最后更新: 2025-03-21 09:50 查看: 382 次反馈刷题

标准正交系

定义6．5 若 $f, g \in L^2$ 且 $\langle f, g\rangle=0$ ，则称 $f$ 与 $g$ 是正交的．若函数系 $\left\{\varphi_\alpha\right\} \subset$ $L^2$ ，其中的任意两个函数都是正交的，则称 $\left\{\varphi_\alpha\right\}$ 为 $L^2$ 的正交系；若还有 $\left\|\varphi_\alpha\right\|_2=1$对所有 $\alpha$ 成立，则称 $\left\{\varphi_\alpha\right\}$ 为 $L^2$ 的标准正交系．

若 $L^2$ 的正交系 $\left\{\varphi_\alpha\right\}$ 中的每一个 $\varphi_\alpha$ ，有 $\left\|\varphi_\alpha\right\|_2 \neq 0$ ，则 $\frac{\varphi_\alpha}{\left\|\varphi_\alpha\right\|_2}$ 的 $L^2$ 范数为 1 ，从而 $\left\{\frac{\varphi_a}{\left\|\varphi_\alpha\right\|_2}\right\}$ 就化成了标准正交系了．乘上一个因子后使范数化成了 1 ，我们说把它＂标准化＂了．这就是标准这个词的来源，以后，在正交系 $\left\{\varphi_\alpha\right\}$ 中总假定其不含零元，即 $\left\|\varphi_\alpha\right\|_2 \neq 0$ 。

例 5 在 $L^2(-\pi, \pi)$ 中，三角函数系
$$
\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos x, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin x, \cdots, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \cos k x, \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sin k x, \cdots
$$

组成一个标准的正交系．
在 $R ^n$ 中，当 $e_1, e_2, \cdots, e_n$ 是 $n$ 个互相正交的单位向量时， $R ^n$ 中任一向量 $x$均可惟一地表示为

$$
x =c_1 e _1+c_2 e _2+\cdots+c_n e _n
$$

其中 $c_k=\left\langle x , e _k\right\rangle$ 为 $R ^n$ 的内积，称为 $x$ 在基 $\left\{ e _{ k }\right\}_{k=1}^n$ 中的第 $k$ 个坐标．现在我们把这一事实推广到 $L^2$ 。

定义6．6 设 $\left\{\varphi_k\right\}_{k=1}^{\infty}$ 是 $L^2$ 的一组标准正交系，$f \in L^2$ ，称

$$
C_k=\left\langle f, \varphi_k\right\rangle
$$

为 $f$ 相对于 $\left\{\varphi_k\right\}$ 的第 $k$ 个坐标，或简称为坐标．
设 $\left\{\varphi_k\right\}_{k=1}^{\infty}$ 是 $L^2$ 的一组标准正交系，对任意 $\varphi_k$ 的有穷线性组合

$$
\sum_{k=1}^m C_k \varphi_k(x)
$$

它显然是 $L^2$ 的一个元 $f$ ．由 $\left\{\varphi_k\right\}$ 是标准正交系，知 $\left\langle f, \varphi_k\right\rangle=C_k$ ，即 $C_k$ 必是它的坐标．如果这是个无穷和，结果怎么样？但什么叫 $L^2$ 中的无穷和？仿照数学分析中的级数理论，我们有下面的定义．

定义6．7 设 $\left\{\varphi_k\right\}_{k=1}^{\infty}$ 是 $L^2$ 的一组标准正交系，$f \in L^2$ ．称级数 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k \varphi_k$ 在 $L^2$ 收玫到 $f$ ，如果部分和序列 $S_m(x)=\sum_{k=1}^m a_k \varphi_k$ 在 $L^2$ 中收玫到 $f$ ，即

$$
\left\|S_m(x)-f\right\|_2=\left\|\sum_{k=1}^m a_k \varphi_k-f\right\|_2 \rightarrow 0 \quad(m \rightarrow \infty) .
$$

这时记

$$
\sum_{k=1}^{\infty} a_k \varphi_k=f\left(L^2\right)
$$

定理 6.7 设 $\left\{\varphi_k\right\}_{k=1}^{\infty}$ 是 $L^2$ 的一组标准正交系，级数 $\sum_{k=1}^{\infty} a_k \varphi_k$ 在 $L^2$ 收敛到 $f$ ，则

$$
a_k=\left\langle f, \varphi_k\right\rangle,
$$

即 $a_k$ 必是 $f$ 相对于 $\left\{\varphi_k\right\}$ 的第 $k$ 个坐标．
证明 对任意固定的 $k$ ，只要 $m>k$ ，便有

$$
\left\langle\sum_{j=1}^m a_j \varphi_j, \varphi_k\right\rangle=a_k .
$$

令 $m \rightarrow \infty$ 取极限，注意到内积的连续性，便得

$$
\left\langle f, \varphi_k\right\rangle=a_k . \square
$$

定理 6.7 表明，如果函数 $f \in L^2$ 可以如（11）那样，在 $L^2$ 中表示成一个级
数，则级数的系数必是 $f$ 的坐标．有些书称坐标为广义 Fourier 系数，而由 $f$ 的广义 Fourier 系数组成的级数

$$
\sum_{k=1}^{\infty} C_k \varphi_k \quad \text {, 其中 } C_k=\left\langle f, \varphi_k\right\rangle \text {, }
$$

称为 $f$ 的广义 Fourier 级数．这样，定理 6.7 也可以说成，若 $f$ 能在 $L^2$ 展开成如 （11）式那样的级数，则该级数必是 $f$ 的广义 Fourier 级数．
$R ^n$ 中的基由 $n$ 个向量组成，现在 $L^2$ 的标准正交系可由无穷个元组成（例如在 $L^2(-\pi, \pi)$ 中，三角函数系组成它的一组标准正交系，它由无穷个元组成，这时称 $L^2(-\pi, \pi)$ 是无穷维的）．这就产生了与 $R ^n$ 不同的新问题．

问题 $1 ^{\circ}$ 什么时候级数

$$
\sum_{k=1}^{\infty} a_k \varphi_k(x)
$$

表示 $L^2$ 的一个元？即这个级数什么时候在 $L^2$ 中收敛到一个函数 $f$ ？
问题 $2^{\circ}$ 是否 $L^2$ 中的每一个函数都有类似的级数表示？
下面我们来回答这两个问题．

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