最后更新: 2025-01-22 08:16 查看: 57 次反馈刷题

集合的子集

我们可以用平面上封闭曲线包围点集的图形来表示集合，该图形称为文氏图（Venn Diagrams）。例如，集合 A={1，2，3}的文氏图如图 1.1 所示。文氏图还能表示集合之间的相互关系，集合 A 包含在集合 B 中，如图 1.2 所示。
 ![图片](/uploads/2025-01/220955.jpg)
 定义 1.1 设 $A$ 和 $B$ 是两个集合。 $A$ 的每个元素都是 $B$ 的元素，则称 $A$ 是 $B$ 的子集，记为 $A \subseteq B$ 或 $B \supseteq A$ ，分别读作 $A$ 包含在 $B$ 中或 $B$ 包含 $A$ 。特别地，$A \subseteq A$ 。

定义 1.1 在给出子集定义的同时，还给出该定义的反面：若存在元素 $a \in A$ ，但 $a \notin B$ ，则 $A$ 不是 $B$ 的子集。

例如，$\{x \mid-1<x<2\}$ ，因 0.5 是该集合的元素，而不是整数集的元素，所以集合 $\{x \mid-1<x<2\}$不是整数集 $Z$ 的子集。

定义 1.2 集合 $A$ 和 $B$ 的元素全相同，则称 $A$ 和 $B$ 相等，记为 $A=B$ ；否则称 $A$ 和 $B$ 不相等，记为 $A \neq B$ 。

定理1．1 设 $A$ 和 $B$ 是两个集合，则 $A=B$ 当且仅当 $A \subseteq B$ ，并且 $B \subseteq A$ 。
证明：$\Rightarrow$ 因为 $A=B$ ，由定义 1.2 ，对任意的 $a \in A, a \in B$ 成立，因此有 $A \subseteq B$ ；同理，对任意的 $a \in B, a \in A$ 成立，因此 $B \subseteq A$ 。
$\Leftarrow 反 之$ ，若 $A \neq B$ 。因为集合 $A$ 和 $B$ 的元素不全相同，则 $A$ 中至少有一元素不在 $B$ 中，或者 $B$ 中至少有一元素不在 $A$ 中；如果 $A$ 中至少有一元素不在 $B$ 中，则与 $A \subseteq B$ 矛盾；如果 $B$ 中至少有一元素不在 $A$ 中，则与 $B \subseteq A$ 矛盾。所以 $A \neq B$ 不可能成立。
定义 1.3 若 $A \subseteq B$ ，且 $A \neq B$ ，则称集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集，记为 $A \subset B$ 。也可以说， $A$ 是 $B$ 的子集，并且 $B$ 中至少有一个元素不属于 $A$ 。

例如，$\{a\} \subset\{a, b\}$ 。
注意，$\in$ 与 $\subseteq$ 和 $\subset$ 是完全不同的概念，$\in$ 表示元素与集合的属于关系，而 $\subseteq$ 和 $\subset$ 表示集合与集合的包含关系。

例如，$S_1=\{a\}, S_2=\{\{a\}\}, S_3=\{a,\{a\}\}$ 。则 $a \in S_3, S_1 \subset S_3, ~\{a\} \in S_3, S_2 \subset S_3, S_1 \in S_3, S_1 \in S_2$ 。
定义 1.4 在取定一个集合 $U$ 以后，对于 $U$ 的任意子集而言，称 $U$ 为全集。
全集是一个相对的概念。例如，实数集对于整数集，有理数集而言是全集，而整数集对于偶数集，奇数集而言也是全集。

定理 1.2 对于任何集合 $A$ ，必有（1）$\varnothing \subseteq A$ ，（2）$A \subseteq A$ ，（3）$A \subseteq U$ 。
证明：（1）用反证法证明，假设空集 $\varnothing$ 不是集合 $A$ 的子集，则至少有一个元素 $x, x \in \varnothing$且 $x \notin A$ 。又根据空集的定义，$\varnothing$ 没有元素，所以对任何 $x$ ，必有 $x \notin \varnothing$ ，这样导致矛盾。因此空集是任何集合的子集，即 $\varnothing \subseteq A$ 。
（2），（3）证明集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集，则由定义 1.1 ，对任何 $x \in A$ ，如果 $x \in B$ ，则 $A \subseteq B$成立。证明过程略。

对于集合 $A=\{1,2,3\}, \varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}$ 和 $\{1,2,3\}$ 都是集合 $A$ 的子集。这些子集全体构成集合称为 $\{1,2,3\}$ 的幂集。幂集定义如下。

定义 1.5 设 $A$ 是任意集合，$A$ 的所有子集所组成的集合称为集合 $A$ 的幂集，记为 $P(A)$ ，或记为 $2^A$ ，即 $P(A)=\{B \mid B \subseteq A\}$ 。

例1．1 设 $A=\{a\}, P(A)=\{\varnothing,\{a\}\}$ 。
设 $A=\{a, b\}, P(A)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a, b\}\}$ 。
设 $A=\{a, b, c\}, P(A)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{c\},\{a, b\},\{a, c\},\{b, c\},\{a, b, c\}\}$ 。
定理1．3 设 $A$ 是有限集，则 $|P(A) \quad|=2^{|A|}$ 。
证明：对于有限集合 $A$ ，设 $|A|=n$ 。从 $n$ 个元素中选取 $i$ 个元素有 $C(n, i)$ 种取法。所以 $P$
$(A) \mid=C(n, 0)+C(n, 1)+C(n, 2)+\cdots+C(n, n)=(1+1)^n=2^n$ ，即 $|P(A)|=2^{|A|}$ 。

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