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牛顿-莱布尼兹公式

定理 5.7 （微积分基本定理或 Newton－Leibniz 公式）若 $f \in L(a, b)$ ， $F^{\prime}(x)=f(x)$ ，a．e．$x \in[a, b]$ ，且 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 绝对连续，则
（L） $\int_a^b f(x) d x=F(b)-F(a)$.
证明 已知 $F(x), \int_a^x f(t) d t$ 在 $[a, b]$ 绝对连续，且

$$
\left(F(x)-\int_a^x f(t) d t\right)^{\prime}=0, \text { a. e. } x \in[a, b]
$$

因此

$$
F(x)-\int_a^x f(t) d t=c, \quad \forall x \in[a, b]
$$

令 $x=a$ ，得 $c=F(a)$ ，代到上式得

$$
F(a)=F(x)-\int_a^x f(t) d t
$$

令 $x=b$ ，得

$$
F(b)-F(a)=\int_a^b f(t) d t
$$

便是所要证的结果．
Cantor 函数 $\Theta(x)$ 表明，定理中绝对连续的条件是不能少的．
本章的习题 9 表明，为了使 Newton－Leibniz 公式（20）成立，$F(x)$ 绝对连续在某种意义下的确是必要的。

作为定理 5.7 的一个应用，我们叙述 Lebesgue 积分的分部积分法．

定理 5.8 （分部积分法）设 $f, g$ 在 $[a, b]$ 绝对连续，则

$$
\int_a^b f(x) g^{\prime}(x) d x=\left.f(x) g(x)\right|_a ^b-\int_a^b f^{\prime}(x) g(x) d x
$$

证明 容易证明 $f g$ 在 $[a, b]$ 绝对连续，且

$$
\begin{gathered}
(f(x) g(x))^{\prime}=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x), \text { a. e. } x \in[a, b] \\
(f g)^{\prime} \in L(a, b), f^{\prime} g \in L(a, b), f g^{\prime} \in L(a, b) .
\end{gathered}
$$

因此

$$
\begin{aligned}
\int_a^b(f(x) g(x))^{\prime} d x & =\left.f(x) g(x)\right|_a ^b \\
& =\int_a^b f^{\prime}(x) g(x) d x+\int_a^b f(x) g^{\prime}(x) d x
\end{aligned}
$$

移项便得所要求的结果．
可以类似地建立 Lebesgue 积分的换元法则，我们在这就不赘述了．

当然，很乐意为您解释实变函数中的牛顿-莱布尼茨公式。

我们可以分两个层面来理解：先从我们熟悉的微积分版本入手，再深入到实变函数（勒贝格积分）的版本，并解释其深刻意义。

### 一、回顾：微积分中的牛顿-莱布尼茨公式

在我们熟悉的经典微积分中，牛顿-莱布尼茨公式是：

$$
\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)
$$

**核心思想：** 计算一个函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的**定积分**（一个复杂的“和的极限”），可以转化为寻找其**原函数** $F(x)$（满足 $F'(x) = f(x)$）并在区间端点求**差值**。

**前提条件：** 这里的 $f(x)$ 通常是**连续函数**，或者至多是分段连续的函数。原函数 $F(x)$ 是良好定义的。

---

### 二、实变函数中的牛顿-莱布尼茨公式

在实分析中，我们处理的对象更加广泛，包括一些性质很“差”的函数（如狄利克雷函数，在黎曼意义下不可积）。我们使用**勒贝格积分**，它比黎曼积分更强大。相应的，牛顿-莱布尼茨公式也需要被推广。

实变函数中，牛顿-莱布尼茨公式的核心思想是：

**一个函数在区间上的积分，可以由其“原函数”在端点值的差来描述。而关键在于，这个“原函数”需要具备什么样的性质。**

这个更现代、更一般的表述，紧密地与 **“绝对连续函数”** 和 **“有界变差函数”** 的概念联系在一起。

#### 核心概念与定理

**1. 有界变差函数**

直观理解：一个函数在区间上的“总起伏”是有限的。它的图像不会是无限振荡的。有界变差函数的一个重要性质是：**它几乎处处可微**。

**2. 绝对连续函数**

这是理解实变函数中牛顿-莱布尼茨公式的**关键**。

*   **直观理解：** 绝对连续函数是“一致连续”的超级加强版。它意味着函数不仅没有突然的跳跃（连续），而且其“累积的波动”可以被任意小地控制。
*   **形象比喻：**
    *   **连续函数：** 纸上画一条线，笔尖不离开纸面。
    *   **绝对连续函数：** 不仅笔尖不离开纸面，而且你手的抖动非常小。无论你选取纸上任意多个互不重叠的小区间，只要这些小区间的**总长度**足够小，那么函数在这些小区间上的**振幅总和**也足够小。
    *   **反例：** 像 **Cantor函数（魔鬼楼梯）** 这样的函数，它是连续且单调的（因此也是有界变差的），但它**不是**绝对连续的。它在几乎每一个点导数都为0，但函数值却从0增长到1。如果你对它尝试用牛顿-莱布尼茨公式，会得到 `F(1)-F(0) = 1`，但积分 `∫₀¹ F'(x) dx = ∫₀¹ 0 dx = 0`，公式失效。

#### 定理表述

实分析中一个非常优美和核心的结论是：

**定理：** 设 $F(x)$ 是定义在 $[a, b]$ 上的函数，则以下两条等价：

1.  $F(x)$ 是 **[a, b] 上的绝对连续函数**。
2.  $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上**几乎处处可微**，其导数 $F‘(x)$ 是 **勒贝格可积** 的，并且成立着**牛顿-莱布尼茨公式**：
    $$
    F(x) - F(a) = \int_a^x F'(t) \, dt \quad \text{对于所有 } x \in [a, b]
    $$

特别地，当 $x = b$ 时，就是我们熟悉的形式：
$$
\int_a^b F'(t) \, dt = F(b) - F(a)
$$

### 三、如何理解这个新版本？

1.  **谁是“原函数”？**
    在实变函数中，我们不再笼统地说“原函数”，而是精确地指定为 **“绝对连续函数”** $F(x)$。绝对连续性保证了 $F(x)$ 是积分上限函数，具有良好的“积分”性质。

2.  **谁是“被积函数”？**
    被积函数是 $F(x)$ 的导数 $F'(x)$。由于 $F(x)$ 绝对连续，它几乎处处可导，且 $F'(x)$ 是勒贝格可积的。

3.  **公式的深刻含义：**
    *   **微分与积分的互逆关系：** 这个定理完美地揭示了在勒贝格积分理论中，**“积分”是“微分”的逆运算**。
        *   **从右到左看：** 如果你从一个勒贝格可积函数 $f$ 出发，作积分上限函数 $F(x) = \int_a^x f(t) dt$，那么这个 $F(x)$ 一定是绝对连续的，并且 $F‘(x) = f(x)$ 几乎处处成立。
        *   **从左到右看：** 如果你从一个绝对连续函数 $F(x)$ 出发，对它先求导得到 $f(x) = F'(x)$，再对 $f(x)$ 积分，你就能精确地还原回 $F(x)$ 本身（精确到一个常数）。
    *   **为什么“绝对连续”是关键？** 因为它排除了像Cantor函数那样的“怪胎”。Cantor函数虽然连续且几乎处处导数为0，但它不是由积分“构造”出来的，它有自己“凭空”增长的部分，这部分用导数（局部变化率）是捕捉不到的。绝对连续性保证了函数的全部变化都来自于其导数的累积（即积分）。

### 总结

简单来说，实变函数中的牛顿-莱布尼茨公式告诉我们：在勒贝格积分的世界里，**绝对连续函数** 正是我们寻找的、能够完美满足微积分基本定理的那一类“原函数”。它将一个经典的计算公式，提升为了一个深刻刻画函数本质的结构性定理。

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