最后更新: 2025-03-21 09:32 查看: 50 次反馈刷题

有界变差

定义 5.3 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 有定义．对 $[a, b]$ 作任意的分法

$$
\Delta: a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b
$$

如果

$$
\sup _{\Delta} \sum_{i=1}^n\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|<+\infty
$$

那么称 $f$ 在 $[a, b]$ 是有界变差的，记为 $f \in \operatorname{BV}[a, b]$ ；称（17）中的上确界为 $f$ 在 $[a, b]$ 的全变差，记为 $\underset{a}{b}(f)$ ，即

$$
\underset{a}{ V }(f)=\sup _{\Delta} \sum_{i=1}^n\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|
$$

例 1 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 单调，则 $f$ 在 $[a, b]$ 有界变差．
这是因为，当 $f$ 在 $[a, b]$ 单调，有

$$
\sum_{i=1}^n\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|=\left|\sum_{i=1}^n\left(f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right)\right|=|f(b)-f(a)|
$$

从定义 5.3 容易看出，有变差函数必然是有界的；两个有界变差函数的和，差与积仍然是有界变差函数．

定理 5.4 若 $f$ 是定义在 $[a, b]$ 的实值函数，则对任意的 $a<c<b$ ，有

$$
\underset{a}{ V }(f)=\underset{a}{ V }(f)+\underset{c}{ V }(f) .
$$

证明 对 $[a, b]$ 的任意分法 $a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b$ ，如果 $c$ 是分点，则

$$
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^n\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right| & =\sum_a^c\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|+\sum_c^b\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right| \\
& \leqslant \bigvee_c^c(f)+{\underset{c}{e}}_b^b(f)
\end{aligned}
$$

如果 $c$ 不是分点，把 $c$ 插入去，设 $x_k<c<x_{k+1}$ ，由于

$$
\left|f\left(x_{k+1}\right)-f\left(x_k\right)\right| \leqslant\left|f\left(x_{k+1}\right)-f(c)\right|+\left|f(c)-f\left(x_k\right)\right|
$$

则相应的和不超过插人分点 $c$ 的和，从而知

$$
\underset{a}{ V }(f) \leqslant \underset{a}{ V }(f)+\underset{c}{ V }(f)
$$

另外，对任意 $\varepsilon>0$ ，由上确界的定义知存在分法

$$
a=x_0<x_1<\cdots<x_k=c<x_{k+1}<\cdots<x_n=b,
$$

使得

$$
\begin{aligned}
& \sum_{i=1}^k\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|>\underset{a}{\dot{V}}(f)-\frac{\varepsilon}{2} \\
& \sum_{i=k+1}^n\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|>{\underset{c}{b}}_b^b(f)-\frac{\varepsilon}{2}
\end{aligned}
$$

这表明存在 $[a, b]$ 的分法，使得

$$
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^n\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right| & =\sum_{i=1}^k\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right|+\sum_{i=k+1}^n\left|f\left(x_i\right)-f\left(x_{i-1}\right)\right| \\
& \geqslant \bigvee_a^c(f)+{\underset{c}{\mid}}_b^b(f)-\varepsilon
\end{aligned}
$$

从而

$$
\underset{a}{ V }(f) \geqslant \underset{a}{\dot{ V }}(f)+\underset{c}{\dot{V}}(f)-\varepsilon
$$

由 $\varepsilon>0$ 的任意性，得

$$
\underset{a}{ V }(f) \geqslant \underset{a}{ V }(f)+\underset{c}{\stackrel{b}{ V }}(f)
$$

综合（18）和（19），便得到定理 5.4 的结果． $\square$

## 通俗解释
有界变差可以通俗理解为**“函数值的变化总量有限”**，就像爬山时总高度变化不会无限大，或者存钱时总金额不会无限波动。以下是结合生活场景和数学逻辑的类比说明：

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### 一、**核心定义**
想象你沿着山路行走（函数曲线），每走一步记录高度变化（函数差值）。如果所有可能路径（分割区间）的高度变化总和有一个上限（比如总爬升不超过100米），那么这条山路对应的函数就是**有界变差函数**。  
**数学表达**：  
$$V_a^b(f) = \sup_P \sum_{i=1}^n |f(x_i) - f(x_{i-1})| \leq M$$  
其中，$P$ 是任意分割，$M$ 是总变化量的上限。

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### 二、**关键条件**
1. **总变化量有限**  
   • 类比：爬山总高度变化不超过100米，存钱总金额波动不超过5万元。  
   • 数学要求：存在常数 $M$，使得任意分割的变差和都不超过 $M$。

2. **允许局部波动**  
   • 函数可以有“坑坑洼洼”（如阶梯函数），但整体变化量被限制。  
   • 例如：狄利克雷函数（有理数点有值，无理数点无值）因局部波动无限大，不是有界变差函数。

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### 三、**生活类比**
1. **经济预算**  
   • 假设每月开支波动（如房租、水电），但总开支不超过10万元。有界变差函数允许你用总预算估算长期花费，无需逐月核对。

2. **信号处理**  
   • 处理音频信号时，有界变差函数可简化能量计算：忽略高频噪声（局部波动），直接用总能量（上限）估算。

3. **运动轨迹**  
   • 运动员跑步时，位置变化的总路程（总变差）有限，即使速度有波动。

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### 四、**数学本质**
1. **“总量控制”优于“局部细节”**  
   • 有界变差函数通过限制总变化量，忽略局部异常值（如狄利克雷函数的“裂缝”）。  
   • 例如：阶梯函数虽不连续，但总变差仅等于上下坡高度差，符合有界变差条件。

2. **可分解性**  
   • 任何有界变差函数都可表示为两个单调递增函数之差（如“上升部分”减去“下降部分”）。  
   • 类比：将复杂任务拆解为“收益”和“成本”两部分分析。

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### 五、**与相关概念的对比**
| **概念**         | **核心条件**               | **适用场景**                     |  
|------------------|--------------------------|----------------------------------|  
| **有界变差**     | 总变化量有限               | 信号处理、经济预算分析           |  
| **绝对连续**     | 任意小变化对应小波动       | 积分理论、概率论                 |  
| **单调函数**     | 单向波动                   | 简单路径规划、基础物理模型       |

**关键区别**：  
• 有界变差允许局部剧烈波动（如阶梯函数），但总量受限；  
• 绝对连续要求“微小变化对应微小波动”，条件更严格。

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### 六、**实际应用场景**
1. **图像处理**：压缩图片时，有界变差函数可保留主要轮廓，忽略高频噪声。  
2. **机器学习**：优化算法中，限制参数更新幅度（总变差）确保稳定性。  
3. **物理学**：计算物体运动轨迹时，用总位移（有界变差）简化问题。

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### 总结
有界变差的本质是**“用总量控制简化复杂问题”**。它通过“忽略局部异常值”和“分解波动”，成为信号处理、经济分析和工程领域的重要工具。但需注意，它不要求函数连续，也不保证可导。

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