最后更新: 2025-11-29 15:43 查看: 170 次纠错评论(0) 课件开VIP

概述

## 概述
本章讨论微分与积分运算的关系．为简单起见，我们仅限于一元函数．在数学分析中我们知道，这两种运算是互逆的，这便是微积分基本定理，即 Newton－ Leibniz 公式．但那时的积分是 Riemann 积分．现在有了 Lebesgue 积分，这种互逆关系的具体体现便会发生变化，我们来考察一下。

1 。 先积分后微分
在数学分析中已证明，若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，则变上限积分

$$
F(x)=\int_a^x f(t) d t
$$

在 $[a, b]$ 可微，且

$$
F^{\prime}(x)=\left(\int_a^x f(t) d t\right)^{\prime}=f(x)
$$

在 $[a, b]$ 成立，即积分后再求微商，函数还原为自己．这是说微分是积分的逆运算．如果 $f$ 在 $[a, b]$ 不是连续，而仅仅是 Riemann 可积，即 $f \in R[a, b]$ ，则已知由变上限积分定义的函数 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 是连续的．把证明（2）的方法稍作修改，用一个广义的积分中值定理，也可以证明此时（2）在 $f$ 的连续点成立（参看本章习题 1）。已知当 $f \in R[a, b]$ 时，$f$ 的不连续点是零测集，因此当 $f \in R[a, b]$ 时，（2）式在 $[a, b]$ 几乎处处成立．Lebesgue 可积函数类 $L[a, b]$ 比 Riemann 可积函数类 $R[a, b]$ 大得多，人们自然会问，若 $f \in L[a, b]$ ，是否仍然有（2）在 $[a, b]$ 几乎处处成立？本章的第一部分便是要给出这个问题的一个肯定的回答，但其证明显然是与数学分析的证明有很大的不同．

2 。 先微分后积分
若 $f$ 在 $[a, b]$ 可微，$f^{\prime} \in R[a, b]$ ，则根据数学分析中微积分基本定理 （Newton－Leibniz 公式），有
（R） $\int_a^x f^{\prime}(t) d t=f(x)-f(a)$
在 $[a, b]$ 成立，即函数求微商后再求 Riemann 积分便回到函数自己（允许差一个常数）．这就是说积分是微分的逆运算．问题是，如果只知道 $f^{\prime} \in L[a, b]$ ，情形会怎样？

由于 $f^{\prime} \in L[a, b]$ ，可以在任意零测集上改变它的函数值而不影响其积分值，因此 $f$ 在 $[a, b]$ 有导数应改为几乎处处的，即如果 $f$ 在 $[a, b]$ 几乎处处有导数
$f^{\prime}$ ，且 $f^{\prime} \in L[a, b]$ ，是否仍然有（3）式成立？这显然是不可能的，因为一个函数几乎处处有导数，它本身可以是不连续的，因此（3）式的右边可以任意改变，（3）式自然不可能成立（例如，取 $f(x)=0$（当 $0<x<1$ ），$f(0)=B, f(1)=A$ ，则 $f^{\prime}(x)$ $=0$ ，a．e．$x \in[0,1]$ ，但 $f(b)-f(a)=A-B$ 可以取任意值，而（3）式的左边却等于 0 ）．因此，对 Lebesgue 积分，上述问题的提法应改为：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续， $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 几乎处处存在，且 $f^{\prime} \in L[a, b]$ ，是否仍然有
（L） $\int_a^x f^{\prime}(t) d t=f(x)-f(a)$
$\forall x \in[a, b]$ 成立？回答仍然是否定的．我们将用 Cantor三分集举出一个著名的反例，但同时给出使（4）式成立的一个重要条件，在一定意义下它是充分必要的．这结果的论述，便构成了本章第二部分的内容．

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