最后更新: 2025-01-21 20:48 查看: 71 次反馈刷题

主析取范式与主合取范式

主析取范式——由极小项构成的析取范式
主合取范式——由极大项构成的合取范式
例如，$n=3$ ，命题变项为 $p, q, r$ 时，
$(\neg p \wedge \neg q \wedge r) \vee(\neg p \wedge q \wedge r) \Leftrightarrow m _1 \vee m _3$ ——主析取范式
$(p \vee q \vee \neg r) \wedge(\neg p \vee \neg q \vee \neg r) \Leftrightarrow M_1 \vee M_7$ —主合取范式

公式 $A$ 的主析取（合取）范式——与 $A$ 等值的主析取（合取）范式定理 2.5 （主范式的存在惟一定理）

任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式，并且是惟一的

求公式主析取范式的步骤：
设公式 $A$ 含命题变项 $p_1, p_2, \ldots, p_n$
（1）求 $A$ 的析取范式 $A^{\prime}=B_1 \vee B_2 \vee \ldots \vee B_s$ ，其中 $B_j$ 是简单合取式 $j=1,2, \ldots, s$
（2）若某个 $B_j$ 既不含 $p_i$ ，又不含 $\neg p_i$ ，则将 $B _j$ 展开成

$$
B_j \Leftrightarrow B_j \wedge\left(p_i \vee \neg p_i\right) \Leftrightarrow\left(B_j \wedge p_i\right) \vee\left(B_j \wedge \neg p_i\right)
$$

重复这个过程，直到所有简单合取式都是长度为 $n$ 的极小项为止
（3）消去重复出现的极小项，即用 $m_i$ 代替 $m_i \vee m_i$
（4）将极小项按下标从小到大排列

求公式的主合取范式的步骤：
设公式 $A$ 含命题变项 $p_1, p_2, \ldots, p_n$
（1）求 $A$ 的合取范式 $A^{\prime}=B_1 \wedge B_2 \wedge \ldots \wedge B_s$ ，其中 $B_j$ 是简单析取式 $j=1,2, \ldots, s$
（2）若某个 $B _j$ 既不含 $p _i$ ，又不含 $\neg p _i$ ，则将 $B _j$ 展开成

$$
B _j \Leftrightarrow B _j \vee\left(p_i \wedge \neg p_i\right) \Leftrightarrow\left(B_j \vee p_i\right) \wedge\left(B_j \vee \neg p_i\right)
$$

重复这个过程，直到所有简单析取式都是长度为 $n$ 的极大项为止
（3）消去重复出现的极大项，即用 $M_i$ 代替 $M_i \wedge M_i$
（4）将极大项按下标从小到大排列
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