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Cantor 函数与绝对连续

## 绝对连续性与 Newton－Leibniz 公式
在本章引言中，我们曾提出：若 $f \in L(a, b), F^{\prime}(x)=f(x)$ ，a．e．$x \in[a, b]$ ，且 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，是 否有

$$
(L) \int_a^b f(x) d x=F(b)-F(a)
$$

成立（符号有一点不同）？下面的例子表明，它的回答是否定的．
`例2` Cantor 函数 $\Theta(x)$
回忆 Cantor 三分集的构造．它是从 $[0,1]$ 逐次去掉下列开区间得到的：

$$
I_1=\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right),
$$

$$
\begin{aligned}
& I_2=\left(\frac{1}{9}, \frac{2}{9}\right) \cup\left(\frac{7}{9}, \frac{8}{9}\right) \\
& I_3=\left(\frac{1}{27}, \frac{2}{27}\right) \cup\left(\frac{7}{27}, \frac{8}{27}\right) \cup\left(\frac{19}{27}, \frac{20}{27}\right) \cup\left(\frac{25}{27}, \frac{26}{27}\right), \cdots
\end{aligned}
$$

一般地

$$
I_n=\left(\frac{1}{3^n}, \frac{2}{3^n}\right) \cup\left(\frac{7}{3^n}, \frac{8}{3^n}\right) \cup \cdots \cup\left(\frac{3^n-2}{3^n}, \frac{3^n-1}{3^n}\right) .
$$

定义

$$
\Theta(x)= \begin{cases}\frac{1}{2}, & \text { 当 } x \in\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right), \\ \frac{1}{4}, & \text { 当 } x \in\left(\frac{1}{9}, \frac{2}{9}\right), \\ \frac{3}{4}, & \text { 当 } x \in\left(\frac{7}{9}, \frac{8}{9}\right), \\ \frac{1}{8}, & \text { 当 } x \in\left(\frac{1}{27}, \frac{2}{27}\right), \\ \frac{3}{8}, & \text { 当 } x \in\left(\frac{7}{27}, \frac{8}{27}\right), \\ \frac{5}{8}, & \text { 当 } x \in\left(\frac{19}{27}, \frac{20}{27}\right), \\ \ldots & \ldots\end{cases}
$$

归纳地，在第 $n$ 次 $2^{n-1}$ 个区间上，$\Theta(x)$ 依次取值为

$$
\frac{1}{2^n}, \frac{3}{2^n}, \frac{5}{2^n}, \cdots, \frac{2^n-1}{2^n}
$$

这样 $\Theta(x)$ 在 $G_0=\bigcup_{j=1}^{\infty} I_j$ 有了定义，是递增函数．在 $C=[0,1] \backslash G_0$ 上，定义

$$
\begin{gathered}
\Theta(x)=\sup _{\substack{<x \\
t \in G_0}} \Theta(t), \\
\Theta(0)=0, \quad \Theta(1)=1
\end{gathered}
$$

（图 5．1）．我们证明，这样定义的 $\Theta(x)$ 在 $[0,1]$ 是递增的连续函数．由 $\Theta(x)$在 $G_0$ 递增以及（21）和（22），便知 $\Theta(x)$ 在 $[0,1]$ 递增．再注意到 $\Theta(x)$ 在 $G_0$ 的值域为

$$
\left\{\left.\frac{k}{2^n} \right\rvert\, k=1,2, \cdots, 2^{n-1}, n=1,2, \cdots\right\} \cup\{0\} \cup\{1\},
$$

它在 $[0,1]$ 稠密，因此 $\Theta(x)$ 在 $[0,1]$ 连续（因为单调函数只能有第一类间断点
 ![图片](/uploads/2025-01/c7f4e7.jpg)
 
 注意到 $\Theta(x)$ 在 $G_0$ 的每一个开区间内取常数值，便知在 $G_0$ 有 $\Theta^{\prime}(x)=0$ ．
而 $m(C)=m\left([0,1] \backslash G_0\right)=0$ ，因此

$$
\Theta^{\prime}(x)=0, \quad \text { a. e. } x \in[0,1]
$$

从而

$$
0=\int_0^1 \Theta^{\prime}(x) d x<\Theta(1)-\Theta(0)=1 .
$$

这说明，（20）是可能不成立的．
如果令

$$
\lambda(x)=\frac{1}{2}(\Theta(x)+x),
$$

则 $\lambda(x)$ 在 $[0,1]$ 严格递增且连续，且 $\lambda^{\prime}(x)=\frac{1}{2}$ ，a．e．$x \in[0,1]$ ，
而

$$
\int_0^1 \lambda^{\prime}(x) d x=\frac{1}{2}<\lambda(1)-\lambda(0)=1 .
$$

这说明，即使要求 $f$ 在 $[a, b]$ 严格递增，（20）也是可能不成立的．
下面我们给出使（20）成立的条件．
定义 5.4 设 $f(x)$ 是在 $[a, b]$ 定义的函数．如果对任意的 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，只要 $\left(x_i, y_i\right) \subset[a, b], i=1,2, \cdots, n,\left(x_i, y_i\right) \cap\left(x_j, y_j\right)=\varnothing(\forall i \neq j)$ ，且

$$
\sum_{i=1}^n\left(y_i-x_i\right)<\delta,
$$

便有

$$
\sum_{i=1}^n\left|f\left(y_i\right)-f\left(x_i\right)\right|<\varepsilon,
$$

那么，称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 绝对连续，记为 $f \in \operatorname{AC}[a, b]$ ．
下面是绝对连续函数的简单性质．

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