最后更新: 2025-04-21 08:20 查看: 255 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

格与子群格

## 格
在抽象代数中，格（Lattice）是一种特殊的代数结构，它通过偏序关系或二元运算来描述元素之间的序关系和运算性质。以下是其核心定义、性质及分类的详细说明：
 
### 一、格的定义
格有两种等价的定义方式：

1. 基于偏序集的定义  
   设 $(L, \leq)$ 是一个偏序集，若对任意两个元素 $a, b \in L$，集合 $\{a, b\}$ 均存在最小上界（上确界，记为 $a \vee b$）和最大下界（下确界，记为 $a \wedge b$），则称 $(L, \leq)$ 为格。  
   • 示例：

◦ 集合的幂集格：集合的子集按包含关系构成格，交为下确界，并为上确界。

◦ 整数子群格：整数加法子群按包含关系构成格，交与并对应子群的生成。

2. 基于代数结构的定义  
   设 $(L, \vee, \wedge)$ 是一个代数系统，若运算 $\vee$ 和 $\wedge$ 满足：  
   • 交换律：$a \vee b = b \vee a$，$a \wedge b = b \wedge a$

• 结合律：$(a \vee b) \vee c = a \vee (b \vee c)$，$(a \wedge b) \wedge c = a \wedge (b \wedge c)$

• 吸收律：$a \vee (a \wedge b) = a$，$a \wedge (a \vee b) = a$

则称 $(L, \vee, \wedge)$ 为代数格。

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二、格的性质
1. 对偶原理  
   若命题 $f$ 在格中成立，则其对偶命题 $f^*$（将 $\vee$ 与 $\wedge$、$\leq$ 与 $\geq$ 互换）也成立。例如，分配律的对偶形式仍成立。

2. 保序性  
   若 $a \leq b$，则对任意 $c \in L$，有 $a \vee c \leq b \vee c$ 和 $a \wedge c \leq b \wedge c$。

3. 有限子格的完备性  
   任意有限子集均有上确界和下确界，因此格是完备格的子类。

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三、特殊类型的格
1. 分配格  
   若运算 $\vee$ 和 $\wedge$ 满足分配律：  
   \[a, b, c](@ref)或  
   \[a, b, c](@ref)则称该格为分配格。例如，集合的幂集格是分配格。

2. 有界格  
   若存在最大元 $1$ 和最小元 $0$，使得对任意 $a \in L$，有 $0 \leq a \leq 1$，则称其为有界格。例如，布尔代数是有界分配格。

3. 有补格  
   在有界格中，若每个元素 $a$ 均存在补元 $b$（即 $a \vee b = 1$ 且 $a \wedge b = 0$），则称其为有补格。布尔代数中的元素均有唯一

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