最后更新: 2026-05-18 19:01 查看: 178 次纠错评论(0) 课件开VIP

有限集合的计数与集合的子集

## 1． 4 有限集合的计数

本节主要讨论有限集的计数，即计算有限集中元素的个数。有了集合的运算定律，结合集合基数的概念，可以求出任意一个有限集合中元素的个数。

**定理1.6** 如果集合 $A$ 和集合 $B$ 是分离的有限集，则有：

$$
|A \cup B|=|A|+|B|
$$

其中，＂＋＂是普通的算术加法。
证明：在计算 $A \cup B$ 中元素个数时，先计算集合 $A$ 中的元素个数，再计算 $A \cup B$ 中不在 $A$ 中的其余元素个数。由于 $A$ 和 $B$ 是分离的，$B$ 中没有元素在 $A$中，所以，有 $|B|$ 个不在 $A$ 中的元素在 $B$ 中。因此，

$$
|A \cup B|=|A|+|B|
$$

当集合 $A$ 和集合 $B$ 不分离时，$|A \cup B|$ 的计算公式如下：

**定理1．7** 如果集合 $A$ 和集合 $B$ 是有限集，则[容斥原理](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3936)公式为：

$$
|A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|
$$

其中，＂＋＂和＂-＂都是普通的算术运算。
这一定理的证明，可以直接采用文氏图来推导，这里文氏图法非常直观简单。由图1．9可得：

$$
=|A|+|B|-|A \cap B|
$$

![图片](/uploads/2026-05/497d3f.jpg)
 
 
 `例1.19`  20 名青年中有 10 名是公司职员， 12 名是学生，其中 5 名既是职员又是学生，问有几名既不是职员，又不是学生？

解：设集合 $A$ 是所有职员组成的集合，集合 $B$ 是所有学生组成的集合，根据题意有：

$$
\begin{gathered}
|A|=10 \\
|B|=12 \\
|A \cap B|=5
\end{gathered}
$$

根据容斥原理，

$$
\begin{gathered}
|A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|=10+12-5=17 \\
|\sim(A \cup B)|=20-17=3
\end{gathered}
$$

因此，有 3 名既不是职员，又不是学生。

**定理 1.8** 对任意三个有限集 $A, B, C$ ，则容斥原理公式为

$$
|A \cup B \cup C|=|A|+|B|+|C|-|A \cap B|-|A \cap C|-|B \cap C|+|A \cap B \cap C|
$$

容斥原理在实际问题中有很广泛的应用。

`例1.20` 某班有学生 60 人。其中， 38 人学习 Java 语言， 16 人学习 C＋＋语言， 21 人学习 Python 语言，三种语言都学习的有 3 人，三种语言都不学习的有 4 人，问仅学习两种语言的学生有多少人？

解：设 $A$ 是学习 Java 语言的学生组成的集合，$B$ 是学习 $\mathrm{C}++$ 语言的学生组成的集合，$C$ 是学习 Python 语言的学生组成的集合，根据题意有：

$$
\begin{gathered}
|A|=38,|B|=16,|C|=21 \\
|A \cap B \cap C|=3 \\
|E|-|A \cup B \cup C|=4
\end{gathered}
$$

根据容斥原理，

$$
\begin{gathered}
|A \cup B \cup C|=|A|+|B|+|C|-|A \cap B|-|A \cap C|-|B \cap C|+|A \cap B \cap C| \\
56=38+16+21-|A \cap B|-|A \cap C|-|B \cap C|+3
\end{gathered}
$$

$$
|A \cap B|+|A \cap C|+|B \cap C|=22
$$

利用文氏图1．10可以看出，仅仅学习两门语言的学生人数为

$$
\begin{aligned}
\left|S_1\right|+\left|S_2\right|+\left|S_3\right| & =|A \cap B|+|A \cap C|+|B \cap C|-3|A \cap B \cap C| \\
& =22-3 \times 3=13
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2026-05/c2da5b.jpg)
 
**定理1．9** 设有 $n$ 个有限集 $A_1, A_2, \cdots, A_n$ ，则容斥原理公式为

$$
\begin{gathered}
\left|A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n\right|=\sum_{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left|A_i \cap A_j\right|+ \\
\sum_{1 \leqslant i<j<k \leqslant n}\left|A_i \cap A_j \cap A_k\right|-\cdots+(-1)^{n-1}\left|A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n\right|
\end{gathered}
$$
## 集合的子集
我们可以用平面上封闭曲线包围点集的图形来表示集合，该图形称为文氏图（Venn Diagrams）。例如，集合 A={1，2，3}的文氏图如图 1.1 所示。文氏图还能表示集合之间的相互关系，集合 A 包含在集合 B 中，如图 1.2 所示。
 ![图片](/uploads/2025-01/220955.jpg)
 定义 1.1 设 $A$ 和 $B$ 是两个集合。 $A$ 的每个元素都是 $B$ 的元素，则称 $A$ 是 $B$ 的子集，记为 $A \subseteq B$ 或 $B \supseteq A$ ，分别读作 $A$ 包含在 $B$ 中或 $B$ 包含 $A$ 。特别地，$A \subseteq A$ 。

定义 1.1 在给出子集定义的同时，还给出该定义的反面：若存在元素 $a \in A$ ，但 $a \notin B$ ，则 $A$ 不是 $B$ 的子集。

例如，$\{x \mid-1<x<2\}$ ，因 0.5 是该集合的元素，而不是整数集的元素，所以集合 $\{x \mid-1<x<2\}$不是整数集 $Z$ 的子集。

## 定义 1.2 集合相等

集合 $A$ 和 $B$ 的元素全相同，则称 $A$ 和 $B$ 相等，记为 $A=B$ ；否则称 $A$ 和 $B$ 不相等，记为 $A \neq B$ 。

定理1．1 设 $A$ 和 $B$ 是两个集合，则 $A=B$ 当且仅当 $A \subseteq B$ ，并且 $B \subseteq A$ 。
证明：$\Rightarrow$ 因为 $A=B$ ，由定义 1.2 ，对任意的 $a \in A, a \in B$ 成立，因此有 $A \subseteq B$ ；同理，对任意的 $a \in B, a \in A$ 成立，因此 $B \subseteq A$ 。
$\Leftarrow 反 之$ ，若 $A \neq B$ 。因为集合 $A$ 和 $B$ 的元素不全相同，则 $A$ 中至少有一元素不在 $B$ 中，或者 $B$ 中至少有一元素不在 $A$ 中；如果 $A$ 中至少有一元素不在 $B$ 中，则与 $A \subseteq B$ 矛盾；如果 $B$ 中至少有一元素不在 $A$ 中，则与 $B \subseteq A$ 矛盾。所以 $A \neq B$ 不可能成立。

## 真子集
定义 1.3 若 $A \subseteq B$ ，且 $A \neq B$ ，则称集合 $A$ 是集合 $B$ 的真子集，记为 $A \subset B$ 。也可以说， $A$ 是 $B$ 的子集，并且 $B$ 中至少有一个元素不属于 $A$ 。

例如，$\{a\} \subset\{a, b\}$ 。

> 注意，$\in$ 与 $\subseteq$ 和 $\subset$ 是完全不同的概念，$\in$ 表示元素与集合的属于关系，而 $\subseteq$ 和 $\subset$ 表示集合与集合的包含关系。

例如，$S_1=\{a\}, S_2=\{\{a\}\}, S_3=\{a,\{a\}\}$ 。则 $a \in S_3, S_1 \subset S_3, ~\{a\} \in S_3, S_2 \subset S_3, S_1 \in S_3, S_1 \in S_2$ 。

## 全集
定义 1.4 在取定一个集合 $U$ 以后，对于 $U$ 的任意子集而言，称 $U$ 为全集。
全集是一个相对的概念。例如，实数集对于整数集，有理数集而言是全集，而整数集对于偶数集，奇数集而言也是全集。

定理 1.2 对于任何集合 $A$ ，必有（1）$\varnothing \subseteq A$ ，（2）$A \subseteq A$ ，（3）$A \subseteq U$ 。
证明：（1）用反证法证明，假设空集 $\varnothing$ 不是集合 $A$ 的子集，则至少有一个元素 $x, x \in \varnothing$且 $x \notin A$ 。又根据空集的定义，$\varnothing$ 没有元素，所以对任何 $x$ ，必有 $x \notin \varnothing$ ，这样导致矛盾。因此空集是任何集合的子集，即 $\varnothing \subseteq A$ 。
（2），（3）证明集合 $A$ 是集合 $B$ 的子集，则由定义 1.1 ，对任何 $x \in A$ ，如果 $x \in B$ ，则 $A \subseteq B$成立。证明过程略。

## 幂集
对于集合 $A=\{1,2,3\}, \varnothing,\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\}$ 和 $\{1,2,3\}$ 都是集合 $A$ 的子集。这些子集全体构成集合称为 $\{1,2,3\}$ 的幂集。幂集定义如下。

定义 1.5 设 $A$ 是任意集合，$A$ 的所有子集所组成的集合称为集合 $A$ 的幂集，记为 $P(A)$ ，或记为 $2^A$ ，即 $P(A)=\{B \mid B \subseteq A\}$ 。

`例1.1` 设 $A=\{a\}, P(A)=\{\varnothing,\{a\}\}$ 。
设 $A=\{a, b\}, P(A)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a, b\}\}$ 。
设 $A=\{a, b, c\}, P(A)=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{c\},\{a, b\},\{a, c\},\{b, c\},\{a, b, c\}\}$ 。
定理1．3 设 $A$ 是有限集，则 $|P(A) \quad|=2^{|A|}$ 。
证明：对于有限集合 $A$ ，设 $|A|=n$ 。从 $n$ 个元素中选取 $i$ 个元素有 $C(n, i)$ 种取法。所以 $P$
$(A) \mid=C(n, 0)+C(n, 1)+C(n, 2)+\cdots+C(n, n)=(1+1)^n=2^n$ ，即 $|P(A)|=2^{|A|}$ 。

其他版本
【高中数学】集合(高中)

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

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