最后更新: 2025-04-21 08:26 查看: 43 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

练习：综合训练

`例`判断下列集合和运算是否构成半群，独异点和群．
（1）$a$ 是正整数，$G=\left\{a^n \mid n \in Z\right\}$ ，运算是普通乘法。
（2）$Q^{+}$是正有理数集，运算为普通加法。
（3）一元实系数多项式的集合关于多项式加法。
解
（1）是半群，独异点和群
（2）是半群但不是独异点和群
（3）是半群，独异点和群
方法：根据定义验证，注意运算的封闭性

`例`设 $V_1=\left\langle Z ,+>, V_2=\langle Z , \cdot>\right.$ ，其中 Z 为整数集合，+ 和．分别代表普通加法和乘法．判断下述集合 $S$ 是否构成 $V_1$ 和 $V _2$ 的子半群和子独异点．
（1）$S=\{2 k \mid k \in Z\}$
（2）$S=\{2 k+1 \mid k \in Z\}$
（3）$S=\{-1,0,1\}$
解
（1）$S$ 关于 $V_1$ 构成子半群和子独异点，但是关于 $V_2$ 仅构成子半群
（2）$S$ 关于 $V_1$ 不构成子半群也不构成子独异点，$S$ 关于 $V_2$ 构成子半群和子独异点
（3）$S$ 关于 $V_1$ 不构成子半群和子独异点，关于 $V_2$ 构成子半群和子独异点

`例`设 $Z_{18}$ 为模 18 整数加群，求所有元素的阶．
解：

$$
\begin{aligned}
& |0|=1, \quad|9|=2, \quad|6|=|12|=3, \quad|3|=|15|=6, \\
& |2|=|4|=|8|=|10|=|14|=|16|=9, \\
& |1|=|5|=|7|=|11|=|13|=|17|=18,
\end{aligned}
$$

说明：
群中元素的阶可能存在，也可能不存在．
对于有限群，每个元素的阶都存在，而且是群的阶的因子．
对于无限群，单位元的阶存在，是1；而其它元素的阶可能存在，也可能不存在．（可能所有元素的阶都存在，但是群还是无限群）．

`例`证明偶数阶群必含 2 阶元．
由 $x^2=e \Leftrightarrow|x|=1$ 或 2.
换句话说，对于 $G$ 中元素 $x$ ，如果 $|x|>2$ ，必有 $x^{-1} \neq x$ ．
由于 $|x|=\left|x^{-1}\right|$ ，阶大于 2 的元素成对出现，共有偶数个。
那么剩下的 1 阶和 2 阶元总共应该是偶数个。
1 阶元只有 1 个，就是单位元，从而证明了 $G$ 中必有 2 阶元．

`例`设 $G$ 为群， $a$ 是 $G$ 中的 2 阶元，证明 $G$ 中与 $a$ 可交换的元素构成 $G$ 的子群。

证 令 $H=\{x \mid x \in G \wedge x a=a x\}$ ，下面证明 $H$ 是 $G$ 的子群。
首先 $e$ 属于 $H , H$ 是 $G$ 的非空子集。
任取 $x, y \in H$ ，有

$$
\begin{aligned}
&\left(x y^{-1}\right) a=x\left(y^{-1} a\right)=x\left(a^{-1} y\right)^{-1}=x(a y)^{-1} \\
&=x(y a)^{-1}=x a^{-1} y^{-1}=x a y^{-1}=a x y^{-1}=a\left(x y^{-1}\right)
\end{aligned}
$$

因此 $x y^{-1}$ 属于 $H$ ．由判定定理命题得证．
分析：
证明子群可以用判定定理，特别是判定定理二．
证明的步骤是：
验证 $H$ 非空
任取 $x, y \in H$ ，证明 $x y^{-1} \in H$

`例`（1）设 $G$ 为模 12 加群，求 $<3>$ 在 $G$ 中所有的左陪集
（2）设 $X=\{x \mid x \in R, x \neq 0,1\}$ ，在 $X$ 上如下定义 6 个函数：

$$
\begin{

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：子环与环同态

下一篇：阅读：群与方程的解的关系

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)