最后更新: 2025-03-20 08:25 查看: 75 次反馈刷题

点集上的连续函数

## 点集上的连续函数

后面讨论点集上一般的函数，需要先对点集上的连续函数有所了解，而后者的性态与熟知的区间上的连续函数有很多相似之处，这里只作简要的讲述．

定义1．16 设 $E \subset R ^n, f$ 是定义在 $E$ 上的（实值）函数，$x_0 \in E$ ．若对于任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使得当 $x \in E \cap B\left(x_0, \delta\right)$ 时，$\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon$ ，则称函数 $f$ 在 $E$上的点 $x_0$ 连续，或 $f$ 相对于 $E$ 在 $x_0$ 连续．若 $f$ 在 $E$ 的每一点连续，则称 $f$ 在 $E$ 连续或相对于 $E$ 连续．

从定义可见，所谓函数在（或相对于）某个点集连续，完全是限制在这个点集内部来看函数，看当自变量从该点集内部趋向点集的某一点时，其函数值是否也趋向函数在这一点的值．用极限的语言叙述就是，$f(x)$ 在 $E$ 上的点 $x_0$ 连续，是指

$$
\lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\ x \in E}} f(x)=f\left(x_0\right),
$$

即对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，只要 $\left|x-x_0\right|<\delta$ 并且 $x \in E$ ，就有 $\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon$ ． $f(x)$ 在 $E$ 连续，是指对任意 $x_0 \in E$ ，有

$$
\lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\ x \in E}} f(x)=f\left(x_0\right) .
$$

根据函数极限与序列极限的关系立刻知道，$f(x)$ 在 $E$ 上的点 $x_0$ 连续，当且仅当对于任意点列 $\left\{x_k\right\} \subset E$ ，只要 $x_k \rightarrow x_0$ ，便有 $f\left(x_k\right) \rightarrow f\left(x_0\right)$（当 $\left.k \rightarrow \infty\right)$ ．

由定义知，$f(x)$ 在 $E$ 的孤立点（只要取值有限）永远是连续的．同样，若 $f(x)$在 $E$ 连续，而 $E_0 \subset E$ ，则 $f(x)$ 在 $E_0$ 连续．数学分析中说的函数的连续性，就是相对于区间（或在区间上）的连续性，

例 18 Dirichlet 函数

$$
D(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0, & x \in[0,1] \backslash Q , \\
1, & x \in[0,1] \cap Q .
\end{array} \quad( Q \text { 为有理数集) }\right.
$$

在区间 $[0,1]$ 上处处不连续．但无论是相对于 $[0,1]$ 内的有理点集或无理点集 （将函数的定义域分别限制在这些点集上）,$D(x)$ 都是连续的．

例19 设 $E_1=\{x \mid x>0\}, E_2=\{x \mid x \leqslant 0\}, f(x)=1\left(x \in E_1\right)$ 或 $-1(x \in$ $\left.E_2\right)$ ，则 $f$ 分别在 $E_1, E_2$ 上连续，但在 $E_1 \cup E_2$ 上不连续．

由上面的例题可以看到，分别在 $E_1, E_2$ 上连续的函数 $f$ ，不一定在并集 $E_1 \cup$ $E_2$ 上连续．但有下面的结果．
定理 1.22 若 $E_1, E_2$ 都是闭集，函数 $f$ 定义在 $E_1 \cup E_2$ 上，且分别在 $E_1, E_2$上连续，则 $f$ 相对于 $E_1 \cup E_2$ 也一定连续。

证明 若 $x_0 \in E_1 \cup E_2$ ，不妨设它为聚点，因 $E_1, E_2$ 为闭集，则 $E_1 \cup E_2$ 内任一以 $x_0$ 为极限的点列 $\left\{y_k\right\}$ 只能有两种情况：其一，从某一项起全部 $y_k$ 属于 $E_1$或 $E_2$（相应 $x_0 \in E_1$ 或 $x_0 \in E_2$ ）．不妨设 $y_k$ 都属于 $E_1$ ，因此

$$
\lim _{\substack{y_k \rightarrow x_0 \\ y_k \in E_1 \cup E_2}} f\left(y_k\right)=\lim _{\substack{y_k \rightarrow x_0 \\ y_k \in E_1}} f\left(y_k\right)=f\left(x_0\right) .
$$

故 $f$ 在 $x_0$ 相对于 $E_1 \cup E_2$ 连续；其二，$\left\{y_k\right\}$ 由两个分别属于 $E_1$ 和 $E_2$ 的无穷子列组成，此时，$x_0 \in E_1 \cap E_2$ ，因为 $\lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\ x \in E_1}} f(x)=\lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\ x \in E_2}} f(x)=f\left(x_0\right)$ ，容易看出也有 $\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(y_k\right)=f\left(x_0\right)$ ，因而 $f$ 在 $E_1 \cup E_2$ 上连续．

从数学分析知道，闭区间（或有界闭区域）上的连续函数有一些良好的性质。它们的证明主要基于闭区间的紧性或闭区间套定理。现在已经证明， $R ^n 巾$ 的有界闭集同样具有闭区间的这些特性。因此，用同样的方法可以证明，有界闭集上的连续函数也有类似性质，即下述定理成立（证明细节请读者自己作出）。

定理1．23 设 $f$ 是 $R ^n$ 中的有界闭集 $E$ 上的连续函数，则
（i）$f$ 在 $E$ 上有界，即值域 $f(E)=|f(x)| x \in E\}$ 是 $R$ 中的有界集；
（ii）$f$ 在 $E$ 上取到最大值和最小值，即存在 $x_0, x_0^{\prime} \in E$ ，使得

$$
f\left(x_0\right)=\sup \{f(x) \mid x \in E\}, \quad f\left(x_0^{\prime}\right)=\inf \{f(x) \mid x \in E\} ;
$$

（iii）$f$ 在 $E$ 上一致连续，即对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使得任意 $x, x^{\prime} \in E$ ，只要 $\left|x-x^{\prime}\right|<\delta$ ，就有 $\left|f(x)-f\left(x^{\prime}\right)\right|<\varepsilon$ 。

另外，也可以用与数学分析中同样的方法证明下述定理．
定理 1.24 设 $E \subset R ^n, f_1, f_2 \cdots$ 是 $E$ 上的连续函数列，且当 $k \rightarrow \infty$ 时，$\left\{f_k\right\}$ 在 $E$ 上一致收敛于函数 $f$ ，则 $f$ 在 $E$ 上连续．

例 20 对于任意的 $x_0 \in R ^n$ 和 $E \subset R ^n$ ，定义 $x_0$ 到 $E$ 的距离为

$$
d\left(x_0, E\right)=\inf \left\{d\left(x_0, y\right) \mid y \in E\right\}
$$

证明：若 $E$ 为闭集，则存在 $y_0 \in E$ ，使得 $d\left(x_0, y_0\right)=d\left(x_0, E\right)$ ．
对于 $R ^n$ 中任意点集 $A$ 与 $B$ ，定义 $A$ 与 $B$ 之间的距离为

$$
d(A, B)=\inf \{d(x, y) \mid x \in A, y \in B\}
$$

证明：若 $A, B$ 都是闭集，其中至少一个有界，则存在 $x_0 \in A, y_0 \in B$ ，使得 $d\left(x_0\right.$ ， $\left.y_0\right)=d(A, B)$ 。

证明 先证前半部分．设 $x_0 \notin E\left(\right.$ 否则 $\left.d\left(x_0, E\right)=\left|x_0-x_0\right|=0\right)$ ，任取 $y_1 \in$ $E$ ，显然

$$
d\left(x_0, E\right)=\inf \left\{d\left(x_0, y\right) \mid y \in E\right\} \leqslant d\left(x_0, y_1\right)
$$

因此，若令 $E_1=E \cap \bar{B}\left(x_0, d\left(x_0, y_1\right)\right)$ ，则 $E_1$ 为有界闭集，且

$$
\begin{aligned}
d\left(x_0, E\right) & =\inf \left\{d\left(x_0, y\right) \mid y \in E\right\}=\inf \left\{d\left(x_0, y\right) \mid y \in E_1\right\} \\
& =d\left(x_0, E_1\right) \leqslant d\left(x_0, y_1\right)
\end{aligned}
$$

（见图1．8）．由于点之间的距离满足三角不等式，对任意 $y, y^{\prime} \in R ^n$ 有

$$
d\left(x_0, y\right) \leqslant d\left(x_0, y^{\prime}\right)+d\left(y, y^{\prime}\right)
$$

以及对调 $y$ 和 $y^{\prime}$ 之后的不等式，因此若令 $f(y)=d\left(x_0\right.$ ， $y$ ），则

$$
\left|f(y)-f\left(y^{\prime}\right)\right| \leqslant d\left(y, y^{\prime}\right)=\left|y-y^{\prime}\right|
$$

可见 $f$ 是 $R ^n$ 上的连续函数，限制在 $E_1$ 上也连续．从而存在 $y_0 \in E_1 \subset E$ ，使

$$
f\left(y_0\right)=\inf _{y \in E_1} f(y)=\inf \left\{d\left(x_0, y\right) \mid y \in E_1\right\},
$$

也就是 $d\left(x_0, y_0\right)=d\left(x_0, E\right)$ ．
再证后半部分．设 $A$ 为有界闭集，因为

$$
\begin{aligned}
d(A, B) & \left.=\inf ^d d(x, y) \mid x \in A, y \in B\right\}=\inf _{x \in A}\{d(x, y) \mid y \in B\} \\
& =\inf _{x \in A} d(x, B)
\end{aligned}
$$

而由三角不等式

$$
d(x, y) \leqslant d\left(x^{\prime}, y\right)+d\left(x, x^{\prime}\right)
$$
 ![图片](/uploads/2025-01/59e7af.jpg)
 
 出发，对 $y \in B$ 取下确界可证，

$$
\left|d(x, B)-d\left(x^{\prime}, B\right)\right| \leqslant d\left(x, x^{\prime}\right)
$$

故 $d(x, B)$ 是 $x$ 的连续函数，特别在有界闭集 $A$ 上连续．故存在 $x_0 \in A$ 使

$$
d\left(x_0, B\right)=\inf \{d(x, B) \mid x \in A\}=d(A, B)
$$

又因 $B$ 也是闭集，故存在 $y_0 \in B$ 使 $d\left(x_0, y_0\right)=d\left(x_0, B\right)$ 也就是 $d\left(x_0, y_0\right)=d(A$ ， B）． $\square$
下面要对任意函数 $f$ ，用与 $f$ 有关的点集是开或闭的特性来描述 $f$ 的连续性．为此我们采用下面的简单写法，将点集 $\{x \in E \mid f(x)>a\}$ 写成 $E(f>a) ;\{x \in$ $E \mid f(x)<b\}$ 写成 $E(f<b) ;\{x \in E|a<f(x)<b|$ 写成 $E(a<f<b)$ ，一般把 $\{x \in$ $E \mid p(x)\}(p(x)$ 是与 $x$ 有关的命题）简记为 $E\{x \mid p(x)\}$ ．后面几章也将沿用这些记法．

定理 1.25 若函数 $f$ 在点集 $E \subset R ^n$ 上连续，则对于任意实数 $a$ ，存在开集 $G_a \subset R ^n$ ，使得 $E(f>a)=G_a \cap E$ ；也存在开集 $H_a \subset R ^n$ ，使得 $E(f<b)=H_a \cap E$ ．

证明 对任意 $x \in E(f>a)$ ，由于 $f$ 在 $E$ 上点 $x$ 连续，必存在 $\delta=\delta\left(x_0, a\right)>$ 0 ，使得 $y \in E \cap B\left(x_0, \delta\right)$ 时，有 $f(y)>a$ ，因此若令 $G_a=\bigcup_{x \in E} B(x, \delta)$ ，则 $G_a$ 为开集，并且 $E(f>a)=G_a \cap E$ ．

同理可证，存在开集 $H_a$ ，使得 $E(f<b)=H_a \cap E$ ．
推论 1 若函数 $f$ 在 $E \subset R ^n$ 上连续，则对于任意实数 $a$ ，存在闭集 $F_a$ 及 $K_a$ ，使得

$$
E(f \geqslant a)=F_a \cap E, E(f \leqslant a)=K_a \cap E .
$$

证明 因

$$
\{x \in E \mid f(x) \geqslant a\}=E \backslash\{x \in E \mid f(x)<a\},
$$

故存在开集 $H_a$ ，使得

$$
\{x \in E \mid f(x) \geqslant a\}=E \backslash\left(H_a \cap E\right)=E \cap H_a^c,
$$

其中 $H_a^c= R ^n \backslash H_a$ 为闭集，前一式得证，后一式的证明是类似的．
推论 2 若函数 $f$ 在开集 $E$ 上连续，则对任意实数 $a,\{x \in E \mid f(x)>a\},\{x$ $\in E \mid f(x)<a\}$ 为开集；若 $f(x)$ 在闭集 $E$ 上连续，则对任意实数 $a,\{x \in$ $E \mid f(x) \geqslant a\},\{x \in E \mid f(x) \leqslant a\}$ 为闭集。

证明 因为开集与开集的交为开集，闭集与闭集的交是闭集。
由于 $R ^n$ 本身既是开集又是闭集，故对于 $R ^n$ 上的连续函数，相应于推论中的集合，$\{x \mid f(x)>a\},\{x \mid f(x)<a\}$ 都是开集，$\{x \in E \mid f(x) \geqslant a\}, \mid x \in$ $E \mid f(x) \leqslant a\}$ 都是闭集．下面的定理说明反过来也是对的．

定理1．26 设 $f$ 是 $R ^n$ 上的函数，若对于任意实数 $a,\{x \mid f(x)>a\}$ 或 $\{x \mid f(x)<a\}$ 总是开集，则 $f$ 在 $R ^n$ 上连续．
证明 设 $x_0 \in R ^n, \varepsilon$ 为任意正数，则

$$
\begin{aligned}
I_{\varepsilon} & =\left\{x| | f(x)-f\left(x_0\right) \mid<\varepsilon\right\} \\
& =\left\{x \mid f(x)<f\left(x_0\right)+\varepsilon\right\} \cap\left\{x \mid f(x)>f\left(x_0\right)-\varepsilon\right\}
\end{aligned}
$$

为 $R ^n$ 内的开集．特别 $x_0 \in I_{\varepsilon}$ ，故存在 $\delta>0$ ，使得 $x_0 \in B\left(x_0, \delta\right) \subset I_s$ ．即

$$
\left|x-x_0\right|<\delta \text { 时, }\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon \text {, }
$$

故 $f$ 在 $x_0$ 连续．因为 $x_0$ 是任意点，故 $f$ 在 $R ^n$ 连续．$\square$
由此， $R ^n$ 上的连续函数的特征是，对任意 $a,\{x \mid f(x)>a\},\{x \mid f(x)<a\}$ 为开集．这是我们第一次用某类点集的特征来刻画函数，它使得用点集论的方法来研究函数更为方便．后面还会用这种方法来刻画其他的函数类．

## 总结

在实变函数中，点集的连续性主要涉及**函数在特定点或区间上的无间断特性**，具体可分为以下层次：

---

### **1. 基础定义：函数在点的连续性**
• **ε-δ定义**：若对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当自变量x与点c的距离|x - c| < δ时，函数值|f(x) - f(c)| < ε，则称函数f在点c处**连续**。  
  例如，函数f(x) = 2x在任意点x₀处都满足此条件，而f(x) = 1/x在x=0附近不满足。

• **极限与函数值的关系**：连续性等价于函数在点c处的极限值等于该点的函数值，即$\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$。

---

### **2. 连续性的关键性质**
• **局部性**：连续性是局部性质，只需考察点c附近的邻域关系，无需全局分析。  
• **传递性**：若f在a点连续，g在f(a)点连续，则复合函数g∘f在a点也连续。  
• **运算保留性**：连续函数的和、积、商（分母不为零）仍是连续的。

---

### **3. 一致连续性：更严格的条件**
• **定义**：若对任意ε>0，存在公共的δ>0，使得对定义域内任意两点x、y，只要|x - y| < δ，就有|f(x) - f(y)| < ε，则称f**一致连续**。  
  例如，f(x) = 2x在闭区间[0,1]上一致连续，而f(x) = 1/x在开区间(0,1)上不是一致连续的。

• **与紧致性的关系**：若函数定义域是紧致集（有界闭集），则连续性等价于一致连续性。这是由**海涅-博雷尔定理**支持的，即紧致集的任意开覆盖都有有限子覆盖。

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### **4. 应用场景**
• **微积分基础**：连续性是导数和积分存在的前提条件。  
• **积分方程与微分方程**：连续性保证解的存在性和唯一性。  
• **实变函数理论**：研究可测性、可积性等性质时，连续性是重要工具。

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### **总结**
实变函数中的连续性通过**局部邻域关系**刻画函数的无间断性，而一致连续性进一步要求这种“无间断”在全局范围内具有一致性。紧致集上的连续函数必一致连续，这一结论将拓扑性质与分析性质紧密联系。

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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