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点集上的连续函数

## 点集上的连续函数

后面讨论点集上一般的函数，需要先对点集上的连续函数有所了解，而后者的性态与熟知的区间上的连续函数有很多相似之处，这里只作简要的讲述．

定义1．16 设 $E \subset R ^n, f$ 是定义在 $E$ 上的（实值）函数，$x_0 \in E$ ．若对于任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，使得当 $x \in E \cap B\left(x_0, \delta\right)$ 时，$\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon$ ，则称函数 $f$ 在 $E$上的点 $x_0$ 连续，或 $f$ 相对于 $E$ 在 $x_0$ 连续．若 $f$ 在 $E$ 的每一点连续，则称 $f$ 在 $E$ 连续或相对于 $E$ 连续．

从定义可见，所谓函数在（或相对于）某个点集连续，完全是限制在这个点集内部来看函数，看当自变量从该点集内部趋向点集的某一点时，其函数值是否也趋向函数在这一点的值．用极限的语言叙述就是，$f(x)$ 在 $E$ 上的点 $x_0$ 连续，是指

$$
\lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\ x \in E}} f(x)=f\left(x_0\right),
$$

即对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，只要 $\left|x-x_0\right|<\delta$ 并且 $x \in E$ ，就有 $\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\varepsilon$ ． $f(x)$ 在 $E$ 连续，是指对任意 $x_0 \in E$ ，有

$$
\lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\ x \in E}} f(x)=f\left(x_0\right) .
$$

根据函数极限与序列极限的关系立刻知道，$f(x)$ 在 $E$ 上的点 $x_0$ 连续，当且仅当对于任意点列 $\left\{x_k\right\} \subset E$ ，只要 $x_k \rightarrow x_0$ ，便有 $f\left(x_k\right) \rightarrow f\left(x_0\right)$（当 $\left.k \rightarrow \infty\right)$ ．

由定义知，$f(x)$ 在 $E$ 的孤立点（只要取值有限）永远是连续的．同样，若 $f(x)$在 $E$ 连续，而 $E_0 \subset E$ ，则 $f(x)$ 在 $E_0$ 连续．数学分析中说的函数的连续性，就是相对于区间（或在区间上）的连续性，

例 18 Dirichlet 函数

$$
D(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0, & x \in[0,1] \backslash Q , \\
1, & x \in[0,1] \cap Q .
\end{array} \quad( Q \text { 为有理数集) }\right.
$$

在区间 $[0,1]$ 上处处不连续．但无论是相对于 $[0,1]$ 内的有理点集或无理点集 （将函数的定义域分别限制在这些点集上）,$D(x)$ 都是连续的．

例19 设 $E_1=\{x \mid x>0\}, E_2=\{x \mid x \leqslant 0\}, f(x)=1\left(x \in E_1\right)$ 或 $-1(x \in$ $\left.E_2\right)$ ，则 $f$ 分别在 $E_1, E_2$ 上连续，但在 $E_1 \cup E_2$ 上不连续．

由上面的例题可以看到，分别在 $E_1, E_2$ 上连续的函数 $f$ ，不一定在并集 $E_1 \cup$ $E_2$ 上连续．但有下面的结果．
定理 1.22 若 $E_1, E_2$ 都是闭集，函数 $f$ 定义在 $E_1 \cup E_2$ 上，且分别在 $E_1, E_2$上连续，则 $f$ 相对于 $E_1 \cup E_2$ 也一定连续。

证明 若 $x_0 \in E_1 \cup E_2$ ，不妨设它为聚点，因 $E_1, E_2$ 为闭集，则 $E_1 \cup E_2$ 内任一以 $x_0$ 为极限的点列 $\left\{y_k\right\}$ 只能有两种情况：其一，从某一项起全部 $y_k$ 属于 $E_1$或 $E_2$（相应 $x_0 \in E_1$ 或 $x_0 \in E_2$ ）．不妨设 $y_k$ 都属于 $E_1$ ，因此

$$
\lim _{\substack{y_k \rightarrow x_0 \\ y_k \in E_1 \cup E_2}} f\left(y_k\right)=\lim _{\substack{y_k \rightarrow x_0 \\ y_k \in E_1}} f\left(y_k\right)=f\left(x_0\right) .
$$

故 $f$ 在 $x_0$ 相对于 $E_1 \cup E_2$ 连续；其二，$\left\{y_k\right\}$ 由两个分别属于 $E_1$ 和 $E_2$ 的无穷子列组成，此时，$x_0 \in E_1 \cap E_2$ ，因为 $\lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\ x \in E_1}} f(x)=\lim _{\substack{x \rightarrow x_0 \\ x \in E_2}} f(x)=f\left(x_0\right)$ ，容易看出也有 $\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(y_k\right)=f\left(x_0\right)$ ，因而 $f$ 在 $E_1 \cup E_2$ 上连续．

从数学分析知道，闭区间（或有界闭区域）上的连续函数有一些良好的性质。它们的证明主要基于闭区间的紧性或闭区间套定理。现在已经证明， $R ^n 巾$ 的有界闭集同样具有闭区间的这些特性。因此，用同样的方法可以证明，有界闭集上的连续函数也有类似性质，即下述定理成

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