最后更新: 2025-01-22 08:12 查看: 80 次反馈刷题

集合的表示

我们首先讨论一个问题：什么是集合？“一些教师”是不是集合？“复旦大学教师”又是不是集合？
所谓集合，就是具有共同性质的一些东西汇集成一个整体。复旦大学教师就是一个集合，组成这一集合的每个元素都具有共同性质：都是复旦大学教师。而“一些教师”就不是集合，因为我们无法确定其范围和性质。本章并不是要讨论特定的集合，而是从抽象的角度讨论集合的基本概念：集合的表示、集合的子集、集合的运算，并简单地介绍集合论的悖论

我们通常用大写字母表示集合，如 $S, A$ 等。构成一个集合中的那些对象称为该集合的元素，通常用小写字母或数字表示集合的元素。用 $a \in A$ 表示 $a$ 是集合 $A$ 的元素，读作 $a$ 属于 $A$ 。用 $a \notin A$ 表示 $a$ 不是集合 $A$ 的元素，读作 $a$ 不属于 $A$ 。

例如，所有整数全体构成的集合记为 $Z$ ，则 $3 \in Z,-8 \in Z, 6.5 \notin Z$ 。
集合中的元素可以是具体的事物，也可以是抽象的符号。集合有如下的表示方法。
（1）枚举法：通过列出集合中的所有元素来表示一个集合。例如，集合 $A$ 的元素为 1,3 ， $5,7,9$ ，则集合 $A$ 可表示为 $A=\{1,3,5,7,9\}$ 。
（2）特性刻画法（描述法）：通过描述集合中元素具有共同性质来表示一个集合。例如，集合 $A$ 的元素为 $x^2=1$ 的根，则集合 $A$ 表示为 $A=\left\{x \mid x^2-1=0\right\}$ 。一般来说，满足特性 $P$ 的元素组成的集合记为：$\{x \mid P(x)\}$ ，其中 $P(x)$ 是＂$x$ 具有特性 $P^{\prime \prime}$ 的一个简写。

上述两种表示方法都是常用的，前者多用于元素个数较少的情况，后者多用于元素个数较多（或无限），并且各对象具有共同性质的情况。往往一个集合可以同时用上述两种方法表示，如 $\left\{x \mid x^2-1=0\right\}$ 也可以表示成 $\{1,-1\},\{x \mid x$ 为小于或等于 7 的质数 $\}$ 也可以表示成 $\{1$ ， $2,3,5,7\}$ 。
（3）递归定义法：通过某规则的计算来定义集合中的元素，在此情况下，集合常称为递归定义的集合。我们将在第4章对这一方法做详细介绍。

不含有任何元素的集合称为空集，记为 $\varnothing$ 或 $\}$ 。如果在一个集合中元素个数有限，则称该集合为有限集，否则称该集合为无限集。有限集 $A$ 中的元素个数称为集合 $A$ 的基数（详见第4 章），记为 $|A|$ 。例如，$A=\{x \mid x$ 是大于 1 小于 6 的质数 $\},|A|=3 。 A=\left\{x \mid x^2+1=0, x\right.$ 为实数 $\}$ 是空集 $\varnothing,|A|=|\varnothing|=0$ 。

集合中的元素是不能重复出现的。由于一个集合完全由它的元素所确定，所以集合中的元素之间的次序是无关紧要的。例如，集合 $\{a, b, c\}$ 与 $\{b, a, c\}$ 是完全相同的集合。在特殊问题中，集合中元素可以重复出现，这种集合称为多重集，如 $\{a, b, a, b, c\}$ 和 $\{1,2,3$ ， $1,4\}$ 等。

一个集合也可以是其他集合的元素，以集合作为元素所组成的集合称为集合族。例如， $S=\{\{a, b\},\{a, b, c\},\{d, e\}\}, S$ 的元素 $\{a, b\},\{a, b, c\}$ 和 $\{d, e\}$ 又都是集合，如集合 $\{a, b, c \}$ ，其元素是 $a, b$ 和 $c$ ，而 $a, b, c$ 都不是集合 $S$ 的元素。又如，$S=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$ 的元素是 $\varnothing$ 和 $\{\varnothing\}$ 。必须注意 $\varnothing$ 与 $\{\varnothing\}$ 是不同的，$\{\varnothing\}$ 表示以 $\varnothing$ 为元素的集合。

本书用 $I$ 或 $Z$ 表示整数集；$I^{+}$或 $Z^{+}$表示正整数集；$Q$ 表示有理数集；$Q^{+}$表示正有理数集； $Q^{-}$表示负有理数集；$R$ 表示实数集；$R^{+}$表示正实数集等。

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