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闵可夫斯基不等式

定理 6．3（闵可夫斯基（Minkowski）不等式）若 $f, g \in L^p(E)$ ，则

$$
\|f+g\|_p \leqslant\|f\|_p+\|g\|_p(1 \leqslant p \leqslant \infty)
$$

证明 当 $p=1$ 时，在不等式 $|f(x)+g(x)| \leqslant|f(x)|+|g(x)|$ 两边积分，便得（8）．当 $1<p<+\infty$ 时，

$$
\begin{aligned}
& \int_E|f(x)+g(x)|^p d x=\int_E|f(x)+g(x) \| f(x)+g(x)|^{p-1} d x \\
& \quad \leqslant \int_E\left|f ( x ) \left\|f(x)+\left.g(x)\right|^{p-1} d x+\int_E|g(x) \| f(x)+g(x)|^{p-1} d x .\right.\right.
\end{aligned}
$$

对 $p$ 与它的共轭指标 $p^{\prime}=\frac{P}{p-1}$ 用 Hölder 不等式于右边两个积分，得

$$
\begin{aligned}
& \int_E\left|f(x)\left\|f(x)+\left.g(x)\right|^{p-1} d x \leqslant\right\| f\left\|_p\right\| f+g \|_p^{p-1},\right. \\
& \int_E\left|g(x)\left\|f(x)+\left.g(x)\right|^{p-1} d x \leqslant\right\| g\left\|_p\right\| f+g \|_p^{p-1},\right.
\end{aligned}
$$

代回去有

$$
\|f+g\|_p^p \leqslant\left(\|f\|_p+\|g\|_p\right)\|f+g\|_p^{p-1} .
$$

当 $\|f+g\|_p \neq 0$ 时，便得（8）．当 $\|f+g\|_p=0$ 时，（8）式显然成立．定理证完．

Minkowski 不等式表明，范数 $\|f\|_P$ 满足范数公理 $3^{\circ}$ ．这样，我们便验证了 $\|f\|_p$ 满足范数公理的 $1^{\circ} \sim 3^{\circ}$ ，也就是说，$\|f\|_p$ 的确是一个范数．加上 $L^p$ 中的元素对线性运算封闭（定理6．1），我们可以说，$L^p$ 是一个线性赋范空间．

类似于 $R ^n$ 以及前面的（3），我们用

$$
\rho(f, g)=\|f-g\|_p
$$

来定义 $L^p$ 中两个元素 $f, g \in L^p$ 之间的距离．由 $L^p$ 范数的性质，容易知道，这样定义的距离 $\rho(f, g)$ 满足一般距离所必须满足的三条性质（＂距离公理＂）：
$1^{\circ}$（非负性）$\rho(f, g) \geqslant 0$ ，且 $\rho(f, g)=0$ 当且仅当 $f(x)=g(x)$ ，a．e．$x \in$ $E$ ，即 $f \sim g$ ．根据前面的约定，这时 $f$ 与 $g$ 在 $E$ 的同一个等价类之内，即 $f$ 与 $g$ 代表 $L^P$ 中的同一个元素；
$2^{\circ}$（对称性）$\quad \rho(f, g)=\rho(g, f)$ ；
$3^{\circ}$（三角不等式）$\quad \rho(f, g) \leqslant \rho(f, h)+\rho(h, g)$ ，这是因为，用 Minkowski不等式，有

$$
\begin{aligned}
\rho(f, g) & =\|f-g\|_p=\|f-h+h-g\|_p \\
& \leqslant\|f-h\|_p+\|h-g\|_p=\rho(f, h)+\rho(h, g)
\end{aligned}
$$

类似于 $R ^n$ ，有了距离便可以定义极限了．

定义 6.2 设 $f_k \in L^p(E), k=1,2, \cdots, f \in L^p(E), 1 \leqslant p<+\infty$ ．若

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \rho\left(f_k, f\right)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left\|f_k-f\right\|_p=0
$$

则称 $f_k$ 依 $L^p(E)$ 意义收玫于 $f$ ，或称 $f_k$ 在 $L^p(E)$ 中收玫于 $f$ ，记为

$$
\begin{aligned}
& \lim _{k \rightarrow \infty} f_k=f\left(L^p(E)\right) \\
& \text { 或 } \quad f_k \rightarrow f\left(L^p(E)\right) .
\end{aligned}
$$

显然，$f_k$ 在 $L^p(E)$ 中收玫于 $f$ ，等价于

$$
\int_E 1 f_k(x)-\left.f(x)\right|^p d x \rightarrow 0 \quad(k \rightarrow \infty)
$$

回忆在数学分析中讲傅里叶（Fourier）级数时，曾经引人过一种平均收敛：若 $f$ 是以 $2 \pi$ 为周期的函数，在 $[-\pi, \pi]$ 平方可积，$S_n(x)$ 是它的 Fourier 级数的 $n$阶部分和，则

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\pi}^\pi\left|f(x)-S_n(x)\right|^2 d x=0
$$

当时把这种收敛叫做（平方）平均收敛。现在用我们的术语就是，$S_n(x)$ 在 $L^2[-\pi, \pi]$收敛到 $f(x)$ ．可见在 $L^p(E)$ 收敛也是一种平均收敛，不过是用 $p$ 次幂代替了平方幂罢了．$L^p$ 的这种收敛，反映的也是函数的全局性质．与 $\$ 3.2$ 所述的各种收敛相比较，在 $m(E)<+\infty$ 时，若 $f_k$ 在 $E$ 一致收敛到 $f$ ，则 $f_k$ 必在 $L^P(E)$ 中收玫到 $f$（请读者把证明写出来）．此外，还有

定理 6.4 若 $f_k$ 在 $L^p(E)$ 中收敛到 $f$ ，则
（i）$f_k$ 在 $E$ 中依测度收敛到 $f$ ；
（ii）存在子列 $f_{k_n}$ 在 $E$ 中几乎处处收玫到 $f$ ．
证明（i）对任意 $\sigma>0$ ，记

$$
E_\sigma=\left\{x \| f_k(x)-f(x) \mid \geqslant \sigma\right\} .
$$

用 Chebyshev 不等式

$$
\int_E\left|f_k(x)-f(x)\right|^p d x \geqslant \int_{E_\sigma}\left|f_k(x)-f(x)\right|^p d x \geqslant \sigma^p m E_\sigma .
$$

令 $k \rightarrow \infty$ ，得 $m E_\sigma \rightarrow 0$ ，这就是所要证明的．
（ii）由（i）与 Riesz 定理 3.12 即得。
我们知道，在实数系 $R$ 中，一个数列极限存在的充分必要条件是它是 Cauchy 列．在下面我们会看到，$L^p$ 也具有这个性质．

定义6．3 设 $f_k \in L^p(E), k=1,2, \cdots, 1 \leqslant p<+\infty$ ，称 $f_k$ 是 $L^p(E)$ 的 Cauchy列（或称基本列），如果 $\forall \varepsilon>0, \exists N$ ，当 $n, m>N$ 时，有

$$
\rho\left(f_n, f_m\right)=\left\|f_n-f_m\right\|_p<\varepsilon
$$

这是实数 Cauchy 列或 $R ^n$ 中 Cauchy 列到 $L^p$ 的推广。
显然，若 $f_k$ 在 $L^P(E)$ 收敛到 $f$ ，则 $f_k$ 是 $L^P(E)$ 中的 Cauchy 列，这是因为，$\forall \varepsilon>$ $0, \exists N$ ，当 $n>N$ 时，有

$$
\left\|f_n-f\right\|_p<\frac{\varepsilon}{2}
$$

从而当 $n, m>N$ ，有

$$
\left\|f_n-f_m\right\|_p \leqslant\left\|f_n-f\right\|_p+\left\|f-f_m\right\|_p<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
$$

下面的定理说明，上述结果的逆也是正确的．
定理6．5 若 $\left\{f_k\right\}$ 是 $L^p(E)(1 \leqslant p<\infty)$ 的 Cauchy 列，则存在 $f \in L^p(E)$ ，使得 $f_k$ 在 $L^p(E)$ 中收玫于 $f$ ．

证明 设 $\left\{f_k\right\}$ 是 $L^p(E)$ 的 Cauchy 列，则存在 $f_{k_1}$ ，使得

$$
\left\|f_m-f_{k_1}\right\|_p<2^{-1}\left(\forall m>k_1\right)
$$

归纳地，便知存在 $k_n>k_{n-1}$ ，使得

$$
\left\|f_m-f_{k_n}\right\|_p<2^{-n}\left(\forall m>k_n\right)
$$

考虑级数

$$
g(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left|f_{k_{n+1}}(x)-f_{k_n}(x)\right|
$$

它在 $E$ 可测，满足

$$
\|g\|_p \leqslant \sum_{n=1}^{\infty}\left\|f_{k_{n+1}}-f_{k_n}\right\|_p<\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}=1
$$

因此 $g(x)$ 是在 $E$ 几乎处处有限的函数．由级数的绝对收玫的判别法，知级数

$$
f_{k_1}(x)+\sum_{n=1}^{\infty}\left(f_{k_{n+1}}(x)-f_{k_n}(x)\right)
$$

在 $E$ 中几乎处处收敛（参见第四章§4．3中的例7，那里讲述的实际上是 $p=1$的特殊情形），其和函数是 $L^p$ 中的一个函数 $f(x)$ ，并且级数（ 9 ）的部分和 $f_{k_{ a }}$ 也几乎处处收敛到 $f(x)$ ．由（9）知

$$
f-f_{k_n}=\sum_{j=n}^{\infty}\left(f_{k_{j+1}}-f_{k_j}\right)
$$

因此

$$
\left\|f-f_{k_a}\right\|_p \leqslant \sum_{j=n}^{\infty}\left\|f_{k_{j+1}}-f_{k_j}\right\|_p<\sum_{j=n}^{\infty} \frac{1}{2^j}=\frac{1}{2^{n-1}}
$$

故 $f_{k_n}$ 在 $L^P$ 收敛到 $f$ ．已知 $f_k$ 是 $L^p$ 中的 Cauchy 列，它又有一个子序列 $f_{k_n}$ 在 $L^p$ 中收敛到 $f$ ，于是容易证明 $f_k$ 在 $L^p$ 中收敛到 $f$ ． $\square$
定理6．5表明，$L^p$ 中的任一 Cauchy 列都在 $L^p$ 中有极限存在，或者说，$L^p$ 对极限运算封闭。对比实数系完备性的定义，我们把上述性质称为 $L^p$ 空间是完备的．由于 $L^p$ 是用 Lebesgue 积分定义的，可见，$L^p$ 的完备性正是数学史上第二次完备化导致的直接结果。如果把 Lebesgue 积分改为 Riemann 积分，类似地可以引入 $R ^p(a, b)$（由 $|f|$ 的 $p$ 次幂 Riemann 可积函数 $f$ 组成的函数空间）。但是这个 $R ^p(a, b)$ 就不是完备的．也就是说，在 $R ^p(a, b)$ 中存在 Cauchy 列，它在 $R ^p(a, b)$中没有极限．把绪论里面的例子稍作修改，便可说明这一点．

例4 记 $(0,1)$ 中的全体有理数为 $r_1, r_2, \cdots, r_k, \cdots$ 。对每一 $k$ ，取 $(0,1)$ 内的开区间 $I_k$ ，使得 $r_k \in I_k$ 且 $\left|I_k\right|<1 / 2^{k+1}$ ．记 $E_n=\bigcup_{k=1}^n I_k,(n=1,2, \cdots), E=\bigcup_{k=1}^{\infty} I_k$ ， $E_0=[0,1] \backslash E$ ．由 $m(E)<\frac{1}{2}$ ，知 $m\left(E_0\right)>0$ ．令 $f_n(x)=\chi_{E_a}(x), f(x)=\chi_E(x)$ ，其中 $X_E(x)$ 是 $E$ 的特征函数．
不难证明在 $[0,1]$ 各点 $\lim _{n \rightarrow \infty} f_n(x)=f(x)$ ．注意 $f_n \in R ^p(0,1)$ ，且当 $m>n$时，有

$$
f_m(x)-f_n(x)=\chi_{E_m \backslash E_n}(x) .
$$

而

$$
m\left(E_m \backslash E_n\right)=m\left(\bigcup_{k=n+1}^m I_k\right) \leqslant \sum_{k=n+1}^m\left|I_k\right| \leqslant \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{2^{k+1}}=\frac{1}{2^{n+1}} \rightarrow 0 \quad(n \rightarrow \infty),
$$

因此

$$
(R) \int_0^1\left|f_n(x)-f_m(x)\right|^p d x \leqslant \frac{1}{2^{n+1}} \rightarrow 0 \quad(n \rightarrow \infty),
$$

即 $f_n$ 是 $R ^p(0,1)$ 的 Cauchy 列．由 Riemann 积分与 Lebesgue 积分的关系，它也是

$L^p(0,1)$ 的 Cauchy 列．根据定理 6.5 ，存在 $g \in L^p(0,1)$ ，使得 $f_n$ 在 $L^p(0,1)$ 中收玫到 $g$ ，即
（L） $\int_0^1\left|f_n(x)-g(x)\right|^p d x \rightarrow 0$（当 $\left.n \rightarrow \infty\right)$ ．
下面我们来证明，任何这样的 $g$ 都不可能在 $[0,1]$ 是 Riemann 可积的．
根据定理 6.4 ，存在子序列 $f_{k_n}$ 在 $[0,1]$ 几乎处处收玫到 $g$ ，从而 $f(x)=g(x)$ ， a．e．$x \in[0,1]$ ．设 $S \subset[0,1], m(S)=0$ ，使得

$$
f(x)=g(x), x \in[0,1] \backslash S,
$$

则 $m\left(E_0 \backslash S\right)>0$ ．我们来证明，$g(x)$ 在 $E_0 \backslash S$ 每一点都不连续．事实上，设 $x_0 \in E_0 \backslash S$ ，则 $\forall n$ ，取充分大的 $k_n$ ，使得

$$
\left|x_0-r_{k_n}\right|<\frac{1}{2^{n+1}}, \quad\left|I_{k_n}\right|<\frac{1}{2^{k_n+1}}<\frac{1}{2^{n+1}}
$$

由于 $m(S)=0, I_{k_n} \backslash S \neq \varnothing$ ，因此可取 $x_n \in I_{k_n} \backslash S$ ，从而

$$
\left|x_n-x_0\right| \leqslant\left|x_n-r_{k_n}\right|+\left|r_{k_n}-x_0\right|<\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^n}
$$

于是 $x_n \rightarrow x_0$ ．注意 $x_n \in I_{k_n}, x_n \notin S$ ，有 $g\left(x_n\right)=f\left(x_n\right)=1$ ，而 $x_0 \in E_0 \backslash S$ ，故 $g\left(x_0\right)=f\left(x_0\right)=0$ ．可见 $g\left(x_n\right) \rightarrow 1 \neq g\left(x_0\right)$ ，故 $g(x)$ 在 $x_0$ 不连续．这说明 $E_0 \backslash S$ 的每一个点都是 $g(x)$ 的不连续点，而 $m\left(E_0 \backslash S\right)>0$ ．根据第四章的定理 4.18 ，知 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 不是 Riemann 可积的．这就证明了 $R ^p(0,1)$ 是不完备的．

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