最后更新: 2025-01-21 09:05 ● 参与者查看: 21 次纠错分享参与项目词条搜索

可测集与测度

可测集与测度
外测度虽然对所有点集都有意义，但是它不具有可加性，不能把它当成体积的推广．因此我们放弃要所有点集有测度的想法，改为寻求一个范围很广的集合类，使得外测度在其中具有可加性（即其中不相交的集合的并集的外测度，等于各自的外测度之和）．这类集合我们称为可测集．可测集有什么特点，如何用外测度来描述它们呢？为了简单起见，下面先分析一下 $R ^2$ 的情形，即分析平面点集．

外测度为什么没有可加性而只有次可加性？粗略地看是因为，它是对点集从外部用可数多边的＂多边形＂包围或覆盖的方法测量得到的＂体积＂，而点集情况复杂，这种测量难免不够准确．为了得到准确的结果，求 Jordan 测度的方法启发我们，可以再用从内部向外扩张的方法进行测量（其结果称为内测度，即内含可数边形面积的上确界，点集的 $E$ 的内测度记为 $m, E$ ），看两种方法的结果是否一致．如果一致（即 $m^* E=m, E$ ），就可以考虑把这种点集定义为可测集，而可测集外测度应该是可加的．Lebesgue 当年正是按照这个思路定义可测集，并建立了具有可数可加性的测度理论的．

然而，内与外本来是相对的．事实上，若 $E$ 是有界集，取开矩体 $I \supset E$ ，则从图 2.1 可以看出，如果 $\left\{I_k\right\}$ 是 $I \backslash E$ 的 $L$ 覆盖，那么 $I \backslash \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k$ 就可以看作内含于 $E$ 的可数多边形，因而其＂体积＂的上确界
 ![图片](/uploads/2025-01/ec1af3.jpg)
 
 $$
\sup \left\{|I|-\sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right| \mid\left\{I_k\right\} \text { 是 } I \backslash E \text { 的 } L \text { 覆盖 }\right\}
$$

便应该是 $E$ 的内测度 $m$ ．$E$ ．但是因为

$$
\sup \left\{|I|-\sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right|\right\}=|I|-\inf \left\{\sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right| \mid\left\{I_k\right\} \text { 是 } I \backslash E \text { 的 } L \text { 覆盖 }\right\},
$$

所以

$$
m_* E=|I|-m^*(I \backslash E) .
$$

这说明，内测度可以通过外测度来定义．因而 $E$ 可测的条件 $m, E=m^* E$ 也就成了

$$
m^* E=|I|-m^*(I \backslash E),
$$

或者把这个式子再改写一下就得到：$E$ 应使得任意包含 $E$ 的矩体 $I$ 满足

$$
m^* I=m^* E+m^*(I \backslash E),
$$

此式的特点是不出现内测度．后来，希腊数学家卡拉泰奥多里（Carathéodory）发现一个与（2）式等价且形式上很相似的条件，如果用它作为可测集的定义，在建立测度理论时，一些证明可以简化，显得十分便捷．其思想就是，在上述等式中用一般的点集 $T$ 代替矩体 $I$ ，而且 $E$ 不需有界的限制。注意，在（2）中我们假设了 $E$ $\subset I$ ，因此（2）完全等价于

$$
m^* T=m^*(T \cap E)+m^*\left\{T \cap E^c\right\}
$$

用任意集合 $T$ 代替 $I$ ，便是下面的定义．

定义 2.2 设 $E \subset R ^n$ ，若对于任意的 $T \subset R ^n$ 有

$$
m^* T=m^*(T \cap E)+m^*\left(T \cap E^c\right),
$$

则称 $E$ 为 Lebesgue 可测集，简称 $E$ 可测或 $E$ 为可测集．可测集的外测度称为 $E$的 Lebesgue 测度，记为 $m E$ ，简称为 $E$ 的测度．全体可测集组成的集合称为可测集类，记为 $A$ 。

。此定义中的等式（3）称为 Carathéodory 条件，其中的 $T$ 称为试验集．注意，这里的 $T$ 是任意的集合，并不要求 $T \supset E$ 。

定义 2.2 在几何上表示（见图2．2）：若任意点集 $T$ 被 $E$ 分割成的在 $E$ 内的$T \cap E$ 和在 $E$ 外的 $T \cap E^c$ ，这两部分（子集）的外测度是可加的，就说 $E$ 可测．若把两个点集 $A$ 和 $B$ ，在满足 $A \subset E$ 和 $B \subset E^c$（即 $B \cap E=\varnothing$ ）时，称为被 $E$ 隔离，那么也可以说，可测集是这样的点集：任意两个被它隔离的点集，其外
 ![图片](/uploads/2025-01/4821ad.jpg)
 
 测度都可加．记住这个几何意义对理解可测集的定义很有好处，我们把它写成一个命题。

命题2．1 $R ^n$ 中的集合 $E$ 可测的充分必要条件是对任意的 $A \subset E, B \subset$ $E^c$ ，有

$$
m^*(A \cup B)=m^*(A)+m^*(B)
$$

证明 必要性．设 $E$ 可测，则在（3）中取 $T=A \cup B$ ，得

$$
\begin{aligned}
m^*(T) & =m^*(A \cup B)=m^*((A \cup B) \cap E)+m^*\left((A \cup B) \cap E^c\right) \\
& =m^*(A)+m^*(B)
\end{aligned}
$$

便得（4）。
充分性．已知（4）式成立，则对任意 $T$ ，取 $A=T \cap E, B=T \cap E^c$ ，这时 $A \subset E, B$ $\subset E^c$ ，从而

$$
\begin{aligned}
m^*(T) & =m^*(A \cup B)=m^*(A)+m^*(B) \\
& =m^*(T \cap E)+m^*\left(T \cap E^c\right)
\end{aligned}
$$

因此 $E$ 可测．

读者可能会问，Carathéodory 条件（3）中的试验集 $T$ 可以取为 $R ^n$ 内的任意集，而上面由 $E$ 的内，外测度相等得到的等式（2）中，$I$ 只是包含 $E$ 的矩体，因此似乎点集 $E$ 满足 Carathéodory 条件，要比其内，外测度相等要求高得多．但事实上，到本章末做完习题 27 后，读者会知道，它们其实是等价的．并且，正因为 Carathéodory 条件中的试验集 $T$ 可取为 $R ^n$ 中的任意集，才使得一些证明变得简单，可见 Carathéodory 对 Lebesgue 当初的测度理论洞察之深。此外，还值得指出的是，借助 Carathéodory 条件，从任何一种外测度出发，都可以定义一种测度，而不需知道这种外测度是怎样得来的。因此，Carathéodory 条件除去为建立

Lebesgue测度提供了一条便捷途径之外，对于在 $R ^n$ 或其他空间上建立一般测度的理论更有重要意义。

由可测集的定义易见，空集 $\varnothing$ 及 $R ^n$ 可测，并且 $m(\varnothing)=0, m\left( R ^n\right)=\infty$ ．
例 5 零测集是可测集，其测度为 0 。
证明 若 $E$ 是零测集，即 $m^* E=0$ ，则对于任意 $T \subset R ^n$ 有，$m^*(T \cap E)=$ $m^* E=0$ ，因此

$$
m^*(T \cap E)+m^*\left(T \cap E^c\right) \leqslant m^* E+m^* T=m^* T
$$

而由外测度的次可加性，反方向的不等式

$$
m^* T \leqslant m^*(T \cap E)+m^*\left(T \cap E^c\right)
$$

成立，从而

$$
m^* T=m^*(T \cap E)+m^*\left(T \cap E^c\right)
$$

即 $E$ 可测且 $m E=m^* E=0$ ．$\square$
由此可知 $R ^n$ 中的有理点集 $Q$（可数）和 Cantor 集 $C$（不可数）都是测度为 0的可测集。

由可测集的定义还可得到如下的简单推论：
推论（i）$E$ 可测当且仅当 $E^c$ 可测，即任意点集与其余集可测性相同（因为 $E$ 与 $E^c$ 可测的 Carathéodory 条件是一样的）；
（ii）$E$ 可测的充分必要条件是，对任意点集 $T$ 有

$$
m^* T \geqslant m^*(T \cap E)+m^*\left\{T \cap E^c\right\},
$$

这是因为由外测度的次可加性，与此相反的不等式 $m^* T \leqslant m^*(T \cap E)+m^*(T$ $\cap E^c$ ）总成立；
（iii）$E$ 可测的充分必要条件是，对于任意开矩体 $I$ ，

$$
|I| \geqslant m^*(I \cap E)+m^*\left\{I \cap E^c\right\}
$$

证明 设试验集 $T$ 有 $m^* T<\infty$ ，则对于任意正数 $\varepsilon>0$ ，有 $E$ 的 $L$ 覆盖 $\left\{I_k\right\}$使得 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right|<m^* T+\varepsilon$ ，因此

$$
\begin{aligned}
& m^*(T \cap E)+m^*\left(T \cap E^c\right) \leqslant \sum_{k=1}^{\infty} m^*\left(I_k \cap E\right)+\sum_{k=1}^{\infty} m^*\left(I_k \cap E^c\right) \\
= & \sum_{k=1}^{\infty}\left(m^*\left(I_k \cap E\right)+m^*\left(I_k \cap E^c\right)\right) \leqslant \sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right|<m^* E+\varepsilon
\end{aligned}
$$

令 $\varepsilon \rightarrow 0$ 即知，$E$ 满足 Carathéodory 条件；当 $m^* T=\infty$ 时，Carathéodory 条件显然成立．故 $E$ 可测．

简单推论（iii）告诉我们，为了检验点集的可测性，可只验证当试验集为矩体时，Carathéodory 条件是否成立．有时这使问题简单多了（参见后面的定理 2．4）．

上一篇：外侧度的性质

下一篇：测度的完全可加性

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)