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第七章 群与环
左陪集
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更新:
2025-04-21 08:34
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左陪集
## 左陪集的定义与性质 设 $G$ 是群， $H$ 是 $G$ 的子群， $H$ 的左陪集，即 $$ a H=\{a h \mid h \in H\}, \quad a \in G $$ 关于左陪集有下述性质： （1）$e H=H$ （2）$\forall a \in G, a \in a H$ （3）$\forall a, b \in G, a \in b H \Leftrightarrow b-1 a \in H \Leftrightarrow a H=b H$ （4）若在 $G$ 上定义二元关系 $R$ ， $$ \forall a, b \in G, \quad<a, b>\in R \Leftrightarrow b^{-1} a \in H $$ 则 $R$ 是 $G$ 上的等价关系，且 $[a]_R=a H$ ． （5）$\forall a \in G, H \approx a H$ ## 左陪集的主要作用 1. 等价关系与划分 左陪集通过定义等价关系 $ a \sim b \iff a^{-1}b \in H $，将群 $ G $ 划分为互不相交的子集（陪集），满足： • 覆盖性：所有左陪集的并集等于 $ G $。 • 互斥性：不同陪集无公共元素。 *示例*：整数加群 $ \mathbb{Z} $ 中，子群 $ 3\mathbb{Z} $ 的左陪集为 $ 0 + 3\mathbb{Z}, 1 + 3\mathbb{Z}, 2 + 3\mathbb{Z} $，覆盖所有整数且互不重叠。 2. 简化群的研究 通过陪集分解，可将群 $ G $ 的复杂结构转化为对代表元的研究。例如，对称群 $ S_3 $ 的子群 $ H = \{e, (1\;2)\} $ 的左陪集分解为 $ H, (1\;3)H, (2\;3)H $，仅需研究这三个代表元即可理解整个群的行为。
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