最后更新: 2025-03-21 09:42 查看: 287 次反馈刷题

Lp 空间

## 近世代数对数学的整体思考

参考下图:一个个数字或者物体被称作**元素**，元素放在一起组成了**集合**(这个高中就学过)，集合排在一起组成了**空间**，如果空间满足八大性质(交换律、结合律等)则被定义为**线性空间**。空间里元素的距离称为**度量空间**。我们需要一个尺子作为度量的基准，这个尺子被称为**范数**，含有范数的空间称为**线性赋范空间**，具备完备后称为**巴拿赫空间**。
  ![图片](/uploads/2024-09/ba6554.jpg)
 
 
## Lp 空间
设 $E$ 是 $R ^n$ 的可测子集，$m(E)>0, p$ 是大于等于 1 的实数．对于在 $E$ 上可测且满足前面类似于（5）式的函数 $f(x)$ ：

$$
\int_E|f(x)|^P d x<+\infty
$$

我们引人下面的定义。
定义6．1 全体在 $E$ 可测且满足

$$
\|f\|_p=\left(\int_E|f(x)|^p d x\right)^{\frac{1}{p}}<+\infty
$$

的 $f(x)$ ，组成函数空间 $L^p(E)$ ，或简记为 $L^p$ ，其中 $1 \leqslant p<\infty$ ．称 $\|f\|_p$ 为 $f$ 在 $L^p$的范数．

由此定义可见，函数空间 $L^p(E)$ 就是在 $E$ 上 $p$ 次幂可积的可测函数类．我们首先证明 $L^P$ 是一个线性空间．

定理 6.1 若 $f, g \in L^p(E)$ ，则对任意实数 $\alpha, \beta$ ，

$$
\alpha f+\beta g \in L^p(E)
$$

证明 由

$$
\begin{aligned}
& |\alpha f(x)|=|\alpha \| f(x)| \\
& |f(x)+g(x)|^p \leqslant 2^p\left(|f(x)|^p+|g(x)|^p\right)
\end{aligned}
$$

便可推出．$\square$
例 1 若 $m(E)<+\infty$ ，则有界可测函数属于 $L^P(E)$ ．
例 $2 \frac{1}{x^\alpha} \in L^p(0,1)$ ，其中 $p \alpha<1$ ．

$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{x^\beta} \in L^p(1,+\infty) \text {, 其中 } p \beta>1 \text {. } \\
& \frac{1}{1+x^2} \in L^p( R ), e^{-x^2} \in L^p( R ) .
\end{aligned}
$$

下面我们来研究一下 $L^p$ 的范数 $\|f\|_p$ ．范数的概念来源于 $R ^n$ 中向量的长度．设 $x =\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in R ^n$ ，记

$$
\|x\|=\left(\sum_{i=1}^n\left|x_i\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}
$$

这就是向量的长度，或称为 $x$ 的范数．
$R ^n$ 中的两个向量（或两个点）： $x =\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right), y =\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)$ ，可以用范数来描述它们的距离 $d( x , y )$ ：

$$
d(x, y)=\|x-y\|=\left(\sum_{i=1}^n\left|x_i-y_i\right|^2\right)^{\frac{1}{2}}
$$

$\| x \|$ 作为线性空间 $R ^n$ 的范数，它具有下列三个最基本的性质：
$1^{\circ}$（非负性）$\| x \| \geqslant 0$ ，且 $\| x \|=0$ 的充要条件是 $x = \theta$（零向量）；
$2^{\circ}$（正齐性）$\quad \forall \lambda \in R , x \in R ^n$ ，有 $\|\lambda x \|=|\lambda|\| x \|$ ；
$3^{\circ}$（三角不等式）$\forall x, y \in R ^n$ ，有

$$
\|x+y\| \leqslant\|x\|+\|y\|
$$

对本章引言中提到的 $l^2$ ，由（2）定义的范数显然也满足这三条性质。
对一般的线性空间，人们对其元素引入范数，通常都要求它满足与上述三条相应的性质，因此人们称这三条为＂范数＂公理．下面我们来看看，$L^p$ 空间的范数是否具有这样的性质．
$1^{\circ}$ 显然 $\|f\|_p \geqslant 0$ ．但由第四章定理 4．3，知 $\|f\|_p=0$ 的充分必要条件是 $f(x)=0$ ，a．e．$x \in E$ ．这说明，要使 $L^p$ 的范数满足范数公理 $1^{\circ}$ ，必须把任意一个在 $E$ 上几乎处处等于 0 的函数，都看作线性空间 $L^p$ 的零元素。因此，我们需要改变一个观念，即把所有在 $E$ 上几乎处处等于 0 （即对等于 0 ）的函数，看成 $L^p$ 的同一个零元素．由于在线性空间中，$f-g=\theta$ 相当于 $f=g$ ，因此我们也必须把其差几乎处处为 0 的两个函数，即把两个几乎处处相等的函数，看成 $L^P$ 的同一个元素。换句话说，我们把与 $f$ 在 $E$ 对等的全体函数放在一起，组成了一个等价类，它们在 $L^p$ 中代表同一个元素。在计算或者讨论时，可以从其中任意取出一个代表 $f$ ，而不会影响讨论与计算的结果。因此，我们约定，以后说 $f \in L^P$ ，意指 $f$ 是所有与它对等的函数组成的等价类中的一个代表．
$2^{\circ} L^p$ 中的范数 $\|f\|_p$ 的正齐性也是显然的。
为了证明 $\|f\|_p$ 满足三角不等式，我们需要下面的引理和定理．
引理6．1 若 $a, b, \alpha, \beta>0, \alpha+\beta=1$ ，则
$$
a^\alpha b^\beta \leqslant \alpha a+\beta b
$$

其中等式成立当且仅当 $a=b$ ．
证明 不妨设 $a \geqslant b$ ．用微分中值定理易见

$$
x^t-1 \leqslant s(x-1) \quad(x \geqslant 1,0<s<1),
$$

并且等式只有在 $x=1$ 时成立．令 $x=\frac{a}{b}$ ，有

$$
\frac{a^s}{b^s}-1 \leqslant s\left(\frac{a}{b}-1\right)
$$

且等号只有在 $a=b$ 时成立．通分移项，得

$$
a^s b^{1-s} \leqslant b+s(a-b)=s a+(1-s) b,
$$

令 $\alpha=s$ ，则 $1-s=\beta$ ，便得

$$
a^\alpha b^\beta \leqslant \alpha a+\beta b
$$

且等号成立当且仅当 $a=b$ ．

## Lp空间通俗解释
Lp空间的通俗解释可以理解为**“用数学工具量化不同‘粗糙度’的函数或数据”**，其核心是通过调整参数p，灵活适应从“精细测量”到“粗略估计”的需求。以下是结合生活场景和数学逻辑的类比说明：

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### 一、**核心思想**
想象你有一台**多功能测量仪**（函数或数据集），可以测量不同物体的长度、重量等属性。Lp空间就像一个**测量仪的说明书**，规定了如何根据需求（参数p）定义“合理测量结果”：  
• **p=1时**：测量仪只认“总长度”（绝对值之和），比如计算快递包裹的总尺寸是否符合标准。  
• **p=2时**：测量仪认“平均长度”（欧几里得距离），比如计算两点之间的直线距离或音频信号的总能量。  
• **p=∞时**：测量仪只看“最大长度”，比如确保桥梁承重不超过安全极限。

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### 二、**关键特性**
1. **范数的“弹性”**  
   • **L1范数**：像“精打细算的会计”，关注每笔开支的绝对值总和（如总预算控制）。  
   • **L2范数**：像“工程师”，用平均效果评估整体性能（如信号处理中的能量计算）。  
   • **L∞范数**：像“安全检查员”，只关心最极端情况（如确保数值不超过上限）。

2. **完备性**  
   • Lp空间是“无洞的地图”：任何“合理测量”的序列都有极限点（如测量数据不会突然失效）。  
   • 类比：用L2空间分析音频信号时，即使有微小噪声，总能量计算依然可靠。

3. **应用场景的扩展性**  
   • **工程领域**：有限元分析中，Lp空间帮助量化材料变形的“总幅度”或“最大应力”。  
   • **量子力学**：L2空间用于描述量子态的“总能量”，而L∞空间限制波函数的“最大振幅”。

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### 三、**生活类比**
1. **经济预算管理**  
   • **L1空间**：每月固定开支（房租、工资）的绝对值总和，确保总预算不超支。  
   • **L2空间**：计算年度开支的平均波动幅度，评估财务稳定性。  
   • **L∞空间**：设置单日消费上限，防止突发大额支出。

2. **信号处理**  
   • **L1空间**：保留信号中的所有细节（如音频中的高频噪声），适合医学检测。  
   • **L2空间**：过滤噪声后计算信号总能量，用于语音识别。  
   • **L∞空间**：压缩视频时限制像素值波动，保证画面不过曝。

3. **运动数据分析**  
   • **L1空间**：统计运动员的总跑动距离，忽略瞬时速度波动。  
   • **L2空间**：计算平均速度，评估运动效率。  
   • **L∞空间**：确保运动员的瞬时心率不超过安全阈值。

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### 四、**数学本质**
1. **“总量控制”与“局部细节”**  
   • Lp空间通过调整p值，在“总量可控”（完备性）和“细节保留”（范数类型）之间权衡。  
   • 例如：L1空间允许局部波动（如阶梯函数），但总量受限；L2空间则更关注整体平滑性。

2. **与序列空间的关系**  
   • Lp空间是函数空间的推广，而序列空间（如lp）是其特例（测度为计数测度）。  
   • 类比：函数空间像“连续的时间序列”，序列空间像“离散的事件列表”。

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### 五、**实际应用场景**
1. **金融风控**：用L∞空间限制投资组合的瞬时波动，用L2空间评估长期风险。  
2. **机器学习**：优化算法中，L1范数产生稀疏解（只关注关键参数），L2范数防止过拟合。  
3. **图像压缩**：L1空间保留边缘细节，L2空间保证整体视觉效果。

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### 总结
Lp空间的本质是**“用数学范数量化不同层次的‘合理性’”**，其灵活性使其成为工程、物理、金融等领域的核心工具。通过调整参数p，我们可以在“精细控制”与“高效计算”之间找到平衡点。

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