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绝对连续性的性质

## 绝对连续性的性质
$1^{\circ}$ 若 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 绝对连续，则 $c_1 f(x)+c_2 g(x)$ 在 $[a, b]$ 绝对连续．
$2^{\circ}$ 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 绝对连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 一致连续．
$1^{\circ}, ~ 2^{\circ}$ 的证明都是显然的，请读者写出来．
$2^{\circ}$ 的逆命题是不成立的，其反例就是前面的 $\Theta(x)$ 。
下面我们来证明 $\Theta(x)$ 在 $[0,1]$ 不是绝对连续的．由于 $m(C)=0$ ，对任意的 $\delta>0$ ，存在开区间 $I_k, k=1,2, \cdots, \bigcup_{k=1}^{\infty} I_k \supset C$ ，而 $\sum_{k=1}^{\infty}\left|I_k\right|<\delta$ ．注意到 $C$ 是闭集，根据有限覆盖定理，存在有限个 $I_k$（不妨设是 $I_1, I_2, \cdots, I_N$ ），使得 $\bigcup_{k=1}^N I_k \supset C$ ．这时把 $I_k$ 中相交非空的区间合并起来，则 $\bigcup_{k=1}^N I_k$ 必然是有限个互不相交的开区间的并，记为 $\left(x_i, y_i\right), i=1,2, \cdots, l$ ，满足 $\sum_{i=1}^l\left(y_i-x_i\right)<\delta$ ，而

$$
\sum_{i=1}^t\left|f\left(y_i\right)-f\left(x_i\right)\right|=1
$$

故 $\Theta(x)$ 在 $[0,1]$ 不是绝对连续的．
$3^{\circ}$ 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 绝对连续，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 有界变差．
证明 取 $\varepsilon=1$ ．这时存在 $\delta>0$ ，只要 $\left(x_i, y_i\right) \subset[a, b]$ ，互不相交，$\sum_{i=1}^n\left(y_i-\right.$ $\left.x_i\right)<\delta$ ，有

$$
\sum_{i=1}^n\left|f\left(y_i\right)-f\left(x_i\right)\right|<1
$$

把 $[a, b] n$ 等分，使得 $\frac{b-a}{n}<\delta$ ，则其分点 $c_i=a+i \frac{b-a}{n}$ 满足 $c_i-c_{i-1}<\delta(i=1$ ， $2, \cdots, n)$ ，因此

$$
{\underset{c_{i-1}}{\varepsilon_i}}^{\varepsilon_1}(f) \leqslant 1
$$

从而

$$
\stackrel{\dot{V}}{ V }(f)=\sum_{i=1}^n \underset{c_{i-1}}{c_i}(f) \leqslant n,
$$

这就证明了 $f \in \operatorname{BV}(a, b)$ ．$\square$
由此根据定理 5.5 的推论，若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 绝对连续，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 几乎处处存在，且 $f^{\prime} \in L(a, b)$ ．
$4^{\circ}$ 若 $f \in L(a, b)$ ，则 $F(x)=\int_a^x f(t) d t$ 在 $[a, b]$ 绝对连续．
证明 由定理4．11知，对任意 $\varepsilon>0$ ，存在 $\delta>0$ ，只要 $e \subset[a, b], m(e)<$
$\delta$ ，有

$$
\int_{\varepsilon}|f(x)| d x<\varepsilon
$$

因此，只要 $\left(x_i, y_i\right) \subset[a, b]$ ，互不相交，$\sum_{i=1}^n\left(y_i-x_i\right)<\delta$ ，就有

$$
m\left(\bigcup_{k=1}^n\left(x_i, y_i\right)\right)<\delta,
$$

从而

$$
\begin{aligned}
\sum_{i=1}^n\left|F\left(y_i\right)-F\left(x_i\right)\right| & =\sum_{i=1}^n\left|\int_{x_{i-1}}^{x_i} f(t) d t\right| \leqslant \sum_{i=1}^n \int_{x_{i-1}}^{x_i}|f(t)| d t \\
& =\int \bigcup_{i=1}^n\left(x_i, y_i\right)
\end{aligned}
$$

故 $F$ 在 $[a, b]$ 绝对连续．
由此可见，我们为什么称定理 4.11 是 Lebesgue 积分的绝对连续性

例 3 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 满足利普希茨（Lipschitz）条件：存在 $M>0$ ，使得

$$
|f(x)-f(y)| \leqslant M|x-y| \quad(\forall x, y \in[a, b])
$$

则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 绝对连续．
证明是显然的，留给读者作为练习．
定理 5.6 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 绝对连续，且 $f^{\prime}(x)=0$ ，a．e．$x \in[a, b]$ ，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 为常数函数．

证明 用反证法．如果不然，设存在 $c \in[a, b]$ ，使得 $f(a) \neq f(c)$ ．作点集

$$
E=\left\{x \mid x \in(a, c), f^{\prime}(x)=0\right\}
$$

则对任意 $x \in E$ ，由 $f^{\prime}(x)=0$ ，知对任意 $r>0$ ，只要 $h$ 充分小，且 $[x, x+h] \subset(a$ ， $c)$ ，就有

$$
|f(x+h)-f(x)|<r h
$$

全体这样的 $[x, x+h]$ 构成了 $E$ 的一个 Vitali 覆盖．根据 Vitali 定理 5．1，对任意 $\delta>0$ ，存在互不相交的区间组

$$
\left[x_1, x_1+h_1\right], \cdots,\left[x_n, x_n+h_n\right] \subset[a, c]
$$

使得

$$
m\left(E \backslash \bigcup_{i=1}^n\left[x_i, x_i+h_i\right]\right)=m\left([a, c) \backslash \bigcup_{i=1}^n\left[x_i, x_i+h_i\right]\right)<\delta .
$$

不妨设这些区间是从左到右排列的，即

$$
a=x_0 < x_1<x_1+h_1 < x_2<x_2+h_2 < \cdots<x_n+h_n < x_{n+1}=c .
$$

记 $h_0=0$ ，并选 $\varepsilon_0$ 满足 $0<\varepsilon_0 < \frac{1}{2}|f(c)-f(a)|$ ．由 $f$ 的绝对连续性，存在 $\delta_0>$
  
  0 ，使得只要 $\left(x_i, y_i\right) \subset(a, c)$ 互不相交，$\sum_{i=1}^n\left(x_i, y_i\right)<\delta_0$ ，就有

$$
\sum_{i=1}^n\left|f\left(y_i\right)-f\left(x_i\right)\right|<\varepsilon_0
$$

取（23）中的 $\delta$ 为 $\delta_0$ ，由（23）知

$$
\sum_{i=0}^n\left(x_{i+1}-\left(x_i+h_i\right)\right)<\delta_0
$$

因此

$$
\begin{aligned}
2 \varepsilon_0 & <|f(c)-f(a)| \\
& \leqslant \sum_{i=0}^n\left|f\left(x_{i+1}\right)-f\left(x_i+h_i\right)\right|+\sum_{i=1}^n\left|f\left(x_i+h_i\right)-f\left(x_i\right)\right| \\
& <\varepsilon_0+r \sum_{i=1}^n h_i \leqslant \varepsilon_0+r(b-a)
\end{aligned}
$$

选 $r>0$ 满足 $r(b-a)<\varepsilon_0$ ，便有 $2 \varepsilon_0<2 \varepsilon_0$ ，不可能，故 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 恒等于 $f(a)$ ，即 $f(x)$ 为常数．$\square$

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