最后更新: 2025-01-21 12:13 查看: 154 次反馈刷题

有限群与阿贝尔 (Abel) 群

定义10．2（1）若群 $G$ 是有穷集，则称 $G$ 是有限群，否则称为无限群．群 $G$ 的基数称为群 $G$ 的阶，有限群 $G$ 的阶记作 $| G |$ ．
（2）只含单位元的群称为平凡群。
（3）若群 $G$ 中的二元运算是可交换的，则称 $G$ 为交换群或阿贝尔（Abel）群。

实例：
$< Z ,+>$ 和 $\left\langle R ,+>\right.$ 是无限群，$\left\langle Z _n, \oplus>\right.$ 是有限群，也是 $n$ 阶群。
Klein四元群是4阶群．$<\{0\},+>$ 是平凡群。
上述群都是交换群，$n$ 阶 $(n \geq 2)$ 实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群。

定义10．3 设 $G$ 是群，$a \in G, n \in Z$ ，则 $a$ 的 $n$ 次幂．

$$
a^n=\left\{\begin{array}{lc}
e & n=0 \\
a^{n-1} a & n>0 \\
\left(a^{-1}\right)^m & n<0, n=-m
\end{array}\right.
$$

群中元素可以定义负整数次幂．
在 $\left\langle Z _3, \oplus>\right.$ 中有

$$
2^{-3}=(2-1)^3=1^3=1 \oplus 1 \oplus 1=0
$$

在 $< Z ,+>$ 中有

$$
(-2)^{-3}=2^3=2+2+2=6
$$

定义10．4 设 $G$ 是群，$a \in G$ ，使得等式 $a^k=e$ 成立的最小正整数 $k$ 称为 $a$ 的阶，记作 $| a |= k$ ，称 $a$ 为 $k$ 阶元．若不存在这样的正整数 $k$ ，则称 $a$ 为无限阶元。

例如，在 $\left\langle Z _6, \oplus>\right.$ 中，
2 和 4 是 3 阶元，
3 是 2 阶元，
1 和5是6阶元，
0 是 1 阶元。
在 $<Z,+>$ 中， 0 是 1 阶元，其它整数的阶都不存在．

定理10．1 设 $G$ 为群，则 $G$ 中的幂运算满足：
（1）$\forall a \in G, \quad\left(a^{-1}\right)^{-1}=a$
（2）$\forall a, b \in G,(a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1}$
（3）$\forall a \in G, a^n a^m=a^{n+m}, \quad n, m \in Z$
（4）$\forall a \in G,\left(a^n\right)^m=a^{n m}, n, m \in Z$
（5）若 $G$ 为交换群，则 $(a b)^n=a^n b^n$ ．

定理10．2 G 为群，$\forall a, b \in G$ ，方程 $a x=b$ 和 $y a=b$ 在 $G$ 中有解且仅有惟一解。

定理10．3 $G$ 为群，则 $G$ 中适合消去律，即对任意 $a, b, c \in G$ 有
（1）若 $a b=a c$ ，则 $b=c$ ．
（2）若 $b a=c a$ ，则 $b=c$ ．
证明略
例4 设 $G=\left\{a_1, a_2, \ldots, a_n\right\}$ 是 $n$ 阶群，令

$$
a_i G=\left\{a_i a_j \mid j=1,2, \ldots, n\right\}
$$

证明：$a_i G=G$

定理10．4 $G$ 为群，$a \in G$ 且 $|a|=r$ ．设 $k$ 是整数，则
（1）$a^k=e$ 当且仅当 $r \mid k$
（2）$\left|a^{-1}\right|=|a|$

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