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L2空间

## $L^2$ 空 间
在 $L^p$ 的系列空间中，$p=2$ 占有很重要的位置，因为这时的 $L^2$ ，不仅是线性赋范空间，还是个内积空间，与欧氏空间 $R ^n$ 更加相似。

回忆在 $R ^n$ 中，我们可以定义两个向量

$$
x =\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \text { 与 } y =\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)
$$

的内积

$$
\langle x , y \rangle=\sum_{i=1}^n x_i y_i .
$$

这时，不仅可以考虑向量的长度

$$
\| x \|=\langle x , x \rangle^{\frac{1}{2}}=\left(\sum_{i=1}^n\left|x_i\right|^2\right)^{\frac{1}{2}},\| y \|=\langle y , y \rangle^{\frac{1}{2}}=\left(\sum_{i=1}^n\left|y_i\right|^2\right)^{\frac{1}{2}},
$$

还可以定义两个向量之间的夹角，其余弦为

$$
\cos \theta=\frac{\langle x , y \rangle}{\|x\|\|y\|}
$$

特别地，当 $\langle x , y \rangle=0$ 时， $x$ 与 $y$ 垂直，或称 $x$ 与 $y$ 正交．由此可以定义 $R ^{ n }$ 的标准
正交基，把平面或空间直角坐标系的概念推广到 $R ^n$ ．在 $L^2(E)$ ，我们可以建立类似的结构。

下面仍是沿用上一节的记号．一般地，$L^2(E)$ 简记为 $L^2$ 。
定义6．4 对任意的 $f \in L^2, g \in L^2$ ，称

$$
\int_{\varepsilon} f(x) g(x) d x
$$

为 $f$ 与 $g$ 的内积，记作 $\langle f, g\rangle$ ．
注意到 $p=2$ 时，它的共轭指标 $p^{\prime}=2$ ，根据 Schwarz 不等式，有

$$
|\langle f, g\rangle| \leqslant\|f\|_2\|g\|_2<+\infty
$$

因此，内积 $\langle f, g\rangle$ 是一个数．由 $L$ 积分的性质，不难验证 $\langle f, g\rangle$ 具有下列的性质 （内积公理）：
$1^{\circ}\langle f, g\rangle=\langle g, f\rangle ;$
$2^{\circ}\langle f, f\rangle \geqslant 0$ ，且 $\langle f, f\rangle=0$ 当且仅当 $f \sim 0$ ；
$3^{\circ}$ 对任意实数 $a,\langle a f, g\rangle=a\langle f, g\rangle$ ；
$4^{\circ}\left\langle f_1+f_2, g\right\rangle=\left\langle f_1, g\right\rangle+\left\langle f_2, g\right\rangle$ ．
根据上一节的结果，知 $L^2$ 组成一个完备的（实）内积空间．

定理 6．6（内积的连续性）若

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} f_k=f\left(L^2\right),
$$

即

$$
\lim _{k \rightarrow \infty}\left\|f_k-f\right\|_2=0
$$

则对任意的 $g \in L^2$ ，有

$$
\lim _{k \rightarrow \infty}\left\langle f_k, g\right\rangle=\langle f, g\rangle .
$$

证明 用 Schwarz 不等式

便得到所需结果．

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