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笛卡儿积

## 笛卡儿积
**定义1.6** 两个对象 $a, b$ 按一定次序组成一对，称为有序对，记为 $(a, b)$ 。两个有序对相等记为 $(a, b)=(c, d)$ ，当且仅当 $a=c$ 和 $b=d$ 同时成立。

当 $a \neq b$ 时，$(a, b) \neq(b, a)$ ，但集合 $\{a, b\}=\{b, a\}$ ，也就是说，有序对 $(a, b)$ 中 $a, b$是有次序的。 $a, b$ 不一定来自同一集合。 $a, b$ 可以相等，也可以不相等，$(a, a)$ 也是有意义的。有序对概念可以推广到 $n$ 个元素按一定次序组成有序 $n$ 元组，定义如下。

**定义1.7** 设整数 $n>0, n$ 个对象的序列形如 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 组成一组称为有序 $n$ 元组，记为 $\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)$ ，其中 $a_i$ 称为第 $i$ 个分量。两个有序 $n$ 元组相等当且仅当它们的每个对应分量相等。

**定义1.8** 两个集合 $A$ 和 $B$ ，定义 $A$ 和 $B$ 的笛卡儿积为 $A \times B=\{(a, b) \mid a \in A, b \in B\}$ ，又称 $A \times B$ 为 $A$ 和 $B$ 的**直积**。

`例` 设 $A=\{1,2\}, B=\{x, y\}, C=\{a, b, c\}$ ，则

$$
\begin{aligned}
& A \times B=\{(1, x),(1, y),(2, x),(2, y)\} ; \\
& B \times A=\{(x, 1),(y, 1),(x, 2),(y, 2)\} ; \\
& A \times C=\{(1, a),(1, b),(1, c),(2, a),(2, b),(2, c)\} ; \\
& A \times A=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\} 。
\end{aligned}
$$

通常 $B \times A \neq A \times B$ 。

**定义1.9** 设 $n$ 个集合 $A_1, A_2, \cdots, A_n, A_1, A_2, \cdots, A_n$ 的笛卡儿积为 $A_1 \times A_2 \times \cdots A_n=\left\{\left(a_1\right.\right.$ ， $\left.\left.a_2, \cdots, a_n\right) \mid a_i \in A_i, i=1, \cdots, n\right\}$ 。

例1 中集合 $A, B, C$ 的笛卡儿积 $A \times B \times C=\{(1, x, a),(1, x, b),(1, x, c),(1$ ， $y, a),(1, y, b),(1, y, c),(2, x, a),(2, x, b),(2, x, c),(2, y, a),(2, y, b)$, $(2, y, c)\}$ 。

若对所有 $i, A_i=A$ ，则 $A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n$ 记为 $A^n$ 。

> **笛卡尔积的作用相当于把数据所有可能的排列组合都给列出来了，有了所有数据后，就可以按照需求取得所需要的数据。**

## 笛卡尔积的作用

笛卡尔积（Cartesian Product）在数据库中是一个基础且重要的概念，**尽管在实际查询中不常单独使用**，但它是许多复杂查询操作（如连接、自然连接等）的核心组成部分。理解笛卡尔积在数据库中的应用，有助于编写高效且正确的查询语句。以下将通

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【实变函数论】笛卡尔积

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