最后更新: 2025-11-29 16:02 查看: 137 次纠错评论(0) 课件开VIP

可积函数用连续函数平均逼近

引理5．1（可积函数用连续函数平均逼近）若 $f \in L(E), E \subset R$ ，则对任意
$\varepsilon>0$ ，存在 $R$ 上具有紧支集的连续函数 $g$ ，使得

$$
\int_{\varepsilon}|f(x)-g(x)| d x<\varepsilon
$$

正明 由 $f \in L(E)$ ，知存在具有紧支集的简单函数 $\varphi(x)$ ，使得

$$
\int_{E}|f(x)-\varphi(x)| d x<\frac{\varepsilon}{2}
$$

这时 $\varphi(x)$ 有界，设 $|\varphi(x)| \leqslant M$ ．根据 Lusin 定理 3.14 及其推论，存在 $R$ 上的具有紧支集的连续函数 $g(x)$ ，满足

$$
|g(x)| \leqslant M, \quad m\left(E_0\right)<\frac{\varepsilon}{4 M}
$$

其中

$$
E_0=\{x \mid x \in E, \varphi(x) \neq g(x)\}
$$

这样

$$
\int_{\varepsilon}|\varphi(x)-g(x)| d x=\int_{E_0}|\varphi(x)-g(x)| d x \leqslant 2 M \int_{E_0} d x<\frac{\varepsilon}{2}
$$

故

$$
\begin{aligned}
\int_E|f(x)-g(x)| d x & \leqslant \int_E|f(x)-\varphi(x)| d x+\int_E|\varphi(x)-g(x)| d x \\
& <\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon
\end{aligned}
$$

引理5．2（平均连续性）若 $f \in L( R )$ ，则

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \int_R|f(x+h)-f(x)| d x=0
$$

证明 由引理5．1，存在紧支集的连续函数 $g(x)$ ，使得

$$
\int_R|f(x)-g(x)| d x<\frac{\varepsilon}{3}
$$

不妨设
$$
\operatorname{supp} g \subset[-N, N]
$$

这时 $g$ 有界：$|g(x)| \leqslant M$ ．由 $g$ 在 $R$ 一致连续，对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$（不妨设 $\delta<1)$ ，只要 $|h|<\delta$ ，有

$$
|g(x+h)-g(x)|<\frac{\varepsilon}{6(N+1)}
$$

因此

$$
\begin{aligned}
\int_{ R }|g(x+h)-g(x)| d x & \leqslant \int_{|x| \leqslant N+1}|g(x+h)-g(x)| d x \\
& <\frac{\varepsilon}{6(N+1)} \int_{|x| \leqslant N+1} d x<\frac{\varepsilon}{3}
\end{aligned}
$$

从而
$$
\begin{aligned}
& \int_{ R }|f(x+h)-f(x)| d x \\
\leqslant & \int_{ R }|f(x+h)-g(x+h)| d x+\int_{ R }|g(x+h)-g(x)| d x+ \\
& \int_{ R }|g(x)-f(x)| d x<\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon .
\end{aligned}
$$

设 $f \in L(a, b)$ ，令 $f(x)=0$ ，当 $x \notin(a, b)$ ．这样 $f \in L( R )$ ，且

$$
\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) d t=\int_a^b f(t) d t
$$

令

$$
\begin{aligned}
F_k(x) & =\frac{1}{h}\left(\int_a^{x+h} f(t) d t-\int_a^x f(t) d t\right) \\
& =\frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) d t
\end{aligned}
$$

引理5．3 若 $f \in L(a, b), F_h(x)$ 如上述，则

$$
\lim _{h \rightarrow 0} \int_a^b\left|F_h(x)-f(x)\right| d x=0
$$

证明 不妨设 $h>0$ ．显然

$$
\begin{aligned}
F_h(x)-f(x) & =\frac{1}{h} \int_x^{x+h} f(t) d t-f(x)=\frac{1}{h} \int_0^h f(x+t) d t-f(x) \\
& =\frac{1}{h} \int_0^h(f(x+t)-f(x)) d t
\end{aligned}
$$

因此
$$
\begin{aligned}
\int_a^b\left|F_h(x)-f(x)\right| d x & \leqslant \frac{1}{h} \int_a^b d x \int_0^h|f(x+t)-f(x)| d t \\
& \leqslant \frac{1}{h} \int_{-\infty}^{+\infty} d x \int_0^h|f(x+t)-f(x)| d t \\
& =\frac{1}{h} \int_0^h d t \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x+t)-f(x)| d x .
\end{aligned}
$$

根据引理 5.3 ，知对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，只要 $|t|<\delta$ ，有

$$
\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x+t)-f(x)| d x<\varepsilon
$$

从而只要 $| h |< \delta$ ，就有

$$
\frac{1}{h} \int_0^h d t \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x+t)-f(x)| d x<\frac{\varepsilon}{h} \int_0^h d t=\varepsilon
$$

引理 5.3 得证．
定理 5.3 若 $f \in L(a, b)$ ，则

$$
\left(\int_a^x f(t) d t\right)^{\prime}=f(x), \quad \text { a. e. } x \in[a, b]
$$

证明 回忆

$$
F(x)=\int_a^x f(t) d t
$$

是两个单调上升函数之差，则它几乎处处可微，即 $\lim _{h \rightarrow 0} F_h(x)$ 在 $(a, b)$ 几乎处处存在．由引理 5.3 ，有

$$
\lim _{k \rightarrow \infty} \int_a^b\left|F_{\frac{⿺}{k}}(x)-f(x)\right| d x=0
$$

用 Chebyshev 不等式，对任意 $\sigma$ ，有

$$
\sigma m\left\{x\left|x \in(a, b),\left|F_{\frac{1}{4}}(x)-f(x)\right| \geqslant \sigma\right\} \rightarrow 0, \quad(\text { 当 } k \rightarrow \infty)\right. \text {, }
$$

从而 $F_{\frac{1}{k}}(x)$ 依测度收敛到 $f(x)$ ．根据 Riesz 定理，存在子序列 $k_l$ ，使得

$$
\lim _{h \infty} F_{\frac{1}{h_l}}(x)=f(x), \text { a. e. } x \in[a, b]
$$

从而

$$
\lim _{h \rightarrow 0} F_h(x)=f(x), \text { a. e. } x \in[a, b]
$$

即

$$
F^{\prime}(x)=f(x), \text { a. e. } x \in[a, b]
$$

定理 5.3 得证．$\square$
这样，我们便证明了，若 $f \in L(a, b)$ ，则变上限积分

$$
F(x)=\int_a^x f(t) d t
$$

在几乎处处的意义下是 $f$ 的原函数，即（16）成立．
这样的函数 $F$ ，是两个单调上升函数之差．两个单调函数之差，可以有另一种刻画．

##  可积函数用连续函数平均逼近

可积函数用连续函数平均逼近 ，在实变函数中通常指的是 **$L^1$ 空间中的连续函数稠密性定理**，也就是：

> 若 $ f \in L^1(\mathbb{R}^n) $（Lebesgue 可积函数），则对任意 $\varepsilon > 0$，存在一个紧支撑连续函数 $ g \in C_c(\mathbb{R}^n) $，使得
$$
\| f - g \|_{L^1} = \int_{\mathbb{R}^n} |f(x) - g(x)| \, dx < \varepsilon.
$$

换句话说，在 $L^1$ 范数意义下，连续函数（且具有紧支撑）可以在平均逼近的意义下无限接近可积函数。

---

## 1. 直观理解“平均逼近”

- **逐点逼近 vs 平均逼近**  
  逐点逼近是 $|f(x)-g(x)|$ 对每个 $x$ 都小，这需要函数性质很好（比如连续性）。  
  平均逼近是 $\int |f-g|$ 很小，允许在个别点（甚至零测集上）相差很大，只要这些点“权重”小。

- **为什么对可积函数重要**  
  可积函数允许有奇点、不连续点，但奇点必须“轻微”（在 $L^1$ 范数下贡献小）。  
  用连续函数去逼近时，可以“绕开”奇点，在奇点附近让连续函数与 $f$ 差别较大，但奇点附近测度很小，所以积分差别仍很小。

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## 2. 定理的证明思路（概要）

1. **用简单函数逼近**  
   由 Lebesgue 积分定义，存在简单函数 $ s = \sum a_i \chi_{E_i} $ 使得 $\|f - s\|_{L^1} < \varepsilon/2$，其中 $E_i$ 可测且测度有限。

2. **用连续函数逼近特征函数**  
   对每个可测集 $E$（有限测度），存在紧集 $K \subset E$ 与开集 $U \supset E$，使得 $m(U \setminus K)$ 很小。  
   然后构造 Urysohn 函数：连续函数 $g$ 满足 $g|_K = 1$，$g|_{U^c} = 0$，且 $0 \le g \le 1$。  
   这样 $\|\chi_E - g\|_{L^1} \le m(U \setminus K)$ 可任意小。

3. **组合得到逼近**  
   用这样的连续函数逼近简单函数的每个特征函数，组合起来就得到逼近 $f$ 的连续函数（并且可要求有紧支撑）。

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## 3. 例子帮助理解

**例 1**：$f(x) = \text{符号函数} \ \mathrm{sgn}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上，在 0 点不连续。  
在 $L^1$ 逼近意义下，可以构造连续函数 $g_n(x)$，比如在 $(-1/n, 1/n)$ 上从 -1 线性插值到 1，其余等于 $\mathrm{sgn}(x)$。  
则 $\int_{-1}^1 |f-g_n| \approx$ 在窄区间上积分差，面积随 $n$ 增大趋于 0。

**例 2**：$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ 在 $(0,1]$，0 处是奇点，但可积。  
连续逼近：取 $g_n(x) = f(x)$ 当 $x \ge 1/n$，在 $[0,1/n]$ 上取为 $f(1/n)$ 的常数或光滑连接到 0。  
奇点附近修改后，差分的积分集中在 $ [0,1/n] $ 上，可小于任意 $\varepsilon$。

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## 4. 与一致逼近的区别

- Weierstrass 逼近定理：连续函数可用多项式一致逼近（在紧集上），但要求函数连续。
- 这里面对可积函数（可能很不连续），只能做到 **平均逼近**（$L^1$ 逼近），不能保证一致逼近甚至逐点逼近。

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## 5. 实变函数观点的意义

这个定理是很多现代分析的基础：
- 允许先用性质好的函数（连续、光滑）证明定理，再通过极限推广到可积函数。
- 是卷积正则化的理论基础：$f * \phi_\varepsilon$ 是光滑函数，且当 $\phi_\varepsilon$ 是逼近恒等核时，$f * \phi_\varepsilon \to f$ 于 $L^1$。

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为帮助直观理解“可积函数用连续函数平均逼近”的概念，可以看下面示意图

## 示意图解析

### 图1：不连续函数的平均逼近
```
     f(x)  (原函数，在x0处跳跃)
      |
    1 |       +----------------------+
      |       |                      |
      |       |                      |
      |       |                      |
    0 |-------+                      +------
      |      x0                      |
      |       |                      |
     -1|       +----------------------+
      |
      +------------------------------------> x
      
     g(x)  (连续逼近函数)
      |
    1 |       ........................
      |      .                       .
      |     .                         .
      |    .                           .
    0 |...+                             +...
      |   .                            . |
      |  x0                            . |
     -1| .                             .
      |.                               .
      +------------------------------------> x
```
**说明**：
- 原函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有跳跃间断
- 连续函数 $g(x)$ 在 $x_0$ 附近的一个小区间内光滑过渡
- 两条曲线之间的面积（阴影部分）就是 $\int |f-g|dx$
- 虽然在某些点相差很大，但过渡区间很窄，所以总面积很小

### 图2：奇点函数的平均逼近
```
     f(x) = 1/√x (在0处有奇点)
      |
      |                                 .
      |                                .
      |                               .
      |                              .
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      |      .
      |    .
      |  .
      |.
      +------------------------------------> x
      0
      
     g(x) (连续逼近，避开奇点)
      |
      |                                 .
      |                                .
      |                               .
      |                              .
      |                            .
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      |                        .
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      |                    .
      |                  .
      |                .
      |              .
      |            .
      |          .
      |        .
      |      .
      |----+ (在0附近截断为常数)
      |
      +------------------------------------> x
      0   δ
```
**说明**：
- $f(x)$ 在 $x=0$ 处趋于无穷，但积分有限
- $g(x)$ 在奇点附近 $[0,\delta]$ 修改为常数
- 两条曲线差异主要在 $[0,\delta]$ 区间，但该区间测度很小
- 当 $\delta \to 0$ 时，差异区域的积分趋于 0

## 关键理解要点

1. **平均逼近 vs 逐点逼近**：
   - 平均逼近只关心曲线下面积的差异
   - 允许在零测集或小测度集上有较大差异

2. **实变函数的精髓**：
   - Lebesgue 积分的“平均行为”观点
   - 忽略零测集上的差异，关注整体性质

3. **逼近策略**：
   - 在奇点或不连续点附近用连续函数“桥接”
   - 通过让“桥接区域”的测度趋于零来控制总误差

这样的示意图是否帮助你更好地理解了“平均逼近”的概念？

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