最后更新: 2025-11-29 15:51 查看: 187 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

Vitali 覆盖定理

## Vitali 覆盖定理
若 $f \in L(a, b)$ ，则 $f=f^{+}-f^{-}$，因此变上限积分

$$
F(x)=\int_a^x f(t) d t=\int_a^x f^{+}(t) d t-\int_a^x f^{-}(t) d t
$$

是两个单调上升函数之差，而单调函数的不连续点至多可列．回忆函数在一点连续而不可微的典型例子，知这时候函数的图像在该点出现＂尖角＂（如 $y=|x|$ 在 $x=0$ ）．由此可以想像处处连续而处处不可微的函数的图像，必然在每一点的附近都是＂锯齿形＂的，即在任一点附近都不是单调的．可以想象，单调函数应该与此相反，基本上处处可微（由于还有不连续点，当然不能保证＂处处＂可微）。下面我们来证明单调函数是几乎处处可微的．为此，我们先证明一个维它利（Vitali）型的覆盖定理。

**定义5.1** 设 $E \subset R , \Gamma=\left\{I_\alpha\right\}$ 是区间族．称 $\Gamma$ 是 $E$ 的一个 Vitali 蕧盖，如果对任意 $x \in E$ 与任意的 $\varepsilon>0$ ，存在 $I_\alpha \in \Gamma$ ，使得 $\left|I_\alpha\right|<\varepsilon$ 且 $x \in I_\alpha$ ．

**定理 5.1**（Vitali 覆盖定理）设 $E \subset R , m^*(E)>0$ ．若 $\Gamma$ 是 $E$ 的 Vitali 覆盖，则对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $\Gamma$ 中的有限个区间 $I_1, I_2, \cdots, I_n$ ，满足 $I_i \cap I_j=\varnothing(i \neq j, i, j=$ $1,2, \cdots, n)$ ，使得 $m^*\left(E \backslash \bigcup_{j=1}^n I_j\right)<\varepsilon$ ．

把这个定理与第一章的定理 1.20 （有限覆盖定理）作一个比较（限于一维情形）．在那里要求 $E$ 是有界闭集，构成覆盖的是开区间族，结论是存在族中的有限个开区间，它们的并已把 $E$ 盖住了。现在的定理对 $E$ 只要求 $m^*(E)<+\infty$ ，比有界闭集的条件弱多了，而且构成覆盖的区间，它们互不相交，其并虽不能全部盖住 $E$ ，但未被盖住的部分的外测度却可以任意小．在区间互不相交这一点上，结论比定理 1.20 的要强．但从盖住 $E$ 这一点看，又比定理 1.20 要弱．总之它
们各有千秋，是两种不同意义下的覆盖定理．但从结论可以看出，Vitali 覆盖定理是与测度联系起来的．

**定理5.1的证明** 不妨假设 $\Gamma$ 是闭区间族的情形．取开集 $G \supset \dot{E}, m(G)<$ $+\infty$ ．不妨设对任意 $I \in \Gamma$ ，有 $I \subset G$ ．这时

$$
\delta_0=\sup \{|I| \mid I \in \Gamma\}<+\infty .
$$

取 $I_1 \in \Gamma, I_1 \cap E \neq \varnothing,\left|I_1\right|>\frac{\delta_0}{2}$ ．然后用归纳法选出后面的 $I_k$ ．设 $I_1, I_2, \cdots, I_k$ 已选出，若 $E \subset \bigcup_{j=1}^k I_j$ ，则定理得证．否则，令

$$
\delta_k=\sup \left\{|I| \mid I \in \Gamma, I \cap I_j=\varnothing, j=1,2, \cdots, k\right\}
$$

显然 $\delta_k \leqslant \delta_0<+\infty$ ．
选 $I_{k+1}$ ，使得 $\left|I_{k+1}\right|>\frac{\delta_k}{2}, I_{k+1} \cap I_j=\varnothing, j=1,2, \cdots, k

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