最后更新: 2025-01-21 18:19 查看: 64 次反馈刷题

平面图的五色定理

定理7－6．3 任意一个简单的连通平面图点着色至多五色
首先，我们证明 $G$ 中一定存在一个顶点，其度数小于等于 5。用反证法，若每一个顶点度数均大于 5 ，所以 $d ( v ) \geq 6$ ，即有 $\sum d ( v ) \geq 6|V|$ ，即 $2|E| \geq 6|V|$ ，即 $|E| \geq 3|V|$ 。但 $G$ 是简单的连通平面图，由定理2有 $|E| \leq 3|V|-6$ ，显然产生矛盾。矛盾说明，原图至少有一个顶点度数小于等于 5 。
下面对图的顶点用归纳法来证明五色定理。
当 $n=|V| \leq 5$ 时，结论显然成立。
归纳假设对小于等于 $n-1$ 顶点的图，定理成立。
下面看有 n 个顶点的图。
证明：
由前面知，此图一定有一个顶点记为 $v_0, d\left(v_0\right) \leq 5$ 。从图 $G$中擦去 $v_0$ 得一个 $G$ 的子图，它有 $n-1$ 个顶点，且是连通的平面图，并可以 5 着色。我们对它施行一种着色，使得它用红 ，白，黄，蓝，黑五种颜色刚好对这个子图的每一个顶点着上一种颜色，且相邻接顶点着不同颜色。

若 $d\left(v_0\right)<5$ ，或 $d\left(v_0\right)=5$ ，但与 $v_0$ 邻接的这些顶点仅着了四种颜色，则 $v _0$ 可着第 5 种颜色，定理成立（见下图）。
 ![图片](/uploads/2025-01/a89b6b.jpg)
 
 若 $d\left(v_0\right)=5$ ，且和 $v _0$ 邻接的 5 个顶点着的是 5 种不同颜色，如图。
$v _1$ 着黄色，与 $v _1$ 相邻的其余顶点中，一定有一个着白色的，否则 $v _1$ 可以改着白色，而 $v _0$ 着黄色，定理得证。
 ![图片](/uploads/2025-01/513042.jpg)

设 $v_{i 1}$ 和 $v_1$ 相邻，且 $v_{i 1}$ 着白色，与 $v_{i 1}$ 相邻接的顶点中，一定有着黄色的，否则 $v _{i 1}$ 着黄色， $v _1$ 着白色， $v _0$ 着黄色．．．。由上我们可以得到图中一条黄白两色顶点交错的线。这条线若最后可以通到 $v_3$ ，则得到一条从 $v_1$ 到 $v_3$ 的封闭的黄白交错的圈（包括 $v _0$ ），也有可能这条线无论怎样都走不到 $v _3$ 。

如果黄白线无论怎样都走不到 $v _3$ ，此时我们可以把这条线的顶点着色改一下，着黄色的改为着白色，着白色的改为着黄色。此时 $v _0$ 可着黄色。
 ![图片](/uploads/2025-01/3fcf9d.jpg)
 
 如果黄白线走到 $v _3$ ，我们看 $v _2$ 与 $v _5$ ，如法炮制，从 $v _2$ 出发产生蓝红线。若蓝红线无论怎样都走不到 $v _5$ ，此时我们可以改动这一条线上顶点着色，v2改着红，把着红改为着蓝，着蓝的改为着红。此时，v0可着蓝色。
  ![图片](/uploads/2025-01/3a93d9.jpg)
  
  如果蓝红线也走到 $v _5$ ，即我们得到一条从 $v_2$ 到 $v_5$ 的封闭的蓝红交错的圈（包括 $v _0$ ）。此时，黄白线与红蓝线一定相交，因为是平面图，交点也是顶点，则交点着色产生矛盾，即交点在黄白线上应着白色或黄色，又交点在红蓝线上应着红色或蓝色。矛盾说明此情况不可能发生。定理得证。
   ![图片](/uploads/2025-01/2fc89f.jpg)

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