最后更新: 2025-01-21 12:11 查看: 358 次纠错评论(0) 课件开VIP

半群、独异点与群的定义

定义10．1
（1）设 $V=\langle S, \circ\rangle$ 是代数系统，$\circ$ 为二元运算，如果 $\circ$ 运算是可结合的，则称 $V$ 为半群．
（2）设 $V=\langle S, \circ\rangle$ 是半群，若 $e \in S$ 是关于 $\circ$ 运算的单位元，则称 $V$是含么半群，也叫做独异点．有时也将独异点 $V$ 记作 $V=\langle S , o , e \rangle$ ．
（3）设 $V=\langle S, 0\rangle$ 是独异点，$e \in S$ 关于 $\circ$ 运算的单位元，若 $\forall a \in S , a ^{-1} \in S$ ，则称 $V$ 是群．通常将群记作 $G$ ．

例1
（1）$< Z ^{+},+>,< N ,+>,< Z ,+>,< Q ,+>,< R ,+>$ 都是半群，+ 是普通加法．这些半群中除 $< Z ^{+},+>$外都是独异点
（2）设 $n$ 是大于 1 的正整数，$\left\langle M_n( R ),+>\right.$ 和 $\left\langle M_n( R ), \cdot>\right.$ 都是半群，也都是独异点，其中 + 和 $\cdot$ 分别表示矩阵加法和矩阵乘法
（3）$< P ( B ), \oplus>$ 为半群，也是独异点，其中 $\oplus$ 为集合对称差运算
（4）$< Z _n, \oplus>$ 为半群，也是独异点，其中 $Z _n=\{0,1, \ldots, n-1\}$ ，$\oplus$为模 $n$ 加法
（5）$\left\langle A ^A, \circ\right\rangle$ 为半群，也是独异点，其中 $\circ$ 为函数的复合运算
（6）$\left\langle R ^*\right.$ ，$\left.\circ\right\rangle$ 为半群，其中 $R ^*$ 为非零实数集合，$\circ$ 运算定义如下：$\forall x, y \in R^*, x \circ y=y$

例2 设 $G=\{e, a, b, c\}$ ，$G$ 上的运算由下表给出，称为Klein四元群
 ![图片](/uploads/2025-01/d15d2b.jpg)
特征：
1．满足交换律
2．每个元素都是自己的逆元
3．$a, b, c$ 中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：没有了

下一篇：有限群与阿贝尔 (Abel) 群

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)