最后更新: 2025-03-21 09:41 查看: 51 次反馈刷题

概述

## 近世代数对数学的整体思考

参考下图:一个个数字或者物体被称作**元素**，元素放在一起组成了**集合**(这个高中就学过)，集合排在一起组成了**空间**，如果空间满足八大性质(交换律、结合律等)则被定义为**线性空间**。空间里元素的距离称为**度量空间**。我们需要一个尺子作为度量的基准，这个尺子被称为**范数**，含有范数的空间称为**线性赋范空间**，具备完备后称为**巴拿赫空间**。
  ![图片](/uploads/2024-09/ba6554.jpg)
 
这里要强调一下**封闭性**，如果集合$F$里的数进行加减乘除仍在$F$里，则$F$称为**封闭数域**，比如“全体有理数”就是一个封闭数域，因为任何有理数的加减乘除仍在有理数里，但是“全体整数”就不是封闭数域，因为两个数相除有可能是分数。

### 一、空间
把多个元素放在一起就构成了集合，如 $\left\{x_1, x_2, \ldots, x_n\right\}$ 。但是集合是松散，我们还需要定义各个元素之间的"关系"或者说"结构"，加上这层"关系"和"结构"之后，就构成了一个空间 
 
### 二、度量空间 
如果想把集合中任意的两个元素建立"关系"，首先想到的可能就是去描述它们之间的"距离"。定义了距离的空间称为度量空间。距离的定义应该满足以下四点:
- 非负性: $d(x, y) \geq 0$
- 非退化性: $d(x, y)=0 \Leftrightarrow x=y$
- 对称性: $d(x, y)=d(y, x)$
- 三角不等式+: $d(x, y)+d(y, z) \geq d(x, z)$

因为定义了距离，因此在度量空间中有了长度的概念。 
 
 详见  [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2602)

## 概述 
 
 古典微积分与现代实分析的区别之一在于，前者研究函数，着重于单个函数本身的性质，而后者则更进一步，把由一些函数组成的集合看成空间，把函数看作这些＂空间＂中的一个元素（或一个点），研究这些空间的＂结构＂，把微分与积分等运算看成点到点之间的映射（算子）．由函数可积性定义的这种空间就是其中最基本与最重要的空间之一。

这种＂空间＂的思想，要追溯到 19 世纪末到 20 世纪初．希尔伯特（Hilbert）为了求解积分方程，把它化为解无穷线性方程组，并用有限线性方程组的解去逼近无穷的情形，从而研究了具有性质 $\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_i\right|^2<+\infty$ 的数列 $\left\{x_i\right\}_{i=1}^{\infty}$ ．后来施密特（Schmidt）与弗雷歇（Fréchet）将 Hilbert 的理论与 $n$ 维欧氏空间相比较，把 $n$ 推广到无穷．考虑无穷维的向量空间，称 $x=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, \cdots\right)$ 为这个空间中的点，而对于两个满足 $\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_i\right|^2<+\infty, \sum_{i=1}^{\infty}\left|y_i\right|^2<+\infty$ 的点，定义它们的距离为

$$
\rho(x, y)=\left(\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_i-y_i\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}
$$

这便产生了现在称之为 $l^2$ 空间的概念，其中距离是这种空间的一种＂结构＂。 Schmidt 还引人了范数的符号

$$
\|x\|=\left(\sum_{i=1}^{\infty}\left|x_i\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}
$$

从而得到

$$
\rho(x, y)=\|x-y\|
$$

1907年，F．Riesz 与 Fréchet 同时用连续量代替离散量，把 $l^2$ 中的点改为 $[0,1]$ 中的函数 $f(t)$ ，原来加在序列上的条件自然变成了

$$
\int_0^1|f(t)|^2 d t<+\infty ...(4)
$$

而得到了所谓的 $L^2$ 空间．这是一个与欧氏空间十分相似的空间．后来人们又进一步推广这一思想考虑在 $[a, b]$ 使 $|f(t)|^p$ Lebesgue 可积的函数 $f(t)$ ，即 $f(t)$满足

$$
\int_a^b|f(t)|^p d t<+\infty, ...(5)
$$

从而引出 $L^p$ 空间（在本书中，我们总是假定 $p \geqslant 1$ ）．到 1922－1923年，哈恩 （Hahn），巴拿赫（Banach），维纳（Wiener）等独立地引入了一般的线性赋范空间． $L^P$ 空间之所以基本而重要，原因之一是它们是完备的，这正体现了本书绪论所说的数学史上第二次完备化的结果．$L^p$ 空间的引入，可以说是 Lebesgue 积分对 20 世纪以来近代数学的最重要的贡献之一。这些空间本身以及在这基础上发展出来的各种空间，如索伯列夫（Sobolev）空间，哈代（Hardy）空间，BMO 空间（有界平均振动空间）等等，已成了近代数学众多分支研究问题的最基本的框架．为了纪念 Lebesgue 的重要贡献，人们把最初用可积性定义的这些函数空间称为 Lebesgue 空间，记为 $L^p$ ，其中的 $L$ 就是 Lebesgue 的第一个字母。

本章是在前面 Lebesgue 测度与积分理论的基础上，对 $L^p$ 空间作一个简单介绍，以使读者初步体会 Lebesgue 积分的意义．关于 $L^p$ 空间更加丰富的内容，读者可从别的课程或专著中学习到．

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