最后更新: 2025-04-21 08:26 查看: 20 次反馈刷题

练习：综合训练

`例`判断下列集合和运算是否构成半群，独异点和群．
（1）$a$ 是正整数，$G=\left\{a^n \mid n \in Z\right\}$ ，运算是普通乘法。
（2）$Q^{+}$是正有理数集，运算为普通加法。
（3）一元实系数多项式的集合关于多项式加法。
解
（1）是半群，独异点和群
（2）是半群但不是独异点和群
（3）是半群，独异点和群
方法：根据定义验证，注意运算的封闭性

`例`设 $V_1=\left\langle Z ,+>, V_2=\langle Z , \cdot>\right.$ ，其中 Z 为整数集合，+ 和．分别代表普通加法和乘法．判断下述集合 $S$ 是否构成 $V_1$ 和 $V _2$ 的子半群和子独异点．
（1）$S=\{2 k \mid k \in Z\}$
（2）$S=\{2 k+1 \mid k \in Z\}$
（3）$S=\{-1,0,1\}$
解
（1）$S$ 关于 $V_1$ 构成子半群和子独异点，但是关于 $V_2$ 仅构成子半群
（2）$S$ 关于 $V_1$ 不构成子半群也不构成子独异点，$S$ 关于 $V_2$ 构成子半群和子独异点
（3）$S$ 关于 $V_1$ 不构成子半群和子独异点，关于 $V_2$ 构成子半群和子独异点

`例`设 $Z_{18}$ 为模 18 整数加群，求所有元素的阶．
解：

$$
\begin{aligned}
& |0|=1, \quad|9|=2, \quad|6|=|12|=3, \quad|3|=|15|=6, \\
& |2|=|4|=|8|=|10|=|14|=|16|=9, \\
& |1|=|5|=|7|=|11|=|13|=|17|=18,
\end{aligned}
$$

说明：
群中元素的阶可能存在，也可能不存在．
对于有限群，每个元素的阶都存在，而且是群的阶的因子．
对于无限群，单位元的阶存在，是1；而其它元素的阶可能存在，也可能不存在．（可能所有元素的阶都存在，但是群还是无限群）．

`例`证明偶数阶群必含 2 阶元．
由 $x^2=e \Leftrightarrow|x|=1$ 或 2.
换句话说，对于 $G$ 中元素 $x$ ，如果 $|x|>2$ ，必有 $x^{-1} \neq x$ ．
由于 $|x|=\left|x^{-1}\right|$ ，阶大于 2 的元素成对出现，共有偶数个。
那么剩下的 1 阶和 2 阶元总共应该是偶数个。
1 阶元只有 1 个，就是单位元，从而证明了 $G$ 中必有 2 阶元．

`例`设 $G$ 为群， $a$ 是 $G$ 中的 2 阶元，证明 $G$ 中与 $a$ 可交换的元素构成 $G$ 的子群。

证 令 $H=\{x \mid x \in G \wedge x a=a x\}$ ，下面证明 $H$ 是 $G$ 的子群。
首先 $e$ 属于 $H , H$ 是 $G$ 的非空子集。
任取 $x, y \in H$ ，有

$$
\begin{aligned}
&\left(x y^{-1}\right) a=x\left(y^{-1} a\right)=x\left(a^{-1} y\right)^{-1}=x(a y)^{-1} \\
&=x(y a)^{-1}=x a^{-1} y^{-1}=x a y^{-1}=a x y^{-1}=a\left(x y^{-1}\right)
\end{aligned}
$$

因此 $x y^{-1}$ 属于 $H$ ．由判定定理命题得证．
分析：
证明子群可以用判定定理，特别是判定定理二．
证明的步骤是：
验证 $H$ 非空
任取 $x, y \in H$ ，证明 $x y^{-1} \in H$

`例`（1）设 $G$ 为模 12 加群，求 $<3>$ 在 $G$ 中所有的左陪集
（2）设 $X=\{x \mid x \in R, x \neq 0,1\}$ ，在 $X$ 上如下定义 6 个函数：

$$
\begin{gathered}
f_1(x)=x, \quad f_2(x)=1 / x, \quad f_3(x)=1-x \\
f_4(x)=1 /(1-x), \quad f_5(x)=(x-1) / x, f_6(x)=x /(x-1)
\end{gathered}
$$

则 $G=\left\{f_1, f_2, f_3, f_4, f_5, f_6\right\}$ 关于函数合成运算构成群．求子群 $H=\left\{f_1, f_2\right\}$ 的所有的右陪集．

解 $(1)<3>=\{0,3,6,9\},<3>$ 的不同左陪集有 3 个，即

$$
\begin{aligned}
& 0+\langle 3>=\langle 3>, \\
& 1+\langle 3>=4+\langle 3>=7+<3>=10+<3>=\{1,4,7,10\}, \\
& 2+<3>=5+\langle 3>=8+<3>=11+<3>=\{2,5,8,11\} .
\end{aligned}
$$

（2）$\left\{f_1, f_2\right\}$ 有 3 个不同的陪集，它们是：
$H, H f_3=\left\{f_3, f_5\right\}, H f_4=\left\{f_4, f_6\right\}$.

`例`设 $H_1, H_2$ 分别是群 $G$ 的 $r, s$ 阶子群，若 $(r, s)=1$ ，证明 $H_1 \cap H_2=\{e\}$ ．
证 $H_1 \cap H_2 \leq H_1, H_1 \cap H_2 \leq H_2$ ．由Lagrange 定理，$\left|H_1 \cap H_2\right|$整除 $r$ ，也整除 $s$ 。从而 $\left|H_1 \cap H_2\right|$ 整除 $r$ 与 $s$ 的最大公因子。因为 $(r, s)=1$ ，从而 $\left|H_1 \cap H_2\right|=1$ ．即 $H_1 \cap H_2=\{e\}$ ．

某些有用的数量结果：设 $a$ 是群 $G$ 元素， $C$ 为 $G$ 的中心

$$
N(a)=\{x \mid x \in G, x a=a x\},
$$

－$|C|$ 是 $|N(a)|$ 和 $|G|$ 的因子，$|a|$ 是 $| N ( a )|$ 和 $| G |$ 的因子
$|H|=\left|x H x^{-1}\right|$
$\left|a^n\right|$ 是 $|a|$ 的因子
$a^2=e \Leftrightarrow a=a^{-1} \Leftrightarrow|a|=1,2$

`例`设 i 为虚数单位，即 $i ^2=-1$ ，令

$$
G=\left\{ \pm\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right), \pm\left(\begin{array}{cc}
i & 0 \\
0 & -i
\end{array}\right), \pm\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right), \pm\left(\begin{array}{ll}
0 & i \\
i & 0
\end{array}\right)\right\}
$$

则 $G$ 关于矩阵乘法构成群．找出 $G$ 的所有子群．
解 令 $A, B, C, D$ 分别为

$$
\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
i & 0 \\
0 & -i
\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}
0 & i \\
i & 0
\end{array}\right)
$$

$G$ 的子群有 6 个，即
平凡子群：$\langle A \rangle=\{ A \}, G$
2 阶子群：$<-A>=\{A,-A\}$ ，
4 阶子群：

$$
\begin{aligned}
& < B >=\{A, B,- A ,- B \}, \\
& < C >=\{A, C,-A,-C\}, \\
& < D >=\{A, D,-A,-D\},
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-01/3cb614.jpg)
 
 
 `例`设群G的运算表如表所示，问G是否为循环群？如果是，求出它所有的生成元和子群. 
解
易见 $a$ 为单位元．
由于 $|G|=6,|b|=6$ ，所以 $b$ 为生成元．$G=\langle b>$ 为循环群．$| f \mid=6$ ，因而 $f$ 也是生成元 $|c|=3,|d|=2,|e|=3$ ，因此 $c, d, e$ 不是生成元。

子群：

$$
\begin{aligned}
& <a>=\{a\},<c>=\{c, e, a\}, \\
& <d>=\{d, a\}, G .
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-01/789b04.jpg)
  
  
  
 `例`证明Fermat小定理：设 $p$ 为素数，则 $p \mid\left( n ^p- n \right)$
证：考虑一个圆环上等距离穿有 $p$ 个珠子，用 $n$ 种颜色对珠子着色．考虑围绕中心旋转，则群是

$$
\begin{aligned}
& G =\left\{\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_p\right\} \\
& \sigma_1=(\bullet)(\bullet) \ldots(\bullet) \\
& \sigma_2=(\bullet \bullet \ldots \bullet) \\
& \ldots \\
& \sigma_p=(\bullet \bullet \ldots \bullet)
\end{aligned}
$$

根据Polya定理，不同的着色方案数是

$$
M=\frac{1}{p}\left[n^p+(p-1) n^1\right]=\frac{1}{p}\left(n^p-n+p n\right)
$$

于是 $p \mid\left( n ^{p-n)}\right.$

`例`在整数环中定义＊和 $\diamond$ 两个运算，$\forall a, b \in Z$ 有

$$
a * b=a+b-1, a \diamond b=a+b-a b .
$$

证明 $< Z , *, \diamond>$ 构成环
证 $\forall a, b \in Z$ 有 $a * b, a \diamond b \in Z$ ，两个运算封闭．任取 $a, b, c \in Z$

$$
\begin{aligned}
& (a * b) * c=(a+b-1) * c=(a+b-1)+c-1=a+b+c-2 \\
& a *(b * c)=a *(b+c-1)=a+(b+c-1)-1=a+b+c-2
\end{aligned}
$$

$(a \diamond b) \diamond c=(a+b-a b) \diamond c=a+b+c-(a b+a c+b c)+a b c$

$$
a \diamond(b \diamond c)=a \diamond(b+c-b c)=a+b+c-(a b+a c+b c)+a b c
$$

$*$ 与 $\diamond$ 可结合， 1 为 $*$ 的单位元． $2-a$ 为 $a$ 关于 $*$ 的逆元． Z 关于 $*$构成交换群，关于 $\diamond$ 构成半群。 $\diamond$ 关于 $*$ 满足分配律。

$$
a \diamond(b * c)=a \diamond(b+c-1)=2 a+b+c-a b-a c-1
$$

$$
a \diamond b) *(a \diamond c)=2 a+b+c-a b-a c-1
$$

$\langle Z , *, \diamond>$ 构成环
 
  
 `例`判断下列集合和给定运算是否构成环，整环和域，如果不构成，说明理由．
（1）$A=\{a+b i \mid a, b \in Q\}$ ，其中 $i ^2=-1$ ，运算为复数加法和乘法．
（2）$A=\{2 z+1 \mid z \in Z\}$ ，运算为实数加法和乘法
（3）$A=\{2 z \mid z \in Z\}$ ，运算为实数加法和乘法
（4）$A=\{x \mid x \geq 0 \wedge x \in Z\}$ ，运算为实数加法和乘法．
（5）$A=\left\{a+b^4 \sqrt{5} \mid a, b \in Q \right\}$ ，运算为实数加法和乘法
解（1）是环，是整环，也是域．
（2）不是环，因为关于加法不封闭。
（3）是环，不是整环和域，因为乘法没有么元．
（4）不是环，因为正整数关于加法的负元不存在．
（5）不是环，因为关于乘法不封闭．

刷题

做题，是检验是否掌握数学的唯一真理

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