最后更新: 2025-04-20 16:27 查看: 59 次反馈刷题

子环与环同态

## 子环
定义14.6 $[R ;+, \cdot]$ 为环，$S \subseteq R, S \neq \varnothing$ ，当 $[S ;+, \cdot]$ 是环时，称它为 $R$ 的子环。特别在 $S=R$或 $S=\{0\}$ 时称它为 $R$ 的平凡子环，否则称为 $R$ 的非平凡子环。当 $S$ 是 $R$ 的真子集时，称 $S$为 $R$ 的真子环。

根据定义知，$[Z ;+, \cdot]$ 是 $[Q ;+, \cdot]$ 的真子环，而 $Q$ 又是 $R$ 和 $C$ 的真子环，此处的 $R$ 是指实数域。由于环是建立在群与半群的基础上的，所以上一章所证明的有关子群的等价定义可以引入子环中，得到相应的子环的等价定义，在此介绍其中之一。

## 定理14.3
$[R ;+, \cdot]$ 为环，$S \neq \varnothing, S \subseteq R,[S ;+, \cdot]$ 是 $R$ 的子环，当且仅当，对任 $a, b \in S$
（1）$a+b \in S$
（2）$-a \in S$
（3）$a \cdot b \in S$
证明：必要性显然成立。
充分性：由（1）（2）知 $[S ;+]$ 为 $[R ;+]$ 的子群，由（3）知 $S$ 关于乘法•封闭，显然满足结合律，$[S ; \cdot]$ 为半群；$S \subseteq R, ~ " \cdot "$ 关于＂+ ＂在 $S$ 上亦满足分配律，$[S ;+, \cdot]$ 为环，是 $R$ 的子环。

定义 14.7 环的中心是指所有与 $R$ 中的任意元在乘法运算下可交换的那些元素全体，即 $C=\{x \mid x \in R, \forall a \in R, a x=x a\}$ 。

### 定理14.4
环 $R$ 的中心 $C$ 是它的子环。
证明：任取 $x, y \in C$ ，由条件知，对任 $a \in R$ ，

$$
\begin{gathered}
a x=x a, y a=a y \\
a(x+y)=a x+a y=x a+y a=(x+y) a
\end{gathered}
$$

所以 $x+y \in C$ ，又

$$
a x=x a, a(-x)=-(a x)=-(x a)=(-x) a
$$

所以 $-x \in C$ ，又

$$
a(x y)=(a x) y=x(a y)=(x y) a
$$

所以 $x y \in C$ ，根据定义知，$C$ 是 $R$ 的一个子环。

## 定义14.8
$[R ;+$,$] 为有单位元环， e$ 为其单位元，则 $E$（见例 14．7）称为 $R$ 的单位子环。当 $|E|<+\infty$ ，必有 $m, n \in Z, m \neq n$ ，使 $m e=n e, ~(m-n) e=0$ 。使 $k e=0$ 之最小正整数称为环 $R$ 的特征数；如果不存在这样的整数，则称该环的特征数为 0 ，以 char $R$ 表示 $R$ 的特征数。

定理14．5 设 $p$ 为有单位元环 $R$ 的特征数，则
（1）对任何 $a \neq 0, p a=0$ ，而且，当 $R$ 是整环时，$p$ 也是使 $p a=0$ 对任何 $a \neq 0$ 都成立的最小非零正整数。
（2）当 $R$ 为整环时，其特征数或为素数或为 0 ．
证明：（1）$p a=p(e a)=(p e) a=0 \cdot a=0$
（2）反证：假定 $R$ 的特征数为合数 $p=p_1 p_2, p_1 \neq 1, p_2 \neq 1$ ，由（1）可知，对任 $a \in R, p a=0$

$$
p a=\left(p_1 p_2\right) a=\left(p_1 a\right)\left(p_2 e\right)=0
$$

因为 $R$ 是整环，没有零因子，由上式或 $p_1 a=0$ 或 $p_2 e=0$ ，与 $p$ 为特征数的条件矛盾。所以整环之特征数或为素数或为 0 。

## 环同态
定义 14.9 已知环 $[R ;+, \cdot]$ 与 $\left[R^{\prime} ; \circ, *\right]$ ，若存在映射 $\varphi: R \rightarrow R^{\prime}$ ，对任 $r_1, r_2 \in R$ 有

$$
\begin{aligned}
& \varphi\left(r_1+r_2\right)=\varphi\left(r_1\right) \circ \varphi\left(r_2\right) \\
& \varphi\left(r_1 r_2\right)=\varphi\left(r_1\right) * \varphi\left(r_2\right)
\end{aligned}
$$

则称 $\varphi$ 为 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的同态映射；当 $\varphi(R)=R^{\prime}$ 称两个环同态；当 $\varphi$ 为一一对应时称两个环同构；当 $R^{\prime} \subseteq R$ 时，称 $R$ 到 $R^{\prime}$ 的同态为自同态，同构为自同构。

由群的同态与同构的性质，容易证明环的同态与同构的性质。
定理14．6 设环 $[R ;+, \cdot]$ 与环 $\left[R^{\prime} ; \circ, *\right.$ ，有同态映射 $\varphi$ ，则 $\varphi(R) \neq \phi$ ，
定理 14.6 设环 $[R ;+, \cdot]$ 与环 $\left[R^{\prime} ; \circ, *\right.$ ，有同态映射 $\varphi$ ，则 $\varphi(R) \neq \phi$ ，
（1）$\varphi(0)=0^{\prime}, 0$ 为 $R$ 之加法单位元， $0^{\prime}$ 为 $R^{\prime}$ 之加法单位元。
（2）如果 $R$ 和 $R^{\prime}$ 均为有单位元环，且 $e, e^{\prime}$ 分别为其单位元，当 $\varphi$ 是满射或者 $R^{\prime}$ 为无零因子环且 $\varphi$ 不是零同态，则 $\varphi(e)=e^{\prime}$ 。
 
（3）$\varphi(R) \subseteq R^{\prime}$ 必为 $R^{\prime}$ 的子环。
本定理的证明留作习题。
推论14．1 若两个环 $R$ 与 $R^{\prime}$ 同构，$R \cong R^{\prime}$ ，则 $R$ 为整环时，$R^{\prime}$ 也为整环，$R$ 为除环时 $R^{\prime}$也是除环，$R$ 为域时 $R^{\prime}$ 也为域。

推论 14.1 的结论不能拓广到两个环同态的情况。
例14．8 整数环与同余类环可以同态，但两个环性质不一定相同。
设 $\varphi: Z \rightarrow Z_n$ ，对任 $x \in Z, \varphi(x)=[x] \in Z_n$ 。它是同态映射，因为

$$
\begin{aligned}
& \varphi(x+y)=[x+y]=[x] \oplus[y]=\varphi(x) \oplus \varphi(y) \\
& \varphi(x \cdot y)=\varphi(x y)=[x y]=[x] \otimes[y]=\varphi(x) \otimes \varphi(y)
\end{aligned}
$$

且 $\varphi$ 为到上的映射，故 $Z$ 与 $Z_n$ 同态。

##  子环与环同态的通俗解释

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**1. 子环（Subring）**
定义：子环是环的一个“小圈子”，它继承原环的加法和乘法运算，并且自己也能独立构成一个环。  
通俗理解：  
• 类比：就像班级里的“数学兴趣小组”，这个小组里的学生（元素）仍然能进行加减乘除（运算），但范围更小。

• 例子：整数环 ℤ 中的偶数集合 2ℤ 是一个子环，因为两个偶数相加或相乘还是偶数。

关键性质：  
1. 封闭性：子环对加法、减法、乘法均封闭（例如，两个子环元素相加或相乘后仍在子环内）。  
2. 包含零元：子环必须包含原环的零元（例如，2ℤ 包含 0）。  
3. 独立性：子环可以有自己的单位元（例如，高斯整数环 ℤ[i] 有单位元 1，但整数环 2ℤ 没有单位元）。

实际意义：  
• 子环是研究环结构的基础工具，例如整数环的子环可以分解为更简单的结构（如模运算中的剩余类）。

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**2. 环同态（Ring Homomorphism）**
定义：环同态是保持环运算的映射，即两个环之间的函数，满足：  
• 加法保持：$ f(a + b) = f(a) + f(b) $

• 乘法保持：$ f(ab) = f(a)f(b) $

通俗理解：  
• 类比：就像一个“翻译器”，将原环的语言转换为目标环的语言，但保持运算规则不变。

• 例子：

• 整数环 ℤ 到模 5 剩余类环 ℤ₅ 的映射 $ f(n) = n \mod 5 $，满足 $ f(3+4)=f(7)=2 $，而 $ f(3)+f(4)=3+4=7 \equiv 2 \mod 5 $。

• 温度转换：摄氏温度转华氏温度 $ F = 1.8C + 32 $，虽然不严格是环同态，但体现了结构保持的思想。

关键性质：  
1. 零元映射：原环的零元必须映射到目标环的零元（例如，$ f(0_ℤ) = 0_{ℤ₅} $）。  
2. 逆元映射：原环中元素的逆元映射为目标环中对应元素的逆元（例如，$ f(-a) = -f(a) $）。  
3. 单射与满射：  
   • 单同态：映射是单射（例如，整数环到偶数环的自然嵌入）。

• 满同态：映射是满射（例如，模运算映射 $ ℤ \to ℤ_n $）。

实际意义：  
• 环同态是研究环之间关系的重要工具，例如通过同态分解环的结构（如同态基本定理）。

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**3. 子环与环同态的关系**
• 子环是同态的像：任何子环都可以看作某个环同态的像（例如，偶数环 2ℤ 是映射 $ f: ℤ \to ℤ, f(n)=2n $ 的像）。

• 同态的核是子环：环同态的核（输入映射到零元的元素集合）是原环的子环，并且是理想（一种特殊子环）。

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**4. 通俗总结**
| 概念 | 核心思想                     | 生活类比                     | 例子                          |
|----------|----------------------------------|----------------------------------|----------------------------------|
| 子环 | 环中的“小环”，保留原环运算规则   | 班级里的兴趣小组                 | 整数环中的偶数集合 2ℤ             |
| 环同态 | 保持运算结构的映射               | 温度转换、语言翻译               | 整数环到模 5 剩余类环的映射       |

应用场景：  
• 密码学：通过环同态实现加密算法（如 RSA 的模幂运算）。

• 计算机科学：哈希函数设计中利用环同态性质优化数据存储。

• 数学分析：通过子环分解复杂结构（如多项式环的理想分解）。

刷题

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