最后更新: 2025-03-21 09:35 查看: 92 次反馈刷题

概述

本章讨论微分与积分运算的关系．为简单起见，我们仅限于一元函数．在数学分析中我们知道，这两种运算是互逆的，这便是微积分基本定理，即 Newton－ Leibniz 公式．但那时的积分是 Riemann 积分．现在有了 Lebesgue 积分，这种互逆关系的具体体现便会发生变化，我们来考察一下。

1 。 先积分后微分
在数学分析中已证明，若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，则变上限积分

$$
F(x)=\int_a^x f(t) d t
$$

在 $[a, b]$ 可微，且

$$
F^{\prime}(x)=\left(\int_a^x f(t) d t\right)^{\prime}=f(x)
$$

在 $[a, b]$ 成立，即积分后再求微商，函数还原为自己．这是说微分是积分的逆运算．如果 $f$ 在 $[a, b]$ 不是连续，而仅仅是 Riemann 可积，即 $f \in R[a, b]$ ，则已知由变上限积分定义的函数 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 是连续的．把证明（2）的方法稍作修改，用一个广义的积分中值定理，也可以证明此时（2）在 $f$ 的连续点成立（参看本章习题 1）。已知当 $f \in R[a, b]$ 时，$f$ 的不连续点是零测集，因此当 $f \in R[a, b]$ 时，（2）式在 $[a, b]$ 几乎处处成立．Lebesgue 可积函数类 $L[a, b]$ 比 Riemann 可积函数类 $R[a, b]$ 大得多，人们自然会问，若 $f \in L[a, b]$ ，是否仍然有（2）在 $[a, b]$ 几乎处处成立？本章的第一部分便是要给出这个问题的一个肯定的回答，但其证明显然是与数学分析的证明有很大的不同．

2 。 先微分后积分
若 $f$ 在 $[a, b]$ 可微，$f^{\prime} \in R[a, b]$ ，则根据数学分析中微积分基本定理 （Newton－Leibniz 公式），有
（R） $\int_a^x f^{\prime}(t) d t=f(x)-f(a)$
在 $[a, b]$ 成立，即函数求微商后再求 Riemann 积分便回到函数自己（允许差一个常数）．这就是说积分是微分的逆运算．问题是，如果只知道 $f^{\prime} \in L[a, b]$ ，情形会怎样？

由于 $f^{\prime} \in L[a, b]$ ，可以在任意零测集上改变它的函数值而不影响其积分值，因此 $f$ 在 $[a, b]$ 有导数应改为几乎处处的，即如果 $f$ 在 $[a, b]$ 几乎处处有导数
$f^{\prime}$ ，且 $f^{\prime} \in L[a, b]$ ，是否仍然有（3）式成立？这显然是不可能的，因为一个函数几乎处处有导数，它本身可以是不连续的，因此（3）式的右边可以任意改变，（3）式自然不可能成立（例如，取 $f(x)=0$（当 $0<x<1$ ），$f(0)=B, f(1)=A$ ，则 $f^{\prime}(x)$ $=0$ ，a．e．$x \in[0,1]$ ，但 $f(b)-f(a)=A-B$ 可以取任意值，而（3）式的左边却等于 0 ）．因此，对 Lebesgue 积分，上述问题的提法应改为：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续， $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 几乎处处存在，且 $f^{\prime} \in L[a, b]$ ，是否仍然有
（L） $\int_a^x f^{\prime}(t) d t=f(x)-f(a)$
$\forall x \in[a, b]$ 成立？回答仍然是否定的．我们将用 Cantor三分集举出一个著名的反例，但同时给出使（4）式成立的一个重要条件，在一定意义下它是充分必要的．这结果的论述，便构成了本章第二部分的内容．

## 通俗解释
勒贝格微分定理的通俗解释可以理解为**“用全局平均‘忽略局部小波动’”**，其核心是通过数学工具将复杂函数的不连续点“模糊化”，从而简化微分计算。以下是结合生活场景和数学逻辑的类比说明：

---

### 一、**核心思想**
想象你有一张**破损的地图**（函数曲线），上面有些地方撕破了（不连续点）。传统微分要求地图必须完好无损才能计算斜率，而勒贝格微分定理告诉我们：  
• **全局视角**：只要地图的整体趋势（如山脉走向）是明确的，即使局部有破损，我们也能估算出平均斜率。  
• **数学表达**：若函数在某点附近的小区域（如半径为ε的圆）内“平均变化率”存在，则该点的勒贝格微分存在。

---

### 二、**关键突破**
1. **处理不连续点**  
   • 传统微分：函数必须连续可导，否则无法计算（如阶梯函数）。  
   • 勒贝格微分：允许函数有“裂缝”（如狄利克雷函数），只要这些裂缝的“总长度”为零（测度为零）。

2. **从局部到全局**  
   • 传统微分：关注单一点的变化（如切线斜率）。  
   • 勒贝格微分：计算函数在某点附近所有可能小区域的平均变化率，再取极限。

---

### 三、**生活类比**
1. **信号处理**  
   • **传统方法**：要求信号完全无噪声才能分析波动。  
   • **勒贝格方法**：允许信号有少量噪声（如电子设备的背景电流），通过全局平均估算有效信号。

2. **数钱经验**  
   • **黎曼积分**：必须按顺序数清楚每一张钞票（类似逐点微分）。  
   • **勒贝格积分**：先分类统计（如1元、5元纸币各有多少），再计算总额（类似全局平均微分）。

3. **运动轨迹**  
   • **传统微分**：要求运动员每一步动作都标准（连续可导）。  
   • **勒贝格微分**：即使跑步时有短暂停顿或加速，只要整体趋势稳定（如匀速前进），仍可估算平均速度。

---

### 四、**数学本质**
1. **“测度为零”的哲学**  
   • 勒贝格微分定理认为：若函数在某点的“异常波动”范围（测度）无限小，则可以忽略其对整体微分的影响。  
   • 例如：狄利克雷函数在有理数点有值、无理数点无值，但其勒贝格微分为零，因其异常点集的测度为零。

2. **与黎曼微分的对比**  
| **特性**         | **勒贝格微分**          | **黎曼微分**                |  
|------------------|------------------------|---------------------------|  
| **处理异常点**   | 允许测度为零的异常点     | 要求连续可导                |  
| **计算方式**     | 全局平均变化率           | 局部切线斜率                |

---

### 五、**实际应用场景**
1. **物理学**：计算电磁场中带电粒子的运动轨迹，忽略量子涨落等微小干扰。  
2. **经济学**：分析股票价格波动，通过全局趋势估算平均收益率，而非纠结单日波动。  
3. **机器学习**：优化算法中，通过勒贝格微分处理非光滑损失函数（如绝对值损失）。

---

### 总结
勒贝格微分定理的本质是**“用全局平均简化局部复杂性”**。它突破了传统微分的局限性，成为现代数学、工程和科学计算中处理不连续函数的核心工具。但需注意，其理论相对复杂，实际应用中常需结合数值方法（如蒙特卡洛积分）。

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

上一篇：没有了

下一篇：变上限积分的微分

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)