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集合概述

## 集合概述
在计算机科学领域中，集合论是不可缺少的数学工具，它在形式语言、自动机、人工智能、数据库、语言学等领域都有着非常重要的应用。集合论起源于 16 世纪末，但实际发展始于 19 世纪 70 年代。1874年，德国数学家康托尔 （G．Cantor）以数学为工具提出了关于基数、序数、超穷数和续集等理论，奠定了集合论的基础。因此，康托尔是公认的集合论的创始人。

经过了一百多年的发展，集合论已成为一门成熟的学科分支，作为当代数学大厦的一部分起到了奠基性、支撑性作用。对于计算机工作者来说，集合论是不可缺少的理论基础。

集合论的基本内容包括以下三个方面：
（1）集合论基础：包括集合的基本概念、表示方法、集合运算等内容，还包括容斥原理的应用。

（2）关系：关系是建立在集合论基础上的一种特殊集合，它研究客观世界中事物间关联的规则，主要包括关系的基本概念、表示方法、关系运算以及常用的特殊关系，如等价关系、偏序关系等。
（3）函数：函数是一种特殊的规范化关系，包括函数的基本概念、函数的分类、函数运算以及常用的一些特殊函数。

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##  第 1 章 集合论基础
### 1.1 集合的基本概念
**1．1．1 集合及其元素**
**集合是指具有某种特定性质事物的全体**。通常情况下，用带标号或不带标号的大写字母表示，如 $A 、 B 、 X_1$ 等。这里的事物可以理解为存在于世界上的客观对象，它可以是具体的，也可以是抽象的，如人、书、桌子、花、自然数、实数、三角形等。

对于集合，可以举一些例子。

`例1.1`（1） 26 个英文字母构成一个集合。
（2）所有的自然数构成一个集合。
（3）计算机学院2021级学生构成一个集合。
组成集合的那些对象称为集合的**元素**，通常用带标号或不带标号的小写字母表示，如 $a 、 b_2$ 等。设 $A$ 是一个集合，如果元素 $a$ 是集合 $A$ 中的元素，则用 $a \in A$ 表示，读作＂$a$ 属于 $A$＂；反之，如果元素 $a$ 不是集合 $A$ 中的元素，则用 $a \notin A$ 表示，读作＂$a$ 不属于 $A$＂。集合、元素和属于是集合论中的三个最基本的概念。

`例1.2` 设 $A$ 是全体偶数组成的集合，则 $2 \in A, 8 \in A$ ；而 $3 \notin A, 9 \notin A$ 。

对于集合元素的个数不做任何限制，它可以是有限个，也可以是无限个。若集合由有限个元素组成，则称其为**有限集**（或有穷集）；若集合由无限个元素组成，则称其为**无限集**（或无穷集）。例如 26 个英文字母组成的集合是有限集，整数集合是无限集。

特殊的，称元素个数为零的集合为**空集**，记为 $\varnothing$ 。与空集相对应的是**全集**，它包括所讨论对象的全体，记为 $E$ 。全集的概念是相对的。不同的问题有不同的全集，全集的选取要看具体研究的问题。如讨论人的问题，则全体人构成一个全集 $E$ 。

空集和全集是两个特殊集合，在集合论中具有非常重要的地位。
 
 
 
**1．1．2 集合的性质**
对于集合，一般具有以下三个性质：
（1）确定性 确定性是指任何一个元素是否属于某个集合是确定的，即或者是这个集合的元素，或者不是，二者必居其一。
（2）互异性 互异性是指一个集合的各个元素是可以互相区分开的，并且每个元素只能出现一次。如果某个元素在集合中多次出现，也只能看作一个元素。如集合 $\{1,2,3,2\}$ 就等同于集合 $\{1,2,3\}$ 。
（3）无序性 无序性是指一个集合中所有元素之间的排列次序是任意的，即集合的表示形式不是唯一的，如集合 $\{1,2,3\}$ 和集合 $\{2,1,3\}$ 是同一个集合。

集合的这几个性质，可以通过外延公理、概括公理、正则公理这三大公理得到验证。

**1．1．3 集合的表示方法**
集合由其所包含的元素完全确定，它有很多种表示方法，比较常用的方法主要有以下几种。

**1．列举法（外延法）**
所谓列举法就是将集合中的元素用一对花括号括起来，这个集合可以是有限集，也可以是无限集。如果是有限集，只需将集合中所有的元素列在花括号内；如果是无限集，则要求该集合是可列集，即集合中的元素之间有明显的关系，或者能够写出集合中元素的特点。

`例1.3` 以下几个集合均采用了列举法。
（1）$V=\{a, e, i, o, u\}$
（2）$B=\{$ 桌子，椅子 $\}$
（3）$C=\{1,4,9,16,25,36, \cdots\}$
（4）$N=\{0,2,4,6,8, \cdots\}$
列举法的优点在于透明性，但并不是所有的集合都可以用列举法表示出来。例如，区间 $[0,1]$ 中的所有实数，就无法用列举法来表示。而且，从计算机的角度看，列举法是一种＂静态＂表示法，如果一下子将这么多的＂数据＂输入计算机，将占据大量的＂内存＂。这时需要寻找其他表示方法。

**2．描述法（概括法，隐式法）**
描述法是通过刻画集合中元素所具备的某种特性来表示集合的一种方法。通常用符号 $P(x)$ 来表示不同对象 $x$ 所具有的性质 $P$ ，由 $P(x)$ 所定义的集合常记为 $\{x \mid P(x)\}$ 。例如无法用列举法表示闭区间 $[0,1]$ 中的所有实数，但可以用描述法将其表示成：$\{x \mid 0 \leqslant x \leqslant 1, x \in \mathbf{R}\}$ 。

`例1.4`以下几种表示集合的方法均采用了描述法。
（1）$V=\{x \mid x$ 是元音字母 $\}$
（2）$B=\left\{x \mid x=a^2, a\right.$ 是非零自然数 $\}$
（3）$D=\{x \mid x$ 是动物 $\}$

**3．文氏图法**
文氏图（Venn Diagram）法是在平面上用封闭曲线包围点集的图形来表示集合的一种方法。一般情况下，用一个平面中的矩形区域表示所研究的全集 $E$ ，而对包含于全集内的集合用矩形区域内的圆形或椭圆形表示，用点来表示集合中的元素。

对于例1．4中的集合 $V$ ，其文氏图如图1．1所示。

文氏图法在表示集合间的关系时较为直观、形象，故目前被广泛应用。

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 ## 1.2 集合间的关系

集合的相等和包含关系是集合间的两个基本关系。下面具体讨论集合之间的包含与相等关系。

### 1．2．1 相等关系和包含关系
**定义1．1** 设 $A$ 和 $B$ 是两个集合，如果 $A$ 和 $B$ 的元素完全相同，则称集合 $A$ 和集合 $B$ 相等，记作 $A=B$ ；否则，称集合 $A$ 和集合 $B$ 不相等，记作 $A \neq B$ 。

`例1.5` 设集合 $A=\{x \mid x$ 是偶数，且 $0<x<10\}$ ，集合 $B=\{2,6,4,8\}$ ，则 $A=B$ 。

**定义1．2** 设 $A$ 和 $B$ 是两个集合，若集合 $A$ 的每一个元素都是集合 $B$ 中的元素，则称集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集，记作 $A \subseteq B$ ，读作＂$A$ 包含于 $B$＂，也可以记作 $B \supseteq A$ ，读作＂$B$ 包含 $A$＂。

图1．2给出了包含关系的文氏图。

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**定义1.3** 设 $A$ 和 $B$ 是两个集合，若 $A \subseteq B$ ，且 $A \neq B$ ，则称 $A$ 是 $B$ 的真子集，记作 $A \subset B$ ，读作＂$A$ 真包含于 $B$＂，也可以记作 $B \supset A$ ，读作＂$B$ 真包含 $A$＂。

`例1.6`设集合 $A=\{2,4,6,8\}$ ，集合 $B=\{x \mid x$ 是正偶数 $\}$ ，则有 $A \subset B$ ，同时满足 $A \subseteq B$ 。

**定义1．4** 集合 $A$ 中所包含不同元素的个数，称为集合 $A$ 的**基数**，通常用 $|A|$ 或 $\operatorname{card}(A)$ 表示。

`例1.7`集合 $A=\{1,2,3\}$ ，有 $|A|=3$ ；对空集 $\varnothing$ ，有 $|\varnothing|=0$ 。

**定义1.5** 对于有限集 $A$ ，如果 $|A|=n$ ，简称 $A$ 为 $n$ 元集，它的基数为 $m(0 \leqslant m \leqslant n)$ 的子集称为集合 $A$ 的 $m$ 元子集。

任意给定一个有限集，只要将子集按照基数由小到大的顺序进行分类，就可以不重复、无遗漏地将它的全部子集写出来。

`例1.8` 设集合 $A=\{a, b, c\}$ ，写出它的全部子集。
解： 0 元子集，有 $\mathrm{C}_3^0=1$ 个：$\varnothing$ 。
1 元子集，有 $\mathrm{C}_3^1=3:\{a\},\{b\},\{c\}$ 。
2元子集，有 $\mathrm{C}_3^2=3:\{a, b\},\{b, c\},\{a, c\}$ 。
3 元子集，有 $\mathrm{C}_3^3=1:\{a, b, c\}$ 。
所以，共有 $\mathrm{C}_3^0+\mathrm{C}_3^1+\mathrm{C}_3^2+\mathrm{C}_3^3=8$ 个子集。
一般情况下，对于 $n$ 元集，它的 $m(0 \leqslant m \leqslant n)$ 元子集有 $\mathrm{C}_n^m$ 个。所以，$n$ 元集的不同子集总数有 $\mathrm{C}_n^0+\mathrm{C}_n^1+\cdots+\mathrm{C}_n^n=2^n$ 。

**定义1．6** 对于每个非空集合 $A$ ，至少有两个不同的子集 $\varnothing$ 和 $A$ ，称 $\varnothing$ 和 $A$是 $A$ 的**平凡子集**。

**定义 1.7** 给定集合 $A$ ，由集合 $A$ 的所有子集（包括空集及 $A$ 本身）为元素组成的集合，称为集合 $A$ 的**幂集**，记为 $\rho(A)$ 或 $2^A$ ，即

$$
\rho(A)=\{S \mid S \subseteq A\}
$$

`例1.9`设集合 $A=\{a, b\}$ ，则 $\rho(A)=\{\varnothing,\{a\},\{b\}, A\}$ 。

`例1.10` 设集合 $A=\varnothing$ ，则 $\rho(A)=\{\varnothing\}$ 。

> **由幂集的定义可以看出，任意一个集合的幂集不可能是空集**。

**定理1.1** 若集合 $A$ 为由 $n$ 个元素组成的有限集，则其幂集 $\rho(A)$ 为有限集且

$$
|\rho(A)|=2^n
$$

证明：由 $A$ 的 $m(0 \leqslant m \leqslant n)$ 元子集有 $\mathrm{C}_n^m$ 个，当 $m$ 从 0 取到 $n$ 时就构成了集合 $A$ 所有的子集，因此，集合 $A$ 的子集的个数为

$$
\mathrm{C}_n^0+\mathrm{C}_n^1+\cdots+\mathrm{C}_n^n=2^n
$$

因此，$\rho(A)$ 的基数为 $2^n$ 。

### 1．2．2 重要性质
对于集合的相等关系和包含关系，有如下重要性质。
**定理1．2** 任何集合 $A$ 都是自身的子集，即 $A \subseteq A$ 。
**定理1．3** 设 $A$ 和 $B$ 是两个集合，$A=B$ 的充要条件是：$A \subseteq B$ 且 $B \subseteq A$ ，即两个集合相等的充分必要条件是它们互为子集。

证明：（1）必要性
因为 $A=B$ ，由集合相等的定义可知 $A$ 中的每个元素都属于 $B$ ，所以有 $A \subseteq B$ ；同理，$B$ 中的每个元素都属于 $A$ ，所以，$B \subseteq A$ 。
（2）充分性
用反证法。如果 $A \neq B$ ，则 $A$ 中至少存在一个元素不在 $B$ 中，与 $A \subseteq B$ 矛盾；或者 $B$ 中至少有一个元素不在 $A$ 中，与 $B \subseteq A$ 矛盾。所以，$A \neq B$ 不可能成立，故 $A=B$ 。

**定理1．4** $\varnothing$ 是一切集合的子集，即 $\varnothing \subseteq A$ 。
证明：反证法。设存在某一集合 $A$ ，使得 $\varnothing$ 不是集合 $A$ 的子集，则存在 $x \in \varnothing$ 且 $x \notin A$ ，这与 $\varnothing$ 的定义相矛盾。因此，$\varnothing \subseteq A$ 。

**定理1．5** 空集是唯一的。
证明：假设有 2 个空集 $\varnothing_1$ 和 $\varnothing_2$ 。由定理1．4得出 $\varnothing_1 \subseteq \varnothing_2$ 且 $\varnothing_2 \subseteq \varnothing_1$ 。由集合相等的定义有 $\varnothing_1=\varnothing_2$ 。故空集是唯一的。

## 阅读：罗素悖论
1874 年康托尔发表了一篇题为《关于所有实代数所组成集合的一个性质》的论文，开创了现代集合论的研究。随后，康托尔以他一系列杰出的工作为集合论奠定了基础，使集合论成为现代数学的一个重要的分支。然而，从康托尔创立集合论的时候起，就有一个既基本又明显的问题一直困惑着数学家们：集合论研究的对象是集合，可是集合是什么呢？我们在前面所提到的集合的概念是＂具有共同性质的一些东西汇集成一个整体＂，这是凭直观经验建立起来的，一般称为朴素集合论。在朴素集合论中，似乎用不着为＂集合＂下一个严格的定义。但随着数学的发展，单凭直观经验建立起来的集合概念存在着问题，早在 1895 年康托尔就已经察觉到这一点，他和其他的一些数学家曾经举出不少例子指明朴素集合论将导致矛盾，其中最著名的例子是英国哲学家和数学家罗素（Russell，1872—1970）在 1901 年给出的，在数学史上称为罗素悖论。

在讨论悖论和罗素悖论之前，首先给出命题的概念。所谓命题，是指能区别真假的陈述语句。例如，＂我是学生＂和＂今天不下雨＂是命题，因为它们是能判别真假的陈述语句。而＂祝你一帆风顺！＂和＂你明天下午出去吗？＂这类祈使句和疑问句就不是命题。

所谓悖论，是指对于命题 $Q$ ，如果从 $Q$ 为真，可以推导出 $Q$ 为假，又从 $Q$ 为假可以推导出 $Q$ 为真，我们就说命题 $Q$ 是一个悖论。显然，如果从命题 $P$ 可引出一个命题 $Q$ ，而 $Q$是一个悖论，那么 $P$ 也是一个悖论。

在介绍罗素悖论之前，我们先介绍两个悖论：说谎悖论和理发师悖论。它们都是通俗而有趣的，能够帮助我们理解罗素悖论。

说谎悖论是一个古代的通俗悖论。有一个人断言：＂我正在说谎＂。我们要问：这个人是在说谎还是在讲真话？

如果他在说谎，这表明他的断言＂我正在说谎＂是谎话，也就是说他在讲真话。所以我们得出这样一个结论，如果他是说谎，那么他是讲真话（即没有说谎）。

另一方面，如果他讲真话，这表明他的断言＂我正在说谎＂是真话，也就是说他正说谎话，所以我们得出如下结论：如果他是讲真话，那么他在说谎（即没有讲真话）。

通过以上分析我们看到，以命题出现的断言＂我正在说谎＂就是一个悖论，因为我们无法断言它的真假。

## 理发师悖论
1918 年罗素给出了理发师悖论：在一个村子里，有一个理发师宣布他给而且只给村子里所有自己不替自己理发的人理发。现在要问：谁给这个理发师理发？

如果理发师是由别人来给他理发，也就是说理发师自己不替自己理发，那么按照理发师自己所说的，这位理发师应该给他自己理发。

另一方面，如果理发师是由自己来给自己理发，那么按照理发师自己所说的，这个理发师不能给自己理发。

因此这也是一个悖论：理发师由别人来给他理发，不行；理发师由自己来给自己理发，也不行。

下面介绍罗素悖论。罗素悖论是相当简单的，一点也用不到集合论的专门知识。
罗素将集合分成两类：一类是集合 $A$ 本身是 $A$ 的一个元素，即 $A \in A$ ；如所有不是苹果的东西组成的集合，这个集合本身就不是苹果，所以它是这个集合自身的元素。另一类是集合 $A$ 本身不是 $A$ 的一个元素，即 $A \notin A$ ；如 26 个英语字母组成的集合，由于这个集合本身不是一个字母，所以这个集合不是它自身的元素。

由罗素的分类，我们构造一个集合 $S: S=\{A \mid A \notin A\}$ 。也就是说，$S$ 是由满足条件 $A \notin A$ 的那些集合 $A$ 组成的一个新的集合。我们要问：$S$ 是不是它自己的一个元素？即 $S \in S$ ，还是 $S \notin S$ ？

如果 $S \notin S$ ，因为集合 $S$ 由所有满足条件 $A \notin A$ 的集合组成，由于 $S \notin S$ ，所以 $S$ 满足对于集合 $S$ 中元素的定义，即 $S$ 是集合 $S$ 的元素，也就是说 $S \in S$ 。

如果 $S \in S$ ，因为 $S$ 中任一元素 $A$ 都有 $A \notin A$ ，又由于 $S \in S$ ，根据集合 $S$ 的规定，可知 $S$ 不是集合 $S$ 的元素，也就是说 $S \notin S$ 。
这样，便得到了矛盾：既不是 $S \in S$ ，也不是 $S \notin S$ 。这个悖论就是著名的罗素悖论。
罗素悖论的出现，说明朴素集合论有问题，从而使数学的基础发生了动摇，引起了一些著名数学家的极大重视。在现代数学中，为了防止这类悖论的出现，产生各种公理化的集合论和不同的学派，这里不做介绍了。

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