最后更新: 2025-03-21 09:30 查看: 64 次反馈刷题

变上限积分的微分

若 $f \in L(a, b)$ ，则 $f=f^{+}-f^{-}$，因此变上限积分

$$
F(x)=\int_a^x f(t) d t=\int_a^x f^{+}(t) d t-\int_a^x f^{-}(t) d t
$$

是两个单调上升函数之差，而单调函数的不连续点至多可列．回忆函数在一点连续而不可微的典型例子，知这时候函数的图像在该点出现＂尖角＂（如 $y=|x|$ 在 $x=0$ ）．由此可以想像处处连续而处处不可微的函数的图像，必然在每一点的附近都是＂锯齿形＂的，即在任一点附近都不是单调的．可以想象，单调函数应该与此相反，基本上处处可微（由于还有不连续点，当然不能保证＂处处＂可微）。下面我们来证明单调函数是几乎处处可微的．为此，我们先证明一个维它利（Vitali）型的覆盖定理。

定义5．1 设 $E \subset R , \Gamma=\left\{I_\alpha\right\}$ 是区间族．称 $\Gamma$ 是 $E$ 的一个 Vitali 蕧盖，如果对任意 $x \in E$ 与任意的 $\varepsilon>0$ ，存在 $I_\alpha \in \Gamma$ ，使得 $\left|I_\alpha\right|<\varepsilon$ 且 $x \in I_\alpha$ ．

定理 5．1（Vitali 緮盖定理）设 $E \subset R , m^*(E)>0$ ．若 $\Gamma$ 是 $E$ 的 Vitali 覆盖，则对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $\Gamma$ 中的有限个区间 $I_1, I_2, \cdots, I_n$ ，满足 $I_i \cap I_j=\varnothing(i \neq j, i, j=$ $1,2, \cdots, n)$ ，使得 $m^*\left(E \backslash \bigcup_{j=1}^n I_j\right)<\varepsilon$ ．

把这个定理与第一章的定理 1.20 （有限覆盖定理）作一个比较（限于一维情形）．在那里要求 $E$ 是有界闭集，构成覆盖的是开区间族，结论是存在族中的有限个开区间，它们的并已把 $E$ 盖住了。现在的定理对 $E$ 只要求 $m^*(E)<+\infty$ ，比有界闭集的条件弱多了，而且构成覆盖的区间，它们互不相交，其并虽不能全部盖住 $E$ ，但未被盖住的部分的外测度却可以任意小．在区间互不相交这一点上，结论比定理 1.20 的要强．但从盖住 $E$ 这一点看，又比定理 1.20 要弱．总之它
们各有千秋，是两种不同意义下的覆盖定理．但从结论可以看出，Vitali 覆盖定理是与测度联系起来的．

定理5．1的证明 不妨假设 $\Gamma$ 是闭区间族的情形．取开集 $G \supset \dot{E}, m(G)<$ $+\infty$ ．不妨设对任意 $I \in \Gamma$ ，有 $I \subset G$ ．这时

$$
\delta_0=\sup \{|I| \mid I \in \Gamma\}<+\infty .
$$

取 $I_1 \in \Gamma, I_1 \cap E \neq \varnothing,\left|I_1\right|>\frac{\delta_0}{2}$ ．然后用归纳法选出后面的 $I_k$ ．设 $I_1, I_2, \cdots, I_k$ 已选出，若 $E \subset \bigcup_{j=1}^k I_j$ ，则定理得证．否则，令

$$
\delta_k=\sup \left\{|I| \mid I \in \Gamma, I \cap I_j=\varnothing, j=1,2, \cdots, k\right\}
$$

显然 $\delta_k \leqslant \delta_0<+\infty$ ．
选 $I_{k+1}$ ，使得 $\left|I_{k+1}\right|>\frac{\delta_k}{2}, I_{k+1} \cap I_j=\varnothing, j=1,2, \cdots, k, I_{k+1} \cap E \neq \varnothing$ ．这样，如果进程到某个 $k$ 停止了（即 $\delta_k=0$ ），则定理获证，否则得到一无穷的区间列 $\left\{I_k\right\}_{k=1}^*$ ，满足 $I_i \cap I_j=\varnothing(\forall i \neq j)$ ．且由于 $I_j \subset G$ ，有

$$
\sum_{j=1}^{\infty}\left|I_j\right| \leqslant m(G)<+\infty
$$

对任意 $\varepsilon>0$ ，取 $n$ 充分大，使得

$$
\sum_{j=n+1}^{\infty}\left|I_j\right|<\frac{\varepsilon}{5}
$$

我们断言，$I_1, I_2, \cdots, I_n$ 即为定理所要求的有限个互不相交的区间．
事实上，记 $\quad S=E \backslash \bigcup_{j=1}^n I_i$ ．
设 $x \in S$ ，即 $x \in E, x \notin \bigcup_{j=1}^n I_j$ ．由于假定 $I_j$ 是闭集，因此 $\bigcup_{j=1}^n I_j$ 也是闭集，从而

$$
\operatorname{dist}\left(x, \bigcup_{j=1}^n I_j\right)>0 .
$$

根据 $\Gamma$ 是 $E$ 的 Vitali 覆盖，存在 $I \in \Gamma$ ，使得 $x \in I, I \cap I_j=\varnothing(j=1,2, \cdots$ ， $n)$ ．显然 $|I|<\delta_n<2 \mid I_{n+1} I$ ．由于 $\left|I_j\right| \rightarrow 0(j \rightarrow \infty)$ ，知 $I$ 必与 $\left\{\left.I_j\right|_{j=1} ^*\right.$ 中某个区间相交（否则与 $I_j$ 的选取矛盾），记 $n_0$ 为使 $I \cap I_{n_0} \neq \varnothing, I \cap I_j=\varnothing\left(j<n_0\right)$ 成立的最小自然数（它必定是存在的），则 $n_0>n$ ，且 $|I| \leqslant \delta_{n_0-1}<2\left|I_{n_0}\right|$ ，故 $x \in 5 I_{n_0}$（ $5 I_{n_0}$ 表示与 $I_{n_0}$ 同心而长度为 $I_{n_0}$ 的 5 倍的区间），于是

$$
S \subset \bigcup_{j=n+1}^{\infty}\left(5 I_j\right)
$$

从而

$$
\begin{aligned}
m^*(S) & \leqslant m^*\left(\bigcup_{j=n+1}^{\infty}\left(5 I_j\right)\right) \leqslant \sum_{j=n+1}^{\infty} m^*\left(5 I_j\right) \\
& =5 \sum_{j=n+1}^{\infty}\left|I_j\right|<\varepsilon
\end{aligned}
$$

定理证完． $\square$
下面我们用 Vitali 覆盖定理证明单调函数几乎处处可微．

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