最后更新: 2025-01-21 08:44 ● 参与者查看: 25 次纠错分享参与项目词条搜索

闭集套定理与有限覆盖定理

定理1．19（闭集套定理）设 $\left\{E_k\right\}$ 是 $R ^n$ 中的渐缩非空闭集列（称为闭集套），且 $E_1$ 有界，则 $\bigcap_{k=1}^{\infty} E_k \neq \varnothing$ 。

证明 对任意正整数 $i$ ，取 $x_i \in E_i$ ，若点列 $\left\{x_i\right\}$ 中有无限个相同，则由于 $\left\{E_i \mid\right.$ 渐缩，相同的这个点必属于所有 $E_i$ ．否则，$\left\{x_i\right\}$ 是有界无限点列（因 $\left\{x_i\right\} \subset$ $E_1$ ；而 $E_1$ 有界），由聚点原理，$\left\{x_i\right\}$ 有聚点 $x_0$ ．但对任意 $k$ ，满足 $i \geqslant k$ 的无限个 $x_i$都在 $E_k$ 内，$E_k$ 又是闭集，故 $x_0 \in E_k$ ，因此 $\bigcap_{i=1}^{\infty} E_i \neq \varnothing$ ．

推论 若 $\left\{E_k\right\}$ 为闭集套，且 $\lim _{k \rightarrow \infty} \operatorname{diam} E_k=0$ ，则存在惟一的点 $x_0$ 属于一切 $E_k$ ．

证明 因为 $\lim _{k \rightarrow \infty} \operatorname{diam} E_k=0$ ，所以存在 $k_0$ ，使 $k>k_0$ 时 $\operatorname{diam} E_k<\infty$ ，即 $\left\{E_k \mid k>k_0\right\}$ 为有界集列，故 $\bigcap_{k=1}^{\infty} E_k=\bigcap_{k=k_0}^{\infty} E_k \neq \varnothing$ ．又若有两点 $x_0$ 及 $x_0^{\prime}$ 同时有 $x_0 \in$ $\bigcap_{k=1}^{\infty} E_k, x_0^{\prime} \in \bigcap_{k=1}^{\infty} E_k$ ，则 $\left|x_0-x^{\prime}{ }_0\right| \leqslant \operatorname{diam} E_k \rightarrow 0(k \rightarrow \infty)$ ，故 $x_0=x_0^{\prime}, x_0$ 的惟一性获证。

定理1．20（有限覆盖定理）若 $E \subset R ^n$ 是有界闭集，被一族开球 $\left\{B_\lambda \mid \lambda \in\right.$
$I\}$ 覆盖，即 $E \subset \bigcup_{\lambda \in I} B_\lambda$ ，则总可以从这一族开球中选出有限个 $\left\{B_{\lambda_i}\left(\lambda_i \in I, i=1\right.\right.$ ， $2, \cdots, k)\}$ 将 $E$ 覆盖，即 $E \subset \bigcup_{i=1}^k B_{\lambda_i}$ ．

这个定理当 $E$ 是直线上的闭区间的特殊情形，已经在数学分析中证明了．当 $n>1$ 且 $E$ 是 $R ^n$ 上的闭矩体时，这个定理的结论也是正确的．也就是有下述定理：

定理1．21 若 $Q \subset R ^n$ 是闭矩体，$\left\{B_\lambda \mid \lambda \in I\right\}$ 是一族开球，使得 $Q \subset$ $\bigcup_{\lambda \in I} B_\lambda$ ，则可由这族开球中选出有限个，$B_{\lambda_1}, B_{\lambda_2}, \cdots, B_{\lambda_k}\left(\lambda_i \in I, i=1,2, \cdots, k\right)$ ，使得 $Q \subset \bigcup_{i=1}^k B_{\lambda_i}$ ．

证明 只证 $n=2$ 的情形，对一般的 $n$ 证明类似．用矩形套定理（定理1．19的推论）与反证法。设 $Q$ 不能被有限个 $B_\lambda$ 覆盖。记 $Q_1=Q$ ，把 $Q_1$ 四等分为四个闭矩形（边界可以重叠），则其中至少有一个不能被有限个 $B_\lambda$ 覆盖，记为 $Q_2$ ．再把 $Q_2$ 四等分为四个闭矩形，则其中至少有一个不能被有限个 $B_\lambda$ 覆盖，记为 $Q_3$ $\cdots$ 如此继续下去，便得一个闭矩形套 $Q_k$ ，其中的每一个 $Q_k$ 均不能被有限个 $B_\lambda$覆盖．由矩形套定理，知存在惟一的 $x_0 \in \bigcap_{k=1}^{\infty} Q_k$ ．根据 $x_0 \in Q_1=Q$ ，存在 $\left\{B_\lambda\right\}$ 中的开球 $B_{\lambda_0}$ ，使得 $x_0 \in B_{\lambda_0}$ ．注意到 $B_{\lambda_0}$ 是开的，则存在 $r_0>0$ ，使得 $B\left(x_0, r_0\right) \subset$ $B_{\lambda_0}$ ．由 $\operatorname{diam} Q_k \rightarrow 0$ ，当 $k$ 充分大时，便有 $Q_k \subset B\left(x_0, r_0\right) \subset B_{\lambda_0}$ ，这时 $Q_k$ 被一个 $B_{\lambda_0}$覆盖，与 $Q_k$ 不能被有限个 $B_\lambda$ 覆盖矛盾． $\square$
下面我们用定理 1.21 来证明定理 1.20 ．
定理 1.20 的证明 因为 $E$ 有界，故可设它包含在某个闭的（ $n$ 维）矩体 $Q$内，则 $Q \backslash E=Q \cap E^c \subset E^c$ ，由于 $E^c$ 为开集，故对于任意 $x \in Q \backslash E$ 有邻域（开球）$N_x$ ，使 $x \in N_x \subset E^c$ ，因此 $\left\{B_\lambda \mid \lambda \in I\right\}$ 与 $\left\{N_x \mid x \in Q \backslash E\right\}$ 合起来覆盖了 $Q$ ．从而可由其中选出有限个 $B_{\lambda_1}, B_{\lambda_2}, \cdots, B_{\lambda_k}, N_{x_1}, N_{x_2}, \cdots, N_{x_i}\left(\lambda_i \in I, i=1,2, \cdots, k\right.$ ； $\left.x_j \in Q \backslash E, j=1,2, \cdots, l\right)$ ，使得 $Q \subset\left(\bigcup_{i=1}^k B_{\lambda_i}\right) \cup\left(\bigcup_{j=1}^t N_{x_j}\right)$ ．但是 $\bigcup_{j=1}^l N_{x_j} \subset E^c$ ，故可知 $E \subset \bigcup_{i=1}^k B_{\lambda_i}$ ．$\square$

若覆盖了点集 $E$ 的球族 $\left.\left|B_\lambda\right| \lambda \in I\right\}$ 的某一子集也能覆盖 $E$ ，就称这个子集为 $\left\{B_\lambda \mid \lambda \in I\right\}$ 的子覆盖，因此定理 1.20 可简述为：有界闭集的任意开球族覆盖都有有限子覆盖．很明显，若将这里的＂开球族＂改为＂开集族＂，上述结论仍然正确。有界闭集的这个性质是集合紧性的反映，它是有界闭集上连续函数一系列良好性质的基础。

在本节的最后，我们要构造一个性质十分奇异的直线上的闭集——康托尔

上一篇：开集构造定理

下一篇：康托尔三分集

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)