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闵可夫斯基不等式

## 闵可夫斯基（Minkowski）不等式
定理 6．3（闵可夫斯基（Minkowski）不等式）若 $f, g \in L^p(E)$ ，则

$$
\|f+g\|_p \leqslant\|f\|_p+\|g\|_p(1 \leqslant p \leqslant \infty)
$$

证明 当 $p=1$ 时，在不等式 $|f(x)+g(x)| \leqslant|f(x)|+|g(x)|$ 两边积分，便得（8）．当 $1<p<+\infty$ 时，

$$
\begin{aligned}
& \int_E|f(x)+g(x)|^p d x=\int_E|f(x)+g(x) \| f(x)+g(x)|^{p-1} d x \\
& \quad \leqslant \int_E\left|f ( x ) \left\|f(x)+\left.g(x)\right|^{p-1} d x+\int_E|g(x) \| f(x)+g(x)|^{p-1} d x .\right.\right.
\end{aligned}
$$

对 $p$ 与它的共轭指标 $p^{\prime}=\frac{P}{p-1}$ 用 Hölder 不等式于右边两个积分，得

$$
\begin{aligned}
& \int_E\left|f(x)\left\|f(x)+\left.g(x)\right|^{p-1} d x \leqslant\right\| f\left\|_p\right\| f+g \|_p^{p-1},\right. \\
& \int_E\left|g(x)\left\|f(x)+\left.g(x)\right|^{p-1} d x \leqslant\right\| g\left\|_p\right\| f+g \|_p^{p-1},\right.
\end{aligned}
$$

代回去有

$$
\|f+g\|_p^p \leqslant\left(\|f\|_p+\|g\|_p\right)\|f+g\|_p^{p-1} .
$$

当 $\|f+g\|_p \neq 0$ 时，便得（8）．当 $\|f+g\|_p=0$ 时，（8）式显然成立．定理证完．

Minkowski 不等式表明，范数 $\|f\|_P$ 满足范数公理 $3^{\circ}$ ．这样，我们便验证了 $\|f\|_p$ 满足范数公理的 $1^{\circ} \sim 3^{\circ}$ ，也就是说，$\|f\|_p$ 的确是一个范数．加上 $L^p$ 中的元素对线性运算封闭（定理6．1），我们可以说，$L^p$ 是一个线性赋范空间．

类似于 $R ^n$ 以及前面的（3），我们用

$$
\rho(f, g)=\|f-g\|_p
$$

来定义 $L^p$ 中两个元素 $f, g \in L^p$ 之间的距离．由 $L^p$ 范数的性质，容易知道，这样定义的距离 $\rho(f, g)$ 满足一般距离所必须满足的三条性质（＂距离公理＂）：
$1^{\circ}$（非负性）$\rho(f, g) \geqslant 0$ ，且 $\rho(f, g)=0$ 当且仅当 $f(x)=g(x)$ ，a．e．$x \in$ $E$ ，即 $f \sim g$ ．根据前面的约定，这时 $f$ 与 $g$ 在 $E$ 的同一个等价类之内，即 $f$ 与 $g$ 代表 $L^P$ 中的同一个元素；
$2^{\circ}$（对称性）$\quad \rho(f, g)=\rho(g, f)$ ；
$3^{\circ}$（三角不等式）$\quad \rho(f, g) \leqslant \rho(f, h)+\rho(h, g)$ ，这是因为，用 Minkowski不等式，有

$$
\begin{aligned}
\rho(f, g) & =\|f-g\|_p=\|f-h+h-g\|_p \\
& \leqslant\|f-h\|_p+\|h-g\|_p=\rho(f, h)+\rho(h, g)
\end{aligned}
$$

类似于 $R ^n$ ，有了距离便可以定义极限了．

定义 6.2 设 $f_k \in L^p(E), k=1,2, \cdots, f \in L^p(E), 1 \leqslant p<+\infty$ ．若

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \rho\left(f_k, f\right)=\lim _{k \rightarrow \infty}\left\|f_k-f\right\|_p=0
$$

则称 $f_k$ 依 $L^p(E)$ 意义收敛于 $f$ ，或称 $f_k$ 在 $L^p(E)$ 中收敛于 $f$ ，记为

$$
\begin{aligned}
& \lim _{k \rightarrow \infty} f_k=f\left(L^p(E)\right) \\
& \text { 或 } \quad f_k \rightarrow f\left(L^p(E)\right) .
\end{aligned}
$$

显然，$f_k$ 在 $L^p(E)$ 中收敛于 $f$ ，等价于

$$
\int_E 1 f_k(x)-\left.f(x)\right|^p d x \rightarrow 0 \quad(k \rightarrow \infty)
$$

回忆在数学分析中讲傅里叶（Fourier）级数时，曾经引人过一种平均收敛：若 $f$ 是以 $2 \pi$ 为周期的函数，在 $[-\pi, \pi]$ 平方可积，$S_n(x)$ 是它的 Fourier 级数的 $n$阶部分和，则

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\pi}^\pi\left|f(x)-S_n(x)\right|^2 d x=0
$$

当时把这种收敛叫做（平方）平均收敛。现在用我们的术语就是，$S_n(x)$ 在 $L^2[-\pi, \pi]$收敛到 $f(x)$ ．可见在 $L^p(E)$ 收敛也是一种平均收敛，不过是用 $p$ 次幂代替了平方幂罢了．$L^p$ 的这种收敛，反映的也是函数的全局性质．与 $\$ 3.2$ 所述的各种收敛相比较，在 $m(E)<+\infty$ 时，若 $f_k$ 在 $E$ 一致收敛到 $f$ ，则 $f_k$ 必在 $L^P(E)$ 中收敛到 $f$（请读者把证明写出来）．此外，还有

定理 6.4 若 $f_k$ 在 $L^p(E)$ 中收敛到 $f$

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