最后更新: 2025-01-21 10:04 ● 参与者查看: 28 次纠错分享参与项目词条搜索

赫尔德（Hölder）不等式

定理 6．2（赫尔德（Hölder）不等式）若 $p>1, p^{\prime}>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1, f \in L^p(E)$ ， $g \in L^{p \prime}(E)$ ，则

$$
\int_E|f(x) g(x)| d x \leqslant\left(\int_E|f(x)|^p d x\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_E|g(x)|^{p^{\prime}} d x\right)^{\frac{1}{p}}
$$

其中等号成立当且仅当 $|f|^p$ 与 $|g|^{p^{\prime}}$ 相差一个常数因子．
定理的结论可以写成

$$
\|f g\|_1 \leqslant\|f\|_p\|g\|_{p^{\prime}}
$$

满足 $\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1$ 的数 $p$ 与 $p^{\prime}$ ，称为共轭数或者共轭指标．
证明 显然，当 $\|f\|_p=0$ 或 $\|g\|_{p^{\prime}}=0$ 时，$f(x) g(x)=0$ ，a．e．$x \in E$ ，（7）成立。

当 $\|f\|_p>0,\|g\|_{p^{\prime}}>0$ 时，在引理 6.1 的（6）式中取

$$
a=\frac{|f(x)|^p}{\|f\|_p^p}, \quad b=\frac{|g(x)|^{p^{\prime}}}{\|g\|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}}}
$$

$\alpha=\frac{1}{p}, \beta=\frac{1}{p^{\prime}}$ ，则

$$
\frac{|f(x) g(x)|}{\|f\|_p\|g\|_{p^{\prime}}} \leqslant \frac{1}{p} \frac{|f(x)|^p}{\|f\|_p^p}+\frac{1}{p^{\prime}} \frac{|g(x)|^{p^{\prime}}}{\|g\|_{p^{\prime}}^{p^{\prime}}}
$$

在等式两边取积分，便得 $\|f g\|_1 \leqslant\|f\|_p\|g\|_{p^{\prime}} \square$
Hölder 不等式的一个重要特例是 Schwarz 不等式，即 $p=p^{\prime}=2$ 的情形：

$$
\int_{\varepsilon}|f(x) g(x)| d x \leqslant\left(\int_E|f|^2 d x\right)^{\frac{1}{2}}\left(\int_E|g|^2 d x\right)^{\frac{1}{2}}
$$

或

$$
\|f g\|_1 \leqslant\|f\|_2\|g\|_2
$$

例 3 若 $m(E)<+\infty, 1 \leqslant p_1<p_2$ ，则 $L^{p_2}(E) \subset L^{p_1}(E)$ ．
证明 设 $f \in L^{p_2}(E)$ ，取 $r=\frac{p_2}{p_1}>1, r^{\prime}$ 为 $r$ 的共轭指标．用 Hölder 不等式

$$
\begin{aligned}
\int_E|f(x)|^{p_1} d x & =\int_E\left(|f(x)|^{p_1} \cdot 1\right) d x \\
& \leqslant\left(\int_E|f(x)|^{p_1 \cdot r} d x\right)^{\frac{1}{r}}\left(\int_E 1^{r^{\prime}} d x\right)^{\frac{1}{r^{\prime}}} \\
& =m(E)^{\frac{1}{r^{\prime}}}\left(\int_E|f(x)|^{p_2} d x\right)^{\frac{p_1}{p_2}},
\end{aligned}
$$

从而

$$
\left(\int_E|f(x)|^{p_1} d x\right)^{\frac{1}{p_1}} \leqslant m(E)^{\frac{1}{p_1}-\frac{1}{p_2}}\left(\int_E|f(x)|^{p_2} d x\right)^{\frac{1}{p_2}}
$$

或

$$
\left(\frac{1}{m(E)} \int_E|f(x)|^{p_1} d x\right)^{\frac{1}{p_1}} \leqslant\left(\frac{1}{m(E)} \int_E|f(x)|^{p_2} d x\right)^{\frac{1}{p_2}}
$$

于是 $L^{p_2}(E) \subset L^{p_1}(E)$ ．
这个例子特别说明，当 $m(E)<+\infty$ 时，$L^P(E)$ 中的函数都是 $L$ 可积的．读者可以自己举例说明，$m(E)=\infty$ 时不是这样．

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