最后更新: 2025-11-29 16:11 查看: 230 次纠错评论(0) 课件开VIP

Jordan分解定理

## Jordan分解定理
定理 5．5（Jordan 分解定理）$f(x)$ 在 $[a, b]$ 有界变差的充分必要条件是$f(x)$ 可以分解为两个单调上升函数之差，即存在 $g(x)$ 与 $h(x)$ ，它们在 $[a, b]$ 单调上升，满足

$$
f(x)=g(x)-h(x), \quad(\forall x \in[a, b])
$$

证明 充分性．这是因为

$$
\underset{a}{ V }(f) \leqslant \underset{a}{ V }(g)+\underset{a}{ b }(h) \leqslant|g(b)-g(a)|+|h(b)-h(a)|
$$

必要性．令

$$
g(x)={\underset{a}{x}}_{\dot{x}}(f),
$$

显然它在 $[a, b]$ 单调上升．记

$$
h(x)={\underset{V}{V}}_a^x(f)-f(x)
$$

则

$$
f(x)={\underset{V}{a}}_x^{V}(f)-h(x)=g(x)-h(x)
$$

因此只要证明 $h(x)$ 在 $[a, b]$ 单调上升便可．事实上，对于任意的 $u, v \in[a, b]$ ，根据定理 5.4 ，当 $u<v$ 时，有

$$
\begin{aligned}
h(v)-h(u) & =(\underset{a}{\dot{V}}(f)-f(v))-(\underset{a}{ V }(f)-f(u)) \\
& =\underset{u}{\dot{V}}(f)-(f(v)-f(u)) \geqslant 0
\end{aligned}
$$

定理 5.5 得证．
推论 若 $f \in B V(a, b)$ ，则 $f^{\prime}$ 在 $[a, b]$ 几乎处处存在，且 $f^{\prime} \in L(a, b)$ ．
证明 从定理 5.5 与定理 5.2 立即推出．

立即： Jordan分解定理**

### 一、核心思想：化繁为简

**Jordan分解定理的核心思想是：任何一个复杂的有界变差函数，都可以分解为两个表现良好、结构简单的单调递增函数之差。**

用公式表示就是：
$$
f(x) = g(x) - h(x)
$$
其中，$ g(x) $ 和 $ h(x) $ 都是**单调递增函数**。

**这为什么重要？**
因为单调函数是我们理解得最透彻、性质最好的函数之一。通过这个分解，我们可以把研究一个可能很“曲折”的有界变差函数 $ f(x) $ 的问题，转化为研究两个“方向单一”的单调递增函数 $ g(x) $ 和 $ h(x) $ 的问题。很多关于有界变差函数的证明，都是先对单调函数证明，然后利用这个分解推广到一般的有界变差函数。

---

### 二、一个生动的比喻：盈利与亏损

想象一下你正在记录一家商店**从开业到今天**的每日净利润曲线 $ f(t) $。这条曲线肯定是上下波动的，有的天赚钱（上升），有的天亏钱（下降）。

现在，我们定义两个新的量：
1.  **总累计盈利函数 $ g(t) $**: 从第0天到第 $ t $ 天，所有盈利的日子赚的钱的总和（只加正数，忽略亏损日）。
2.  **总累计亏损函数 $ h(t) $**: 从第0天到第 $ t $ 天，所有亏损的日子亏的钱的总和（只加负数，但取绝对值，所以它也是个正数）。

**你会发现一个绝妙的关系：**
$$
当前的总净利润 f(t) = 总累计盈利 g(t) - 总累计亏损 h(t)
$$
- $ g(t) $ 是单调递增的，因为盈利只会不断增加（即使某天亏损，$ g(t) $ 也保持不变，不会减少）。
- $ h(t) $ 也是单调递增的，因为亏损的总额也只会不断增加（即使某天盈利，$ h(t) $ 也保持不变）。

这个关系 **$ f(t) = g(t) - h(t) $** 就是Jordan分解在现实中的一个完美体现。这里的 $ f(t) $ 就是一条“有界变差”的曲线，因为它的总波动量（总盈利 + 总亏损）是有限的。

---

### 三、数学上的标准分解：变差函数

在数学上，Jordan分解定理提供了一个非常自然和标准的分解方法。它利用了我们定义有界变差时引入的概念：**全变差**。

设 $ f(x) $ 是区间 $[a, b]$ 上的有界变差函数。我们定义两个新函数：

1.  **正变差函数 $ P(x) $ (或称为上升变差)**:
    $$
    P(x) = V_a^x(f) \text{ 的“上升部分”}
    $$
    更技术性地说，它是 $ f $ 在 $[a, x]$ 区间上所有“向上跳跃”的幅度总和。

2.  **负变差函数 $ N(x) $ (或称为下降变差)**:
    $$
    N(x) = V_a^x(f) \text{ 的“下降部分”}
    $$
    它是 $ f $ 在 $[a, x]$ 区间上所有“向下跳跃”的幅度总和（取正值）。

有了这两个函数，我们就可以构造出Jordan分解：

-   **全变差函数 $ T(x) $**: $ T(x) = P(x) + N(x) $。这就是我们之前说的 $ V_a^x(f) $，表示从 $ a $ 到 $ x $ 的总波动量。$ T(x) $ 是单调递增的。
-   **Jordan分解**:
    $$
    f(x) = P(x) - N(x) + f(a)
    $$
    为了更清晰地对应 $ f(x) = g(x) - h(x) $ 的形式，我们可以令：
    - $ g(x) = P(x) + f(a) $（单调递增）
    - $ h(x) = N(x) $（单调递增）

那么显然有 $ f(x) = g(x) - h(x) $。

**这个分解的妙处在于**：它不仅保证了 $ g $ 和 $ h $ 是递增的，而且保证了它们某种意义上的“正交性”，即在一个区间上，$ f $ 的增长只能由 $ g $ 或 $ h $ 中的一个来贡献，不会同时增长。这被称为 **“互奇异性”**。

---

### 四、举例说明

假设有一个函数 $ f(x) $ 在区间 [0, 3] 上的图像如下（想象一下）：
-   从 x=0 到 x=1：从 f(0)=0 上升到 f(1)=2。
-   从 x=1 到 x=2：从 f(1)=2 下降到 f(2)=1。
-   从 x=2 到 x=3：从 f(2)=1 上升到 f(3)=4。

我们来直观地理解它的Jordan分解：

1.  **计算总变差 $ T(3) $**:
    - 上升总量： (2-0) + (4-1) = 2 + 3 = 5
    - 下降总量： (2-1) = 1
    - 总变差 $ T(3) = 5 + 1 = 6 $

2.  **分解函数 $ g(x) $ 和 $ h(x) $**:
    - 在 [0,1]: $ f $ 在上升。所以 $ g(x) $ 跟着 $ f $ 一起上升了2，$ h(x) $ 保持为0。
        - 在 x=1 时：$ g(1)=2, h(1)=0, f(1)=2-0=2 $
    - 在 [1,2]: $ f $ 在下降。所以 $ g(x) $ 保持不变（还是2），而 $ h(x) $ 要增加，以“抵消” f 的下降。f下降了1，所以 $ h(x) $ 增加1。
        - 在 x=2 时：$ g(2)=2, h(2)=1, f(2)=2-1=1 $
    - 在 [2,3]: $ f $ 再次上升。所以 $ g(x) $ 跟着上升3，$ h(x) $ 保持不变（还是1）。
        - 在 x=3 时：$ g(3)=2+3=5, h(3)=1, f(3)=5-1=4 $

最终，我们得到了两个单调递增的函数：
- $ g(x) $: 0->2->2->5
- $ h(x) $: 0->0->1->1

并且始终满足 $ f(x) = g(x) - h(x) $。

---

### 五、总结与重要性

**Jordan分解定理**告诉我们：

1.  **结构刻画**：有界变差函数本质上就是两个单调函数之差。这为我们理解其结构提供了清晰的图像。
2.  **强大工具**：它将有界变差函数的许多问题（如可微性、可积性）转化为单调函数的对应问题，从而大大简化了研究。
3.  **推广基础**：这个分解是定义和处理**勒贝格-斯蒂尔杰斯积分** 的理论基石，也是泛函分析中研究函数空间结构的重要工具。

简单来说，Jordan分解定理就像一台“信号分离器”，能把一条上下起伏的复杂曲线，分离成一条纯粹“向上”的曲线和一条纯粹“向下”的曲线，从而让我们能更清晰地分析和理解它。

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：有界变差

下一篇： Cantor 函数与绝对连续

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)