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群与环
半群、独异点与群的定义
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更新:
2025-01-21 12:11
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半群、独异点与群的定义
定义10．1 （1）设 $V=\langle S, \circ\rangle$ 是代数系统，$\circ$ 为二元运算，如果 $\circ$ 运算是可结合的，则称 $V$ 为半群． （2）设 $V=\langle S, \circ\rangle$ 是半群，若 $e \in S$ 是关于 $\circ$ 运算的单位元，则称 $V$是含么半群，也叫做独异点．有时也将独异点 $V$ 记作 $V=\langle S , o , e \rangle$ ． （3）设 $V=\langle S, 0\rangle$ 是独异点，$e \in S$ 关于 $\circ$ 运算的单位元，若 $\forall a \in S , a ^{-1} \in S$ ，则称 $V$ 是群．通常将群记作 $G$ ． 例1 （1）$< Z ^{+},+>,< N ,+>,< Z ,+>,< Q ,+>,< R ,+>$ 都是半群，+ 是普通加法．这些半群中除 $< Z ^{+},+>$外都是独异点 （2）设 $n$ 是大于 1 的正整数，$\left\langle M_n( R ),+>\right.$ 和 $\left\langle M_n( R ), \cdot>\right.$ 都是半群，也都是独异点，其中 + 和 $\cdot$ 分别表示矩阵加法和矩阵乘法 （3）$< P ( B ), \oplus>$ 为半群，也是独异点，其中 $\oplus$ 为集合对称差运算 （4）$< Z _n, \oplus>$ 为半群，也是独异点，其中 $Z _n=\{0,1, \ldots, n-1\}$ ，$\oplus$为模 $n$ 加法 （5）$\left\langle A ^A, \circ\right\rangle$ 为半群，也是独异点，其中 $\circ$ 为函数的复合运算 （6）$\left\langle R ^*\right.$ ，$\left.\circ\right\rangle$ 为半群，其中 $R ^*$ 为非零实数集合，$\circ$ 运算定义如下：$\forall x, y \in R^*, x \circ y=y$ 例2 设 $G=\{e, a, b, c\}$ ，$G$ 上的运算由下表给出，称为Klein四元群  特征： 1．满足交换律 2．每个元素都是自己的逆元 3．$a, b, c$ 中任何两个元素运算结果都等于剩下的第三个元素
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