的定义易见，空集 $\varnothing$ 及 $R ^n$ 可测，并且 $m(\varnothing)=0, m\left( R ^n\right)=\infty$**

`例`零测集是可测集，其测度为 0 。
证明 若 $E$ 是零测集，即 $m^* E=0$ ，则对于任意 $T \subset R ^n$ 有，$m^*(T \cap E)=$ $m^* E=0$ ，因此

$$
m^*(T \cap E)+m^*\left(T \cap E^c\right) \leqslant m^* E+m^* T=m^* T
$$

而由外测度的次可加性，反方向的不等式

$$
m^* T \leqslant m^*(T \cap E)+m^*\left(T \cap E^c\right)
$$

成立，从而

$$
m^* T=m^*(T \cap E)+m^*\left(T \cap E^c\right)
$$

即 $E$ 可测且 $m E=m^* E=0$ ．$\square$
由此可知 $R ^n$ 中的有理点集 $Q$（可数）和 Cantor 集 $C$（不可数）都是测度为 0的可测集。

由可测集的定义还可得到如下的简单推论：

### 推论
（i）$E$ 可测当且仅当 $E^c$ 可测，即任意点集与其余集可测性相同（因为 $E$ 与 $E^c$ 可测的 Carathéodory 条件是一样的）；
（ii）$E$ 可测的充分必要条件是，对任意点集 $T$ 有

$$
m^* T \geqslant m^*(T \cap E)+m^*\left\{T \cap E^c\right\},
$$

这是因为由外测度的次可加性，与此相反的不等式 $m^* T \leqslant m^*(T \cap E)+m^*(T$ $\cap E^c$ ）总成立；
（iii）$E$ 可测的充分必要条件是，对于任意开矩体 $I$ ，

$$
|I| \geqslant m^*(I \cap E)+m^*\left\{I \cap E^c\right\}
$$

证明 设试验集 $T$ 有 $m^* T<\infty$ ，则对于任意正数 $\varepsilon>0$ ，有 $E$ 的 $L$ 覆盖 $\left\{I_k\right\}$使得 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right|<m^* T+\varepsilon$ ，因此

$$
\begin{aligned}
& m^*(T \cap E)+m^*\left(T \cap E^c\right) \leqslant \sum_{k=1}^{\infty} m^*\left(I_k \cap E\right)+\sum_{k=1}^{\infty} m^*\left(I_k \cap E^c\right) \\
= & \sum_{k=1}^{\infty}\left(m^*\left(I_k \cap E\right)+m^*\left(I_k \cap E^c\right)\right) \leqslant \sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right|<m^* E+\varepsilon
\end{aligned}
$$

令 $\varepsilon \rightarrow 0$ 即知，$E$ 满足 Carathéodory 条件；当 $m^* T=\infty$ 时，Carathéodory 条件显然成立．故 $E$ 可测．

> 简单推论（iii）告诉我们，为了检验点集的可测性，可只验证当试验集为矩体时，Carathéodory 条件是否成立．有时这使问题简单多了

## 可测集的通俗理解
实变函数中的**可测集**是 Lebesgue 测度理论的基础概念，理解它对于掌握 Lebesgue 积分至关重要。下面我尝试用直观且逐步深入的方式解释它，然后再引入教程里抽象的逻辑定义。

### 1. 直观理解：我们想衡量什么？

想象一下，我们有一把“尺子”，想去测量一些不规则图形的“长度”（或高维下的“体积”、“面积”）。对于简单的区间，比如 `[a, b]`，它的长度显然是 `b - a`。

但如果我们面对一个非常复杂、充满“孔洞”或不规则的集合（比如一个分形集合的某一部分，或者有理数集），我们还能定义它的长度吗？**可测集**就是那些我们可以用 Lebesgue 测度这把“尺子”来明确、无矛盾地测量其“大小”的集合。

**核心思想**：用一系列我们已知其大小的简单图形（如开区间）从“外部”和“内部”去逼近一个复杂集合。如果外部的近似和内部的近似可以无限接近，那么这个集合就是可测的。

---

### 2. 正式定义的关键步骤（以 Lebesgue 外测度为例）

#### 步骤一：定义外测度 $ m^*(E) $（从外部测量）

对于实数轴 $ \mathbb{R} $ 上的**任意**子集 $ E $，我们都可以定义它的**Lebesgue 外测度**。

*   **方法**：用一列开区间 $ I_k $ 把集合 $ E $ 覆盖起来（即 $ E \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k $）。
*   **计算**：这些开区间本身有长度 $ l(I_k) $，我们取所有可能覆盖方式的“覆盖长度”之和 $ \sum_{k=1}^{\infty} l(I_k) $ 的**下确界**（即最大的下界，可以理解为最经济、最紧凑的覆盖方式下的总长度）。
*   **公式**：
    $$
    m^*(E) = \inf \left\{ \sum_{k=1}^{\infty} l(I_k) : E \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k \right\}
    $$
*   **理解**：外测度是测量集合 $ E $ 的“体积”的一个**上限**。它总是存在的，但对于一些“病态”集合，用它来测量会有问题。

#### 步骤二：可测集的定义（Carathéodory 条件）

一个集合 $ E $ 被称为 **Lebesgue 可测的**，如果对于实数轴上的**任意**一个测试集 $ A $（注意，是任意的！），都满足以下“分割可加性”条件：

$$
m^*(A) = m^*(A \cap E) + m^*(A \cap E^c)
$$

其中 $ E^c $ 是 $ E $ 的补集。

**这个条件如何理解？**

这其实是整个概念的精华。

1.  **把测试集 $ A $ 想象成一把“尺子”或一个“容器”**。
2.  我们用集合 $ E $ 把这把尺子 $ A $ 切成了两部分：
    *   $ A \cap E $（在 $ E $ 内的部分）
    *   $ A \cap E^c $（不在 $ E $ 内的部分）
3.  这个条件要求，**无论我用哪把“尺子” $ A $ 去检验，尺子被 $ E $ 切开后的两部分的“外测度”之和，必须等于整把尺子的“外测度”**。
4.  **这意味着什么？** 这意味着集合 $ E $ 的边界是“良好”的。它不会像一把钝刀，在切割某些特殊的测试集 $ A $ 时，因为边界过于复杂而产生“磨损”或“额外损耗”，导致切下来的两块加起来比原来的还大（这在测度论中由于不可加性是有可能发生的！）。

**简单比喻**：
*   **可测集 $ E $** 就像一把**锋利的刀**，切任何东西 $ A $，切掉部分（$ A \cap E $）和剩下部分（$ A \cap E^c $）的重量之和永远等于东西原来的总重量。
*   **不可测集** 就像一把**有粘性的钝刀**，切某些特殊的东西时，会粘走或者残留一些碎屑，导致两部分的重量之和不等于原来的重量。

---

### 3. 哪些集合是可测的？可测集的性质

幸运的是，我们平时遇到的大部分集合都是可测的，你不需要对每个集合都用上面的条件去验证。

*   **所有开集、闭集是可测的。**
*   **可测集经过可数次的交、并、差运算后仍然是可测的**。这构成了一个 **σ-代数**。
*   **所有零测集（外测度为0的集合）都是可测的**。例如，单点集、有理数集 $ \mathbb{Q} $ 都是零测集，因此也是可测集。
*   **Borel 集是可测的**。Borel 集是由所有开集通过可数次交、并、差操作生成的那些集合。可以说，你能用“正常”方法构造出来的集合基本都是可测的。

**不可测集的构造**非常困难，必须依赖**选择公理**才能构造出来（如著名的 Vitali 集）。在大多数实际应用和问题中，我们完全可以认为遇到的集合都是可测的。

---

### 4. 为什么要引入可测集？——为了建立 Lebesgue 积分

这是最根本的目的。Riemann 积分在处理极限和函数项级数时非常乏力（积分与极限交换顺序的条件很苛刻）。

Lebesgue 积分的核心思想是“横着切”（按函数值域划分），而不是 Riemann 积分的“竖着切”（按定义域划分）。在定义 Lebesgue 积分时，我们需要对函数值域划分后，其原像集 $ \{x | f(x) > c\} $ 有明确的“长度”（即测度），这样我们才能求和、取极限。

因此，我们要求函数 $ f $ 是**可测函数**，即对于任意常数 $ c $，集合 $ \{x | f(x) > c\} $ 是一个**可测集**。只有在这个基础上，才能无矛盾地定义出具有优良性质（如易于处理极限）的 Lebesgue 积分。

### 总结

简单来说，理解可测集，就是理解我们为**哪些“舞台”（集合）** 能够定义一个良好、可加的“面积/体积”概念（Lebesgue 测度），从而能够在其上表演精彩的“积分”大戏。

这里给出几个 **Lebesgue 可测集** 的具体例子，从简单到特殊。

`例` 区间（开区间、闭区间、半开半闭区间） 
设 $ a < b $，那么  
$$
[a,b], \quad (a,b), \quad [a,b), \quad (a,b]
$$
都是 **Lebesgue 可测集**，并且它们的 Lebesgue 测度是：
$$
m([a,b]) = m((a,b)) = m([a,b)) = m((a,b]) = b-a.
$$
这是因为 Lebesgue 测度在 $\mathbb{R}$ 上就是通常的长度，并且区间是 Borel 集，Borel 集都是 Lebesgue 可测的。

因此给你一个区间$[-3,8]$那么他的长度就是$8-(-3)=11$

`例` 有理数集 $\mathbb{Q}$
有理数集 $\mathbb{Q}$ 是 **Lebesgue 可测集**，并且它的测度为 0。

理由：
- $\mathbb{Q}$ 是可数集（可列集）,详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3643)。

- 单点集的 Lebesgue 测度为 0。详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1913)

- 可数可加性 ⇒ 可数集的测度为 0。

所以：
$$
m(\mathbb{Q}) = 0.
$$

`例` Cantor 三分集 $C$
Cantor 集是 **Lebesgue 可测集**，并且测度为 0。

构造过程：
- 从 $[0,1]$ 开始，去掉中间开区间 $(\frac13,\frac23)$，剩下两个闭区间 $[0,\frac13] \cup [\frac23,1]$。
- 对每个剩下的闭区间再去掉中间的三分之一开区间，如此无限进行下去。
- 最终剩下的点集就是 Cantor 集 $C$。

测度计算：
- 第一步去掉的区间长度：$\frac13$
- 第二步去掉的：$2 \times \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$
- 第三步去掉的：$4 \times \frac{1}{27} = \frac{4}{27}$，等等。

去掉的总长度：
$$
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{3^{n+1}} 
= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac23} 
= \frac{1}{3} \cdot 3 = 1.
$$
所以 Cantor 集的测度：
$$
m(C) = 1 - 1 = 0.
$$
它是不可数集，但测度为 0。

`例`  不可测集的例子（作为对比）
**Vitali 集** $V \subset [0,1]$ 是经典的 **Lebesgue 不可测集** 例子。

构造思路：
- 在 $[0,1]$ 上定义等价关系：$x \sim y \iff x-y \in \mathbb{Q}$。
- 从每个等价类中选一个代表元组成集合 $V$（使用选择公理）。
- 通过平移可数多个 $V+q$（$q\in\mathbb{Q}\cap[-1,1]$）可覆盖 $[0,1]$，也可装入 $[-1,2]$。
- 如果 $V$ 可测，测度只能为 0 或正数，但会导致测度不等式矛盾。

所以 $V$ 不是 Lebesgue 可测集。

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