最后更新: 2025-04-20 16:24 查看: 33 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

模

## 模

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**1. 模的正式定义（抽象代数视角）**
在群论中，模（Module）是一种结合了群结构和环作用的代数对象。具体定义如下：

• 基础结构：模是一个交换群$ (M, +) $，即群运算为加法且满足交换律。

• 环作用：存在一个环$ R $，在$ M $ 上定义标量乘法$ R \times M \to M $，记为$ r \cdot m $，满足以下条件：

1. 分配律：  
    $ r \cdot (m_1 + m_2) = r \cdot m_1 + r \cdot m_2 $  
    $ (r_1 + r_2) \cdot m = r_1 \cdot m + r_2 \cdot m $
  2. 结合律：  
    $ (r_1 r_2) \cdot m = r_1 \cdot (r_2 \cdot m) $
  3. 单位元作用：  
    $ 1_R \cdot m = m $（若$ R $ 有单位元）
    
特殊类型：
• 左模与右模：根据标量乘法写在左侧或右侧区分。

• 幺模：环 $ R $ 有单位元且满足单位元作用条件。

• 自由模：存在一组生成元，类似向量空间的基。

例子：
• 整数模 $ n $：$ \mathbb{Z}_n = \{0, 1, ..., n-1\} $ 在模 $ n $ 加法下构成循环群，是 $ \mathbb{Z} $-模。

• 向量空间：域 $ F $ 上的向量空间是 $ F $-模的特例（乘法可交换）。

• 交换群：任何交换群 $ G $ 都是 $ \mathbb{Z} $-模，标量乘法为整数倍 $ n \cdot g = g + g + \dots + g $（$ n $ 次相加）。

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**2. 模在群论中的核心作用**
**(1) 推广向量空间到更一般环上**
• 向量空间是域上模的特例（标量乘法可交换且非零元可逆）。

• 非交换环上的模：例如矩阵环上的模，标量乘法不满足交换律，对应更复杂的群结构。

**(2) 研究群同态与商群**
• 模同态：保持群加法和标量乘法的映射，用于分析群的结构。

• 例如：线性变换是向量空间（$ \mathbb{F} $-模）的同态。

• 商模：通过子模构造商群，类似商群在群论中的作用。

• 例如：$ \mathbb{Z} $-模 $ \mathbb{Z} $ 的子模是理想，商模为 $ \mathbb

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